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これは数学が不完全であるとかそういうことを示した訳ではなくて、なんならゲーデルさん自身はヒルベルトさんの意見に賛成だったようです。一般的なレベルでの矛盾は今のところは見つかっていません。この定理が出てくると哲学とか宗教に結び付けられやすいんですが(数学ですら不完全だとかなんとか)、全然そういうのとは種類が違う話なので誤解しないで貰えるとゲーデルさんも嬉しいとおもいます。
名前が悪いんですよね、「完全性」って。公理をいじれば数学の体系であっても不完全性定理は解決されるわけですし。
ホーントコレイトン。ちょっと哲学齧っちゃったオタクが不完全性定理を知って｢数学(科学)は不完全なもの！宗教と同じ！｣って飛躍してる痛い様を何回も見てきたよ…(哲学科卒並感)
ヴィトゲンシュタイン：
@@tt_tt_ 不完全っていう表現より限界があるっていう表現のほうが正しいかも？
この定理について詳しくないけど、一般的なレベルを用いて解決できない問題を解決するために理論を拡張していったらこの問題に直面するんじゃないの？で、それを解決するためにはその更に上位の理論が必要だけど、それにも不完全性があるからさらに上位の理論が必要みたいな。他者論と同じだと思うんだけど。
不完全性定理は理系でも「わかった気になってしまう」典型．他の方のコメントでもあるように，よくある誤解では完全性の定義がある．形式体系（古典論理や直観主義論理などを数学で形式化したもの）に対応する完全性と，公理系≒理論（形式体系と言語・構造のもとで扱われる「公理」と名付けた論理式のあつまり）の完全性は別物．これは他の方も書いておられるからおまかせする．しかし，この動画にはもう一つ説明の若干の不備があって，それはもっと基本的なこと．1:46で言及している「矛盾」について．そもそも数学が「矛盾していれば」どんな問題でも解けてしまう．つまり，数学が矛盾しているなら未解決問題が解けない可能性というものはない．これは（古典論理の）爆発原理として知られるが，”⇒”と”¬”の定義から導かれる．誤解無いように付け加えれば排中律とは無関係なので，爆発原理は直観主義論理でも成立する．ざっくり言えば，矛盾とはある理論からAと¬Aの双方が証明されてしまうこと．（第一）不完全性定理の内容は「Aは，ある理論で記述・定義可能な論理式なのに，Aと¬Aのどちらも証明できないというようなものが存在する」ということ．現在，基礎論にある程度明るい数学者の常識としては，数学のある分野で仮に矛盾が見つかったとしても，動画のラッセルのパラドックスのように，簡単な修正で除去できるだろうという楽観論があり，また数学のある理論の算術・代数部分が構文的不完全だとしても数学活動には影響がないと考えられている．じゃ，不完全性定理とはなんなのかといえば，短い言葉では尽くせないが，1.形式体系の「恒真」と公理系での「証明可能」は別概念であることを示した理論の一つ2.証明という演繹手続きの強さや複雑さを測る指標の理論への入り口などから数学通念の再構築を行った功績があるとおもう．
ヒルベルトもゲーデルも一度はやろうとは思っても普通はやらない事をやり切ろうと行動したの凄い
ヒルベルトさんも天才だからすぐさま理解して笑っているような、怒っているような表情するのかっこよすぎる
やられたぜこのやろうって感じだったのかね悔しさと一杯食わされたような感情で
この定理は研究中になんとなーく危惧はされてたみたいで、やっぱり無理だったのかと分からせられた感覚なのかな
メタのラジオさんがコメントしているように、不完全性定理の「完全性」は命題Ｐとその否定命題￢Ｐのどちらかが、その体系のなかでかならず証明可能である、というもので、その命題の真偽が判定できるという事とは異なります。「証明可能」の概念と「真」の概念が違う点が、不完全性定理を理解するのを難しくしているように思います。さらにこの「真」も「自然数の標準モデルにおいて真」という、ややこしい話になっています。
大学で数学基礎論を専攻してて、完全性定理をやってた自分よりも完璧な説明。。。不完全性定理はやってないとは言えすごい。。。
動画の構成が凄い！掴みのための話かと思ったら、それらがそのまま説明に使われるなんて...
ヒルベルトという大天才の生涯をかけたプロジェクトがアッサリと打ち破られてしまうこれもまた数学の面白い部分だと思う
楽しいテーマばかりでとても面白いです。内容もわかりやすいし、ナレーションもすごく聞きやすい。厳密に解説すると素人にはわからないし、厳密性を欠けば数学者からクレームが来る。大変だろうけど頑張ってください。大いに期待しています。
コンピュータってやっぱすごいけどそれに辿り着くまでのことを考え出した人ってすごい
「あなたはこの問題に×と答える。○か×か。」
笑っているような怒ってるいるようなってのが指導者である前に数学者であるって事を表してるみたいで好き
数学界の竹中直人
矛盾みたいなのは自分だけで理解しようとするとだんだんこんがらがって行くのでとてもありがたいです。知りたい事を知れるって楽しいです!!
ウィトゲンシュタインも論理形式について自己言及できないようなことを言っていたしそれ以前の哲学者（カントだったかしら？）も似たようなことを言っていたような気がするハンマーは自分では自分を鍛え直せないってことだな（鍛冶屋並感）でも、それがある目的のために役立つことは変わらない。理論がよりhumbleになるってことが進歩なんだね
4:13 全ての普通の集合を集めた巨大な普通の集合 = ヤバイ集合ここ何度も聞き直した
9:35 完全性の説明だけど、完全性定理の方の完全性と説明が混ざってしまっているような。ややこしいことに、不完全性定理と完全性定理では、「完全性」の定義が違う。不完全性定理は、「証明可能性」についての定理だから、完全性も真偽を抜いて定義されるはず。
毎回取り扱う内容が面白いです！
ありがとうございます！
実は推論(因果関係)や整数(離散)という概念は人間の脳に固有のものであり、他の生物や宇宙人が理解できるとは限らない。とかチョムスキーみたいな事をいってみたりして。
ブレオさんのおかげで数学が好きになりました！
めっちゃ嬉しいです！
めちゃくちゃ伸びてきている。コメント欄により多くの知識があふれかえる。
ホワイトノイズと音量多分直ったと思います！遅くなって申し訳ございません！
やばい、そろそろ怪しくなってきたぞ…と思ったら終わってました。すごくわかりやすく、15分が一瞬に感じる動画でした。
既存の発想では矛盾が発生したり、解が出せないようなものが見つかったら、それを解決できる要素を求めようとするのが数学だと思ってた0とか虚数みたいな
a kさんが言ってる事は哲学やっててもそんなに突っかかる話ではないですよね。本動画でラッセルが出てきたけど、彼の弟子にウィトゲンシュタインって人がいて、この人は自然言語で似たことを論じたわけで。自然言語が自己の外に出る事が出来るわけじゃない。不完全だと言いたいのではなく「言語で言えないことを表現する手段は我々にはないよ、言語の外に出れないよ」と言うのを示したワケで。数学がヒルベルトとゲーデルによって、「数学で言えないことを数学自身で表わしきれないよ」と言う事が追い求められた努力は、哲学史側で見ても大切な事だという風に言えると私は考えてます。寧ろそうした「言えなさ」「表せなさ」がある事を理解した方が深いのだよ、というお話。世界の不完全性ではなく我々の理解の「条件と限界」を線で引いて表現できるようにした…という意味では、歴史上、倫理や宗教、哲学や科学などで色々似た事を見出した人はいるのだと思います。カントは経験の限界と条件を論じたし、仏教だって言語道断と言ってるし。老子も怪力乱神は語れないというてる。『数学ですら不完全だとかなんとか』ではないかたちで、真理の言い方はいろんな分野で通底し合うものなんだろうなと。
ヒルベルトプログラムってそういうものなのかフェルマーの最終定理シリーズとかおもろそう
多様性論者は多様性を認めない人を認めないから自己矛盾している、という屁理屈は紀元前から論破されている戯言だった
何度も見ちゃうなこの動画
大晦日の夜に面白いチャンネルに出会えて幸せです！
この不完全性定理を受けてヴィトゲンシュタインが論考のアイディアを考えだしたのかと思ったら、ヴィトゲンシュタインの方が20年くらい前なんですね
わかり易すぎるし面白すぎるww
一万人おめでとうございます㊗️
こういう絶望感のあった時代を乗り越えて承継されたフェルマーの最終定理ってロマンあるよね
自分で自分を完全であると「言えない」数学を私は一番信頼しています
ゲーデル数も結局言語に変換して認識しなければいけないから完全に記号や数字で表せていると言えるのかな？
興味深い動画をありがとうございます。もしよければ引用元のリンクとbgmの詳細を概要欄に併記していただけると助かります。
自分は高卒であまり勉強に熱心でなかったためこのような定理を今日まで知りませんでした。大学の授業ってこんな感じなんだな〜て妄想しながら動画を視聴しましたw少しだけ理解出来た気がします👍
不完全性定理は (解けてほしい) チューリングマシンの停止性問題と等価なので、個人的な認識としては、数学の体系 (もしくは我々による数学の形式化、特に無限の扱い) が不完全であることは論を俟たないと思う。もちろん、どこまでが決定可能な問題なのかを追求する数学者や計算機科学者の努力は有意義であるし人間の知性の結晶であると思っている。
恐ろしいことに三段論法が正しいことを証明するには三段論法が必要。つまり、三段論法を使う全ての証明は不完全。
自分とは異なる解釈の仕方や表現の仕方に出会うと、しぜんと咬みつこうとする人、マウントを取りにいこうとする人。議論や論争を楽しむ人。その人らの使う言葉の文末には「のようだ」、「らしい」ときには「に違いない」がちらほら。私には難しい議論の内容は分からないけれど、心の動きを感じることはできる。動画で何言ってるのか正確には理解できないのに、コメント見てさらに分からくなくなっても楽しんでいる私。
嘘つきな人は、いつ何どきも常に嘘しかつかないっていう前提が間違ってる。
私はという条件をつける時は、私の状態を先に持ってこないと矛盾が発生する。
嘘つきであり嘘つきでない状態があると思います
シュレディンガーの嘘つき
ペテン半減解釈
それはそうなんだけどこの不完全性定理が示された体系と言うのは公理で排中律を採用してる体系なんだよね排中律と言うのは「全ての命題は正しいか正しくないかの二択で、真ん中の状態は存在しない」と言う物
@@天才の証明そもそも誰がどういう基準で命題を正しいと言えるのだろう？😮基準そのものが間違えてる可能性だって否定はできないのに😅
@@白からす-m9k 数学は思考ゲームだから、基準が現実的に正しいかどうかって判断する必要はないよ最初にその基準を正しいって決めつけて、そこから議論が始まる
ゲーデルがいなかったら多くの数学者が人生を棒に振ったかもしれないね。
14:43 ここボブ・ロスの絵みたいな風景
25歳のガキに論破されるの涙で、出ますよ
えぇ……(困惑)
「自分を含まない普通の集合」の集合は普通の集合なんじゃないの、、
普通の集合の集合は普通の集合を集めたものだから普通の集合自身を含んでいることになりやばい集合になる
@@みそすーぷ-r5r 理解はしたわありがとう。納得はしなかったけど
@@0020-q5m 納得しがたいから「パラドクス」と呼ばれる所以。
その「自分を含まない普通の集合」が枠で閉じられることで、集合の要素である「自分」となる自分を含む集合と同じ状態になるので自分を含まない普通の集合の集合は、自分を含む集合となる
私は嘘つきであるっていう言葉の意味に私の発言全てが嘘であるという意味があるのかな？
京大の望月教授のあの話は第二不完全性定理みたいな話なのかな
あれ普通に数論だけどな
集合の説明端折ってるのか訳分からんかった。普通の集合を集めたやつって言ってるのにやばい集合が急に入ってて意味不すぎる
全く同意見
赤点と青点がたくさん一列に並んでいる。始点と終点はともに青点である。どの二つの赤点を選んでも、その中間には少なくとも一つの青点が存在する。また、この列の中にある赤点は青点よりたくさんある。以上のことははたして成り立つであろうか？
よって数学者の仕事が無くなることは無い。
ラッセルのパラドックスは前提からしてパラドックスだけどな。普通に考えたらこんなこと起こらないんだよ。まぁ、現象の矛盾を証明出来る点では良い考え方
結局数学が証明できない命題が存在するかは分からない。今現在の数学では存在するかもしれないけど新しい考えや概念を取り入れ数学を発展させていけば証明できると思う(0の概念を取り入れることで証明不可能だったものが証明可能になったりしてる)この証明は数学に発展の余地があることの証明なんじゃないかなと思う
数学ガール ゲーデルの不完全性定理を読んで一応全部分かった時は感動したな...
数学ガールわかりやすいしある程度詳しく書いてあるから飽きないし知りたいことが書いてあるからまじで好き
ちょうどそれ読んでるんですよね
数学ガール面白いけど終盤難易度が急上昇してついていけなくなる（それでもいいって作者は書いてるけど）あとウルトラハイスペックな人とか理解力限界突破してる登場人物多すぎて自分に絶望する
@@sgknsn9795 テトラちゃん元気っこキャラなのに理解力えげつないの無敵自分は群論のあたりで挫折しちゃったけどまた読み直してみようかな...
数学において不完全な命題が存在する。という命題の真偽が証明された。これだけで数学の世界を大きく囲う宇宙が見えた気がして嬉しかった。
別に嘘つきやからって常に嘘ついてるわけじゃないんとちゃう？って思ったけどそういう話じゃ無いんやろな
俺もそう思ったけどどうやらそれは解釈が違うらしい嘘つきは常に嘘をつく前提だって
3:59「普通の集合を集めたものがこの集合なので自分も含むはず」という文が理解できません。誰かおしえてくれー！！
自分自身が普通の集合だから。その要素に自分が入ってるはず。
ホフスタッター先生の大著「ゲーデル、エッシャー、バッハ」を思い出しますね。高校生の頃に読みましたよ。
1万人早いな
これまでの数学人生が無駄になるかも。と嘆いてるけど、数学者たちは大抵変態だから、私の一生をかけて、この命題が解けないことが分かったと納得してそう笑
いつも、楽しく視聴しています～ 2022年も宜しくおねがいします m - - m
いつも見てくださりありがとうございます！こちらこそ宜しくお願いします！
「よし、OCGに聞こう！」って思っちゃった
ゲーデル数の2番の記号は または じゃなくて かつ じゃない？って思って調べたら記号のほうが逆さまだった
流石にこの説明だけでは殆ど何のことか分からないだろうなあ。
私は今嘘をついている
貴方は今嘘をついている
おれはしょうじきもの
ヒルベルト「俺馬鹿じゃん・・・」
12:29 「または」の記号って逆じゃないんですか？
2:22のbgmなんだっけえええ
三段論法はそれを証明しようとするとどうしても三段論法がでてくるから公理なのか？むしろ真理とも言える別物なのか？
「真偽を判定できない命題」って、それ命題じゃねーじゃなくね？「命題」って概念はそもそも、「鉄は錆びやすい」や「ピーマンは美味しくない」といった、真偽を判定できないものは除いた上で議論するのが大前提なんだから、当然「この命題は偽である」は命題とは言えないでしょ。
にわかだけど、11:13「それが真であることの証明と偽であることの証明が、その公理系では同時に成立するような命題」「真とも偽とも判定できる命題」が適切な表現なのかな命題の定義を思い出させてくれてありがとう
ずーっと考えているけど🤔理解できないです😥もう寝ますね🛌😢
私は証明できないという式が、その体系内に存在しているという部分がよく分からないのだが・・・対角化法理というところが
嘘つきは常に嘘つくわけではないけどね
すげ〜…
途中途中で説明不足なのが勿体ない
ゲーデルの不完全性定理を説明する際、完全性定理の説明がないから誤解する人が増えるんだよ。
数学の公理系ってべつにZFC以外に考えてもいいということでもあって、NBGとか色々公理系があるんだよ。
嘘つきは、嘘をつくことがある、という意味？それとも、常に嘘をつく、という意味？まずはそこをハッキリさせよう。
数学の矛盾なんてマジで誰もが通る道やろ10÷3これや
ほれ、その答えに×3してみ？
@@raribea0421 どこにも矛盾がないのですが、、😂
10÷3=3.3333333...以下無限3.3333333...×3=9.9999999...以下無限X×Y=ZのときZ÷Y=Xであり、Z÷X=Yである。っていう法則に反してるって話。正直ややこしい数式出されてもわかんないぞ。俺は「誰もが通る道」の話をしてる訳でこれは義務教育までの話でしかない。覚えたてのことを披露したいただのアホみたいに難解な数式並べられたとこで「誰もが通る道ですか？それ」で終わりますぜ
@@anf-i9u で、それを踏まえて矛盾なく説明してくんね？俺に間違いがあったら謝るからさ
@@raribea0421 説明してもわからないだろうから端折るけど数学では0.9999…..は1と同値です。みんなが通る通らない云々の前にその命題自体が偽なんだから矛盾でもなんでもない。その上で自慢げにこんなコメントするのって正直本当に恥ずかしい、、笑
笑ってるような起こってるような・・・
これを何も理解しないで聞いて楽しんでる時点で自分はやばい集合なんだなーって思った
人間の脳みそで計算して認識しようとするのが最大のひっかけなのかな
どうぶつの森みたいなBGM
全ての普通の集合Qはどちらであろうと矛盾するから、そもそもそんな集合Qは存在しなかったっていうのはダメなの？自己言及のパラドックスの矛盾解消は、真でも偽でもないんだからそもそもこんな命題は存在しなかった。命題の皮を被ったただの文章。っていう変な解決になるけどでもこれ認めると背理法使えなくなるか
(前半) 現代の集合論ではそうしていて、Q は集合ではなくてクラスと呼ばれたりする(後半) リシャールのパラドックスはまさに自己言及的な文だけど、ゲーデルは自己言及にならないように (ある意味自己言及的な) 非決定命題を作ったのが功績
最初のやつ嘘つきが常に嘘をつくっていう意味って示されてないね
それが言語の曖昧さやな
トラがバターになっちゃうね
どうしても10:25からのBGMの名前が分からない
ラッセルのパラドックス意味わかんない、笑
何がわからないのかわからないのですが私もまだまだだな
嘘つき問題の判断推理を思い出した。
公理と定義って一緒のことですか？
ちょっと違います。「公理」とは「その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のこと」と「定義」します。「命題」とは「真偽の判断の対象となる文章または式」と「定義」します。「真」とは～(ry
俺の脳が不完全性定期
「円周率の中に9が100回連続する箇所が存在する」っていう命題は真偽が確定してるけど証明できないよね
計算で示すのは証明に入らないんでしょうか
もちろんたまたま命題が真で、計算を続けていくことで9が100回連続する場所が発見されるかもしれません。しかし、そうなったら100を1000に変えればまた同じ問題が発生します。私が言いたいのは、有限回のステップを踏んでこの問題を解決する手段が存在しない(真偽の判定できない命題が存在する)ということです。
@@gingamin すみません、理系の悪い所が出てしまいました100回ぐらいなら証明できるよなぁ…とつい文脈を読まずに…笑
@@お肉大好き-q1s こちらこそ分かりづらい例えだったかもしれません。。ちなみに円周率は現在60兆ケタ以上計算されていますが、9が100個連続する場所は見つかっていません。計算で探すのも途方も無い時間がかかると思いますよ（そもそもそんな場所ない可能性もあります笑）
@@gingamin なるほど、そうだったんですね。既に見つかっているものかと思っていました。個人的には何回以上でも連続する部分はいつか現れる派ですが、いつか真偽を直接証明できる革命的な論法が生まれてくれるといいですね！
3:46『全ての普通の集合』の集合を用意しておいて【これをヤバい集合であるとすると…】の前提を立てるのヤバくないですか？自身を含まない集合をいくら書きあつめても輪郭がひろがるだけで、その輪郭の外に自身があり続けるっていうのが初期設定した定義じゃないの？パラドックスっていうか【事前の説明不足による誤謬】じゃないの？何卒ご見解よろしくお願いします。
どちらの場合も矛盾することを言うだけで前提を立ててるわけではないかと
@@山田マン-c8x ❓
@@山田マン-c8x 矛盾というか自分の定義を変えちゃってるのが問題ということです。普通の集合を集めたら延々と集合の輪郭が大きくなるだけです。一生自身は含まないというのが言葉の前提条件です。矛盾はそもそも起きてません。普通Aを含んだ普通Bと固有名詞を付ければ成立するし分かりやすいかと。普通Aを含んだ普通A、は存在しません、無限循環します。
数学を使って数学の不完全性を証明するっていうのが前からいまいち分からんのよね、、数学が不完全ならその証明自体も不完全なんじゃないかって
私は嘘つきである(しかし、全てに嘘はついていない。)
数学は、世界共通の言語である。それ以上でも、それ以下でもない。たぶん。
チャンネル主は何者なの？数学の研究とかしてる方？
ラッセルのパラドックスの集合の説明の部分が疑問。普通の集合だけを集めたなら自分は入っていないから普通の集合なだけで、このままでは矛盾は何も起こらないはず。なんか条件の説明が足りないでしょ？あとそもそもラッセルのパラドックスは集合の指定の仕方が厳密に吟味されていなかったから起こったことで、現在ではパラドックスとはみなされていないらしい。公理の説明で1+1=2を例に上げてこれは前提であり証明も必要ないと説明しているにも関わらず、直後の完全性の説明で、1+1=2が証明されちゃってる表現になってるのも疑問。公理の概念どこいっちゃった？
『「普通の集合」の集合』は「普通の集合」の要素なのかどうかを無矛盾に決められないとしたのがラッセルのパラドクス。「普通の集合」の要素とすれば「自分自身を要素に含まない」という「普通の集合」の定義に反する。「普通の集合」の要素ではないとすると「自分自身を要素に含まない」のに要素に入れなくていいのかということになる。だから「ヤバい」。おっしゃる通り、後に「集合とは何か」が公理化されて現代の集合論では『「普通の集合」の集合』の存在は認められないことになってる。
大賛成🙋♀️
動画とコメント欄のレベルが高過ぎ❗
いつも当て馬にされるヒルベルトさん
![กี่หมื่นฟ้า | Your Sky Series EP.1 [2/4]](http://i.ytimg.com/vi/qJbQs_nhjD4/mqdefault.jpg)
これは数学が不完全であるとかそういうことを示した訳ではなくて、なんならゲーデルさん自身はヒルベルトさんの意見に賛成だったようです。
一般的なレベルでの矛盾は今のところは見つかっていません。
この定理が出てくると哲学とか宗教に結び付けられやすいんですが(数学ですら不完全だとかなんとか)、全然そういうのとは種類が違う話なので誤解しないで貰えるとゲーデルさんも嬉しいとおもいます。
名前が悪いんですよね、「完全性」って。
公理をいじれば数学の体系であっても不完全性定理は解決されるわけですし。
ホーントコレイトン。ちょっと哲学齧っちゃったオタクが不完全性定理を知って｢数学(科学)は不完全なもの！宗教と同じ！｣って飛躍してる痛い様を何回も見てきたよ…(哲学科卒並感)
ヴィトゲンシュタイン：
@@tt_tt_ 不完全っていう表現より限界があるっていう表現のほうが正しいかも？
この定理について詳しくないけど、一般的なレベルを用いて解決できない問題を解決するために理論を拡張していったらこの問題に直面するんじゃないの？で、それを解決するためにはその更に上位の理論が必要だけど、それにも不完全性があるからさらに上位の理論が必要みたいな。他者論と同じだと思うんだけど。
不完全性定理は理系でも「わかった気になってしまう」典型．
他の方のコメントでもあるように，よくある誤解では完全性の定義がある．
形式体系（古典論理や直観主義論理などを数学で形式化したもの）に対応する完全性と，公理系≒理論（形式体系と言語・構造のもとで扱われる「公理」と名付けた論理式のあつまり）の完全性は別物．
これは他の方も書いておられるからおまかせする．
しかし，この動画にはもう一つ説明の若干の不備があって，それはもっと基本的なこと．
1:46で言及している「矛盾」について．
そもそも数学が「矛盾していれば」どんな問題でも解けてしまう．つまり，数学が矛盾しているなら未解決問題が解けない可能性というものはない．
これは（古典論理の）爆発原理として知られるが，”⇒”と”¬”の定義から導かれる．誤解無いように付け加えれば排中律とは無関係なので，爆発原理は直観主義論理でも成立する．
ざっくり言えば，
矛盾とはある理論からAと¬Aの双方が証明されてしまうこと．
（第一）不完全性定理の内容は「Aは，ある理論で記述・定義可能な論理式なのに，Aと¬Aのどちらも証明できないというようなものが存在する」ということ．
現在，基礎論にある程度明るい数学者の常識としては，数学のある分野で仮に矛盾が見つかったとしても，動画のラッセルのパラドックスのように，簡単な修正で除去できるだろうという楽観論があり，また数学のある理論の算術・代数部分が構文的不完全だとしても数学活動には影響がないと考えられている．
じゃ，不完全性定理とはなんなのかといえば，短い言葉では尽くせないが，
1.形式体系の「恒真」と公理系での「証明可能」は別概念であることを示した理論の一つ
2.証明という演繹手続きの強さや複雑さを測る指標の理論への入り口
などから数学通念の再構築を行った功績があるとおもう．
ヒルベルトもゲーデルも一度はやろうとは思っても普通はやらない事をやり切ろうと行動したの凄い
ヒルベルトさんも天才だからすぐさま理解して笑っているような、怒っているような表情するのかっこよすぎる
やられたぜこのやろうって感じだったのかね
悔しさと一杯食わされたような感情で
この定理は研究中になんとなーく危惧はされてたみたいで、やっぱり無理だったのかと分からせられた感覚なのかな
メタのラジオさんがコメントしているように、不完全性定理の「完全性」は命題Ｐとその否定命題￢Ｐのどちらかが、その体系のなかでかならず証明可能である、というもので、その命題の真偽が判定できるという事とは異なります。「証明可能」の概念と「真」の概念が違う点が、不完全性定理を理解するのを難しくしているように思います。さらにこの「真」も「自然数の標準モデルにおいて真」という、ややこしい話になっています。
大学で数学基礎論を専攻してて、完全性定理をやってた自分よりも完璧な説明。。。
不完全性定理はやってないとは言えすごい。。。
動画の構成が凄い！掴みのための話かと思ったら、それらがそのまま説明に使われるなんて...
ヒルベルトという大天才の生涯をかけたプロジェクトがアッサリと打ち破られてしまう
これもまた数学の面白い部分だと思う
楽しいテーマばかりでとても面白いです。
内容もわかりやすいし、ナレーションもすごく聞きやすい。
厳密に解説すると素人にはわからないし、厳密性を欠けば数学者からクレームが来る。
大変だろうけど頑張ってください。大いに期待しています。
コンピュータってやっぱすごいけどそれに辿り着くまでのことを考え出した人ってすごい
「あなたはこの問題に×と答える。○か×か。」
笑っているような怒ってるいるようなってのが指導者である前に数学者であるって事を表してるみたいで好き
数学界の竹中直人
矛盾みたいなのは自分だけで理解しようとするとだんだんこんがらがって行くのでとてもありがたいです。知りたい事を知れるって楽しいです!!
ウィトゲンシュタインも論理形式について自己言及できないようなことを言っていたし
それ以前の哲学者（カントだったかしら？）も似たようなことを言っていたような気がする
ハンマーは自分では自分を鍛え直せないってことだな（鍛冶屋並感）
でも、それがある目的のために役立つことは変わらない。理論がよりhumbleになるってことが進歩なんだね
4:13 全ての普通の集合を集めた巨大な普通の集合 = ヤバイ集合
ここ何度も聞き直した
9:35 完全性の説明だけど、完全性定理の方の完全性と説明が混ざってしまっているような。
ややこしいことに、不完全性定理と完全性定理では、「完全性」の定義が違う。
不完全性定理は、「証明可能性」についての定理だから、完全性も真偽を抜いて定義されるはず。
毎回取り扱う内容が面白いです！
ありがとうございます！
実は推論(因果関係)や整数(離散)という概念は人間の脳に固有のものであり、他の生物や宇宙人が理解できるとは限らない。とかチョムスキーみたいな事をいってみたりして。
ブレオさんのおかげで数学が好きになりました！
めっちゃ嬉しいです！
めちゃくちゃ伸びてきている。コメント欄により多くの知識があふれかえる。
ホワイトノイズと音量多分直ったと思います！遅くなって申し訳ございません！
やばい、そろそろ怪しくなってきたぞ…と思ったら終わってました。
すごくわかりやすく、15分が一瞬に感じる動画でした。
既存の発想では矛盾が発生したり、解が出せないようなものが見つかったら、それを解決できる要素を求めようとするのが数学だと思ってた
0とか虚数みたいな
a kさんが言ってる事は哲学やっててもそんなに突っかかる話ではないですよね。
本動画でラッセルが出てきたけど、彼の弟子にウィトゲンシュタインって人がいて、この人は自然言語で似たことを論じたわけで。自然言語が自己の外に出る事が出来るわけじゃない。不完全だと言いたいのではなく「言語で言えないことを表現する手段は我々にはないよ、言語の外に出れないよ」と言うのを示したワケで。
数学がヒルベルトとゲーデルによって、「数学で言えないことを数学自身で表わしきれないよ」と言う事が追い求められた努力は、哲学史側で見ても大切な事だという風に言えると私は考えてます。
寧ろそうした「言えなさ」「表せなさ」がある事を理解した方が深いのだよ、というお話。
世界の不完全性ではなく我々の理解の「条件と限界」を線で引いて表現できるようにした…という意味では、歴史上、倫理や宗教、哲学や科学などで色々似た事を見出した人はいるのだと思います。カントは経験の限界と条件を論じたし、仏教だって言語道断と言ってるし。老子も怪力乱神は語れないというてる。『数学ですら不完全だとかなんとか』ではないかたちで、真理の言い方はいろんな分野で通底し合うものなんだろうなと。
ヒルベルトプログラムってそういうものなのか
フェルマーの最終定理シリーズとかおもろそう
多様性論者は多様性を認めない人を認めないから自己矛盾している、という屁理屈は紀元前から論破されている戯言だった
何度も見ちゃうなこの動画
大晦日の夜に面白いチャンネルに出会えて幸せです！
この不完全性定理を受けてヴィトゲンシュタインが論考のアイディアを考えだしたのかと思ったら、ヴィトゲンシュタインの方が20年くらい前なんですね
わかり易すぎるし面白すぎるww
一万人おめでとうございます㊗️
ありがとうございます！
こういう絶望感のあった時代を乗り越えて承継されたフェルマーの最終定理ってロマンあるよね
自分で自分を完全であると「言えない」数学を私は一番信頼しています
ゲーデル数も結局言語に変換して認識しなければいけないから完全に記号や数字で表せていると言えるのかな？
興味深い動画をありがとうございます。もしよければ引用元のリンクとbgmの詳細を概要欄に併記していただけると助かります。
自分は高卒であまり勉強に熱心でなかったためこのような定理を今日まで知りませんでした。
大学の授業ってこんな感じなんだな〜て妄想しながら動画を視聴しましたw
少しだけ理解出来た気がします👍
不完全性定理は (解けてほしい) チューリングマシンの停止性問題と等価なので、個人的な認識としては、数学の体系 (もしくは我々による数学の形式化、特に無限の扱い) が不完全であることは論を俟たないと思う。もちろん、どこまでが決定可能な問題なのかを追求する数学者や計算機科学者の努力は有意義であるし人間の知性の結晶であると思っている。
恐ろしいことに三段論法が正しいことを証明するには三段論法が必要。
つまり、三段論法を使う全ての証明は不完全。
自分とは異なる解釈の仕方や表現の仕方に出会うと、しぜんと咬みつこうとする人、マウントを取りにいこうとする人。議論や論争を楽しむ人。その人らの使う言葉の文末には「のようだ」、「らしい」ときには「に違いない」がちらほら。私には難しい議論の内容は分からないけれど、心の動きを感じることはできる。動画で何言ってるのか正確には理解できないのに、コメント見てさらに分からくなくなっても楽しんでいる私。
嘘つきな人は、いつ何どきも常に嘘しかつかないっていう前提が間違ってる。
私はという条件をつける時は、私の状態を先に持ってこないと矛盾が発生する。
嘘つきであり嘘つきでない状態があると思います
シュレディンガーの嘘つき
ペテン半減解釈
それはそうなんだけど
この不完全性定理が示された体系と言うのは
公理で排中律を採用してる体系なんだよね
排中律と言うのは「全ての命題は正しいか正しくないかの二択で、真ん中の状態は存在しない」と言う物
@@天才の証明そもそも誰がどういう基準で命題を正しいと言えるのだろう？😮
基準そのものが間違えてる可能性だって否定はできないのに😅
@@白からす-m9k
数学は思考ゲームだから、基準が現実的に正しいかどうかって判断する必要はないよ
最初にその基準を正しいって決めつけて、そこから議論が始まる
ゲーデルがいなかったら多くの数学者が人生を棒に振ったかもしれないね。
14:43 ここボブ・ロスの絵みたいな風景
25歳のガキに論破されるの涙で、出ますよ
えぇ……(困惑)
「自分を含まない普通の集合」の集合は普通の集合なんじゃないの、、
普通の集合の集合は普通の集合を集めたものだから普通の集合自身を含んでいることになりやばい集合になる
@@みそすーぷ-r5r 理解はしたわありがとう。納得はしなかったけど
@@0020-q5m 納得しがたいから「パラドクス」と呼ばれる所以。
その「自分を含まない普通の集合」が枠で閉じられることで、集合の要素である「自分」となる
自分を含む集合と同じ状態になるので
自分を含まない普通の集合の集合は、自分を含む集合となる
私は嘘つきであるっていう言葉の意味に私の発言全てが嘘であるという意味があるのかな？
京大の望月教授のあの話は第二不完全性定理みたいな話なのかな
あれ普通に数論だけどな
集合の説明端折ってるのか訳分からんかった。
普通の集合を集めたやつって言ってるのにやばい集合が急に入ってて意味不すぎる
全く同意見
赤点と青点がたくさん一列に並んでいる。始点と終点はともに青点である。どの二つの赤点を選んでも、その中間には少なくとも一つの青点が存在する。また、この列の中にある赤点は青点よりたくさんある。以上のことははたして成り立つであろうか？
よって数学者の仕事が無くなることは無い。
ラッセルのパラドックスは前提からしてパラドックスだけどな。
普通に考えたらこんなこと起こらないんだよ。
まぁ、現象の矛盾を証明出来る点では良い考え方
結局数学が証明できない命題が存在するかは分からない。今現在の数学では存在するかもしれないけど新しい考えや概念を取り入れ数学を発展させていけば証明できると思う(0の概念を取り入れることで証明不可能だったものが証明可能になったりしてる)
この証明は数学に発展の余地があることの証明なんじゃないかなと思う
数学ガール ゲーデルの不完全性定理
を読んで
一応全部分かった時は感動したな...
数学ガールわかりやすいしある程度詳しく書いてあるから飽きないし知りたいことが書いてあるからまじで好き
ちょうどそれ読んでるんですよね
数学ガール面白いけど終盤難易度が急上昇してついていけなくなる（それでもいいって作者は書いてるけど）
あとウルトラハイスペックな人とか理解力限界突破してる登場人物多すぎて自分に絶望する
@@sgknsn9795 テトラちゃん元気っこキャラなのに理解力えげつないの無敵
自分は群論のあたりで挫折しちゃったけどまた読み直してみようかな...
数学において不完全な命題が存在する。という命題の真偽が証明された。これだけで数学の世界を大きく囲う宇宙が見えた気がして嬉しかった。
別に嘘つきやからって常に嘘ついてるわけじゃないんとちゃう？って思ったけどそういう話じゃ無いんやろな
俺もそう思ったけどどうやらそれは解釈が違うらしい
嘘つきは常に嘘をつく前提だって
3:59「普通の集合を集めたものがこの集合なので自分も含むはず」という文が理解できません。
誰かおしえてくれー！！
自分自身が普通の集合だから。その要素に自分が入ってるはず。
ホフスタッター先生の大著「ゲーデル、エッシャー、バッハ」を思い出しますね。高校生の頃に読みましたよ。
1万人早いな
これまでの数学人生が無駄になるかも。と嘆いてるけど、数学者たちは大抵変態だから、私の一生をかけて、この命題が解けないことが分かったと納得してそう笑
いつも、楽しく視聴しています～ 2022年も宜しくおねがいします m - - m
いつも見てくださりありがとうございます！こちらこそ宜しくお願いします！
「よし、OCGに聞こう！」って思っちゃった
ゲーデル数の2番の記号は または じゃなくて かつ じゃない？って思って調べたら記号のほうが逆さまだった
流石にこの説明だけでは殆ど何のことか分からないだろうなあ。
私は今嘘をついている
貴方は今嘘をついている
おれはしょうじきもの
ヒルベルト「俺馬鹿じゃん・・・」
12:29 「または」の記号って逆じゃないんですか？
2:22のbgmなんだっけえええ
三段論法はそれを証明しようとするとどうしても三段論法がでてくるから公理なのか？
むしろ真理とも言える別物なのか？
「真偽を判定できない命題」って、それ命題じゃねーじゃなくね？
「命題」って概念はそもそも、「鉄は錆びやすい」や「ピーマンは美味しくない」といった、真偽を判定できないものは除いた上で議論するのが大前提なんだから、当然「この命題は偽である」は命題とは言えないでしょ。
にわかだけど、11:13「それが真であることの証明と偽であることの証明が、
その公理系では同時に成立するような命題」「真とも偽とも判定できる命題」が適切な表現なのかな
命題の定義を思い出させてくれてありがとう
ずーっと考えているけど🤔理解できないです😥もう寝ますね🛌😢
私は証明できないという式が、その体系内に存在しているという部分がよく分からないのだが・・・
対角化法理というところが
嘘つきは常に嘘つくわけではないけどね
すげ〜…
途中途中で説明不足なのが勿体ない
ゲーデルの不完全性定理を説明する際、完全性定理の説明がないから誤解する人が増えるんだよ。
数学の公理系ってべつにZFC以外に考えてもいいということでもあって、NBGとか色々公理系があるんだよ。
嘘つきは、嘘をつくことがある、という意味？それとも、常に嘘をつく、という意味？まずはそこをハッキリさせよう。
数学の矛盾なんて
マジで誰もが通る道やろ
10÷3
これや
ほれ、その答えに×3してみ？
@@raribea0421 どこにも矛盾がないのですが、、😂
10÷3=3.3333333...以下無限
3.3333333...×3=9.9999999...以下無限
X×Y=Zのとき
Z÷Y=Xであり、Z÷X=Yである。
っていう法則に反してるって話。
正直ややこしい数式出されても
わかんないぞ。
俺は「誰もが通る道」の話をしてる訳で
これは義務教育までの話でしかない。
覚えたてのことを披露したい
ただのアホみたいに
難解な数式並べられたとこで
「誰もが通る道ですか？それ」
で終わりますぜ
@@anf-i9u
で、それを踏まえて
矛盾なく説明してくんね？
俺に間違いがあったら
謝るからさ
@@raribea0421 説明してもわからないだろうから端折るけど数学では0.9999…..は1と同値です。みんなが通る通らない云々の前にその命題自体が偽なんだから矛盾でもなんでもない。その上で自慢げにこんなコメントするのって正直本当に恥ずかしい、、笑
笑ってるような起こってるような・・・
これを何も理解しないで聞いて楽しんでる時点で自分はやばい集合なんだなーって思った
人間の脳みそで計算して認識しようとするのが最大のひっかけなのかな
どうぶつの森みたいなBGM
全ての普通の集合Qはどちらであろうと矛盾するから、そもそもそんな集合Qは存在しなかった
っていうのはダメなの？
自己言及のパラドックスの矛盾解消は、真でも偽でもないんだからそもそもこんな命題は存在しなかった。命題の皮を被ったただの文章。っていう変な解決になるけど
でもこれ認めると背理法使えなくなるか
(前半) 現代の集合論ではそうしていて、Q は集合ではなくてクラスと呼ばれたりする
(後半) リシャールのパラドックスはまさに自己言及的な文だけど、ゲーデルは自己言及にならないように (ある意味自己言及的な) 非決定命題を作ったのが功績
最初のやつ嘘つきが常に嘘をつくっていう意味って示されてないね
それが言語の曖昧さやな
トラがバターになっちゃうね
どうしても10:25からのBGMの名前が分からない
ラッセルのパラドックス意味わかんない、笑
何がわからないのかわからないのですが
私もまだまだだな
嘘つき問題の判断推理を思い出した。
公理と定義って一緒のことですか？
ちょっと違います。
「公理」とは「その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のこと」と「定義」します。
「命題」とは「真偽の判断の対象となる文章または式」と「定義」します。
「真」とは～(ry
俺の脳が不完全性定期
「円周率の中に9が100回連続する箇所が存在する」っていう命題は真偽が確定してるけど証明できないよね
計算で示すのは証明に入らないんでしょうか
もちろんたまたま命題が真で、計算を続けていくことで9が100回連続する場所が発見されるかもしれません。しかし、そうなったら100を1000に変えればまた同じ問題が発生します。私が言いたいのは、有限回のステップを踏んでこの問題を解決する手段が存在しない(真偽の判定できない命題が存在する)ということです。
@@gingamin
すみません、理系の悪い所が出てしまいました
100回ぐらいなら証明できるよなぁ…とつい文脈を読まずに…笑
@@お肉大好き-q1s
こちらこそ分かりづらい例えだったかもしれません。。
ちなみに円周率は現在60兆ケタ以上計算されていますが、9が100個連続する場所は見つかっていません。計算で探すのも途方も無い時間がかかると思いますよ（そもそもそんな場所ない可能性もあります笑）
@@gingamin なるほど、そうだったんですね。
既に見つかっているものかと思っていました。
個人的には何回以上でも連続する部分はいつか現れる派ですが、いつか真偽を直接証明できる革命的な論法が生まれてくれるといいですね！
3:46
『全ての普通の集合』の集合を用意しておいて
【これをヤバい集合であるとすると…】の前提を立てるのヤバくないですか？自身を含まない集合をいくら書きあつめても輪郭がひろがるだけで、その輪郭の外に自身があり続けるっていうのが初期設定した定義じゃないの？パラドックスっていうか【事前の説明不足による誤謬】じゃないの？何卒ご見解よろしくお願いします。
どちらの場合も矛盾することを言うだけで前提を立ててるわけではないかと
@@山田マン-c8x ❓
@@山田マン-c8x 矛盾というか自分の定義を変えちゃってるのが問題ということです。普通の集合を集めたら延々と集合の輪郭が大きくなるだけです。一生自身は含まないというのが言葉の前提条件です。矛盾はそもそも起きてません。普通Aを含んだ普通Bと固有名詞を付ければ成立するし分かりやすいかと。普通Aを含んだ普通A、は存在しません、無限循環します。
数学を使って数学の不完全性を証明するっていうのが前からいまいち分からんのよね、、
数学が不完全ならその証明自体も不完全なんじゃないかって
私は嘘つきである(しかし、全てに嘘はついていない。)
数学は、世界共通の言語である。
それ以上でも、それ以下でもない。
たぶん。
チャンネル主は何者なの？数学の研究とかしてる方？
ラッセルのパラドックスの集合の説明の部分が疑問。普通の集合だけを集めたなら自分は入っていないから普通の集合なだけで、このままでは矛盾は何も起こらないはず。なんか条件の説明が足りないでしょ？あとそもそもラッセルのパラドックスは集合の指定の仕方が厳密に吟味されていなかったから起こったことで、現在ではパラドックスとはみなされていないらしい。
公理の説明で1+1=2を例に上げてこれは前提であり証明も必要ないと説明しているにも関わらず、直後の完全性の説明で、1+1=2が証明されちゃってる表現になってるのも疑問。公理の概念どこいっちゃった？
『「普通の集合」の集合』は「普通の集合」の要素なのかどうかを無矛盾に決められないとしたのがラッセルのパラドクス。
「普通の集合」の要素とすれば「自分自身を要素に含まない」という「普通の集合」の定義に反する。「普通の集合」の要素ではないとすると「自分自身を要素に含まない」のに要素に入れなくていいのかということになる。だから「ヤバい」。
おっしゃる通り、後に「集合とは何か」が公理化されて現代の集合論では『「普通の集合」の集合』の存在は認められないことになってる。
大賛成🙋♀️
動画とコメント欄のレベルが高過ぎ❗
いつも当て馬にされるヒルベルトさん