Ekvationen z^n = a - Matte 4

Vi går igenom hur man löser ekvationer av typen z^n = a. I slutet går vi även igenom mer generellt hur man löser ekvationer av typen z^n = a+bi. Vi löser sådana här typer av ekvationer genom att skriva om både höger och vänsterled på polärform. Vi gör även en geometrisk tolkning av de lösningar som vi får fram till ekvationen.

[@saadmezher6647]

Änkligen någon som skippar att skriva ner enkla huvudräkningar😂

[@dala6808]

Men hur får man V, hur ska man räkna ut det??

Du behöver skriva om det komplexa talet i högerledet på polär form för att kunna bestämma v. Rita in vektorn (pilen) som går från origo till 8i, den är vriden pi/2 radianer (90 grader) relativt positiva delen av reella axeln. Vektorn är 8 lång, därför kan 8i skrivas som 8*e^(i*pi/2). När man sedan skriver om vänsterledet på polär form så får man att det blir r^3*e^(i*3v) (enligt De moivres formel) och för att dessa två tal nu ska vara lika måste det gälla att r^3 = 8, samt att 3v = pi/2 + n*2*pi. Anledningen till att man lägger till n*2*pi är för att jag istället för att ta pi/2 som argument för 8i lika gärna hade kunna ta t.ex. 5pi/2 (alltså ett helt plus ett kvarts varv). Valet av n anger hur många hela varv jag lagt till. Från dessa ekvationer kan sedan både r och v bestämmas! Är du med?

[@rs6ix]

Eftersom 8i är ett positivt imaginärt tal, pekar vektorn rakt uppåt längs den imaginära axeln och är vinkelrät mot den reella axeln. Vinkeln mellan den positiva reella axeln och den positiva imaginära axeln är 90 grader, eller 2π​ radianer