On part de l’hypothèse de récurrence : 2^n > n^3 soit 2^(n+1) > 2.n^3. On peut dire que si 2n^3 > (n+1)^3 alors on aura 2^(n+1) > (n+1)^3. Donc montrons par équivalence qu’au moins à partir d’une certaine valeur que : 2.n^3 > (n+1)^3 : Si cette inégalité est vraie, alors : (2^1/3.n)^3 > (n+1)^3. La fonction f(x)=x^3 étant strictement croissante, cela implique : 2^1/3.n > n+1 soit n.(2^1/3 - 1) > 1 qui est vraie dès n=4 et donc pour n>=10. 2^1/3 est égal à environ 1,2599.
![2^n is greater than n^2. Strategy for Proving Inequalities. [Mathematical Induction]](http://i.ytimg.com/vi/UE009vD3PEI/mqdefault.jpg)
![2^n is greater than n^2. Strategy for Proving Inequalities. [Mathematical Induction]](/img/tr.png)
Very nifty proof! Thank you for this one! Quite instructive. 🙂
Thanks for this, I always found induction proofs with inequalities to be the most challenging
Thank you so much Dear friend !
Thanks 👍👍
As an upcoming learner of said topic.
I thought math was crazy, but never this crazy. It's actually fun.
That it is - thanks for watching!
Thankyou sir
On part de l’hypothèse de récurrence : 2^n > n^3 soit 2^(n+1) > 2.n^3.
On peut dire que si 2n^3 > (n+1)^3 alors on aura 2^(n+1) > (n+1)^3. Donc montrons par équivalence qu’au moins à partir d’une certaine valeur que : 2.n^3 > (n+1)^3 :
Si cette inégalité est vraie, alors :
(2^1/3.n)^3 > (n+1)^3. La fonction f(x)=x^3 étant strictement croissante, cela implique : 2^1/3.n > n+1 soit n.(2^1/3 - 1) > 1 qui est vraie dès n=4 et donc pour n>=10. 2^1/3 est égal à environ 1,2599.
3^n > n ^ 3 * for n >= 4
Anyone can?