Simplesmente lindo demais. A matemática é maravilhosa, to vibrando aqui pq consegui entender o que o Anton não me explicou.. rsrs Show de bola, e vamos a próxima vídeo aula.
Muito legal essa demonstração. Eu aprendi essa divergência comparando com a integral de 1 a infinito de 1/x, mas essa demonstração é muito mais concreta.
Respondendo alguns comentários: Primeiro, ela não está acrescentando 0,5 termo a termo! pois 1/3; 1/4 não é 0,5. Segundo, o nome da série é harmônica, não geométrica, não existe só um tipo de série. Como ela não é geométrica não tem razão. Então a regra de r
Olá!Estava buscando material para levar aos meus alunos de música sobre a Série Harmônica e decidi dar uma olhada no teu curso sobre séries, desde o princípio, e desde o conceito de série, discernindo de sequencia, foi muito interessante, quando chegaste a série harmônica, no entanto, percebi que te dedicaste a desenvolver sobre divergência! Ficaria encantado se te debruçasses sobre a série harmônica como lógica matemática para convergir com a questão frequencial na música!
Só uma correção. De acordo com o livro do Stewart Vol. II o teorema 6 diz que se uma série converge o limite da sequência associada é zero. No entanto, a recíproca não é verdadeira, como, por exemplo, na série harmônica.
Realmente é menor mesmo, depois de anos eu entendi, lembrando que não sou matemática, mas entendi assim: Os termos da série s vem dos termos da série harmônica, certo? Só que ele soma na série s somente os menores termos da série harmônica. Ex: entre os termos 1/5, 1/6, 1/7 e 1/8 da série Harmônica, ele usa somente o menor termo (1/8) para ser os 4 termos da série s. Se você fizer a conta, vai ver que 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8, que seria 0,6345 > 0,5. Fazendo essas substituições infinitamente e resolvendo as somas, vai ver que essa desigualdade vai continuar, então a série Harmônica > série S. Mais simples ainda é fazer a soma da Harmônica e a soma da S até um certo termo. Somando os 8 primeiros termos de cada e comparando, temos: Harmônica: 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 = 2,71 S: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 2,5
Realmente pela intuição eu nunca falaria que essa serie diverge já que os termos ficam cada vez menores,da impressão que converge tipo pra um numero perto de 10 a 15 e mesmo com a matemática provando que diverge a intuição ainda fala que converge deve ser essa a beleza da matemática,provar que algumas coisas nao sao intuitivas
No caso eu já sabia que ela ia divergir, por que quando estava aprendendo integrais impróprias eu acabei esbarrando na integral imprópria de 1/x com extremos de 1 e +οο , bom quando fiz as contas vi que não dava certo não convergia então achei estranho porque quando era 1/x² já convergia e perguntei ao meu professor... Ele não me respondeu mas disse que era uma boa pergunta, agora entendo o que era de fato...
Professor, porque essa condensação não é aplicável às séries P, com P>1? Você não poderia tb somar termos em grupos cada vez maiores que formam a mesma soma parcial infinitamente?
+meunoméchris Na série 1 + 1/2 + 1/2 +1/2 + ... , se agrupar cada par 1/2 + 1/2, que vem depois do 1, ficará: 1 + (1/2 + 1/2) +(1/2 + 1/2) + (1/2 +1/2) + ... = 1 + 1+ 1 + 1 + .... Desta forma a razão é igual a 1 logo | r | >= 1. Portando a série diverge.
+Paulo Roberto Lopes Tenório Não é por isso não. Série Harmônica é diferente de série Geométrica, logo, as regras |r|=1 não valem, pois não existe uma razão. Ela diverge simplesmente pq a sequência associada a série diverge. E porque ela diverge? Por que a sequência {1,1,1,1,1,1....} não é limitada, e se ela não é limitada, ela diverge! ;)
+Felipe Melo mais respeito com as pessoas que você não conhece, garoto. Não lhe conheço, felizmente, e eu só quero ajudar. As pessoas pensam que quer acabar com os outros. Nunca mesmo.
+Felipe Melo ademais, quem é você para falar assim com outra pessoa? Você nem é o dono do vídeo. Ficar pegando respondendo comentários de um vídeo que não é seu mostra que você não está aqui para ver o vídeo. Deixe de espalhar ódio entre as redes social. Jesus é mais. Tome cuidado! Comentários ofensivos feitos hoje poderão ser julgado no futuro. Há vários exemplos aí.
Existe uma prova matemática mais formal. O teorema é bem simples de provar, mas não fica tão visível quanto o que o vídeo fez. O teorema diz que, em toda a série que converge, com certeza existe 1 número N>0 de modo que, seja R > N e T > R. Se eu pegar a diferença entre o T-ésimo termo da série (a soma de todos os que vem de 1° até T° na sequência); E subtrair dele o R-ésimo termo da série (a soma de todos que vem do 1° ao R° na sequência); Ou seja, se eu pegar |S(T) - S(R)|, essa diferença vai ser menor que QUALQUER numéro E que eu arbritar. Qualquer um, se eu quiser, sei lá, que E seja 0,0000001, numa série convergente COM certeza existe algum termo, sei lá, o termo 1 bilhão, que vai fazer com que essa diferença seja menor que o E. Qualquer E. E se você entender isso que eu tô tentando explicar, você vai concluir que na série harmônica a gente NUNCA consegue deixar E < 1/2. Se você pegar S(1/3000) e subtrair de S(1/6000), vai dá >1/2. Se você pegar S(1/400000) e subtrair de S(1/800000), vai dá >1/2. E assim sucessivamente. *repare que esse S aí é somatório com todos os termos anteriores, não se trata da diferença dos termos em si.
Realmente, bem interessante.. uma pena que não seja verdade. Se você pegasse a serie harmônica e substituísse cada termo a partir do segundo por 1/2, você teria a mesma serie S do seu resultado final, mas desse modo a série seria MAIOR que a harmônica, pois você substituiu 1/3 por 1/2, 1/4 por 1/2, 1/5 por 1/2 e etc, ou seja, aumentando seus valores. Você não pode simplesmente utilizar outro método que seja conveniente pra você, pra chegar no mesmo resultado que se chegaria utilizando um método que resultasse em uma inconveniência para o seu ponto de vista. Eu admiro os matemáticos, mas parecem que gostam de fazer o infinito e o zero de brinquedos.. e adoram quebrar os brinquedos. ai ai... mais uma tentativa frustrada de me provarem que a serie harmônica diverge.. próximo, por favor!
Junes Wunsch Cara, vc tá viajando uhauauauhahu A série harmônica diverge praticamente que por definição do que é uma série divergente. Vou colar aqui o post que eu mandei pra outro cara nesse vídeo. Existe um teorema formal que prova que a série harmônica é divergente. O teorema é bem simples de provar (está provado no Leithold Volume 2, primeiro capítulo). O teorema diz que, em toda a série que converge, com certeza existe 1 número N>0 de modo que, seja R > N e T > R. Se eu pegar a diferença entre o T-ésimo termo da série (a soma de todos os que vem de 1° até T° na sequência); E subtrair dele o R-ésimo termo da série (a soma de todos que vem do 1° ao R° na sequência); Ou seja, se eu pegar |S(T) - S(R)|, essa diferença vai ser menor que QUALQUER numéro E que eu arbritar. Qualquer um, se eu quiser, sei lá, que E seja 0,0000001, numa série convergente COM certeza existe algum termo, sei lá, o termo 1 bilhão, que vai fazer com que essa diferença seja menor que o E. Qualquer E. E se você entendeu isso que eu tô tentando explicar, você vai concluir que na série harmônica a gente NUNCA consegue deixar E < 1/2. Se você pegar S(1/3000) e subtrair de S(1/6000), vai dá >1/2. Se você pegar S(1/400000) e subtrair de S(1/800000), vai dá >1/2. E assim sucessivamente. *repare que esse S aí é somatório com todos os termos anteriores, não se trata da diferença dos termos em si.
***** Se ela tá divergindo, ela ta indo pra muitos lugares e não pra lugar nenhum. ir pra infinito é ir pra muitos lugares? nope. ir pra infinito é ir pra lugar nenhum? nope. abre o livrinho e veja que a definição atual mais exata de infinito é simplesmente a partição entre infinito positivo e infinito negativo.. na qual o INFINITO NEGATIVO é a soma de todos os numeros negativos e positivos, mas cada termo negativo tem um peso extra infinitesimal, cuja soma de todos os termos infinitesimais dá vantagem aos numeros negativos nessa soma para serem superiores aos positivos quando esta soma tende ao infinito e o INFINITO POSITIVO é a soma de todos os numeros negativos e positivos, mas cada termo positivo tem um peso extra infinitesimal, cuja soma de todos os termos infinitesimais dá vantagem aos numeros positivos nessa soma para superarem a soma dos numeros negativos quando esta soma tende ao infinito. Esta é uma definição clara para diferenciações assintóticas em somas cujo resultado seria simplesmente INFINITO sem definição de positivo ou negativo para aquelas somas clássicas de termos divergentes. Somas alternadas sem resultado definido já é passado, querido amiguinho. A própria noção moderna de infinito já declara que infinito é simplesmente uma soma e como toda operação de soma pode ter resultado negativo ou positivo e, portanto, ZERO NÃO É UM NUMERO. Todos os números podem ser escritos como somas mas zero particularmente é o resultado de uma soma de dois conjuntos que englobam a natureza matemática como um todo, excluindo complexos e hiper-complexos. * zero = infinito positivo + infinito negativo * infinito positivo = zero - infinito negativo * infinito negativo = zero - infinito positivo portanto : zero = zero + zero + zero + zero +... e,assim: infinito x zero = zero. Determinando, assim, o zero como um caractere dosador( um não-numero que somado infinitamente consigo mesmo não altera seu módulo e portante pode ser utilizado em equações e valores sem alterar o resultado final). Uma prova disso seria o fato do zero ser o unico termo que não pode ocorrer em um denominador,sendo sempre interpretado como uma tendencia ao infinito no numerador e o fato do zero ser o unico termo cuja multiplicação com infinito não seja infinito. Então meu querido, não venha com papinho de séries pra cima de mim. Beijo.
+Junes Wunsch Cara, veja o vídeo de novo. Ele substituiu 1/3 por 1/4, mas somou esse 1/4 a outro 1/4 por 1/2. A série S é sim menor que a série Harmônica: 1/3=0,333...>1/4=0,25. Como assim não é verdade?kkkkkkkkkkk
Simplesmente lindo demais.
A matemática é maravilhosa, to vibrando aqui pq consegui entender o que o Anton não me explicou.. rsrs
Show de bola, e vamos a próxima vídeo aula.
Excelente aula. E o mais interessante é encontrar uma gigantesca motivação no entusiasmo do professor.
Parabéns equipe Me Salva!
Muito legal essa demonstração. Eu aprendi essa divergência comparando com a integral de 1 a infinito de 1/x, mas essa demonstração é muito mais concreta.
Respondendo alguns comentários:
Primeiro, ela não está acrescentando 0,5 termo a termo! pois 1/3; 1/4 não é 0,5.
Segundo, o nome da série é harmônica, não geométrica, não existe só um tipo de série. Como ela não é geométrica não tem razão. Então a regra de r
Olá!Estava buscando material para levar aos meus alunos de música sobre a Série Harmônica e decidi dar uma olhada no teu curso sobre séries, desde o princípio, e desde o conceito de série, discernindo de sequencia, foi muito interessante, quando chegaste a série harmônica, no entanto, percebi que te dedicaste a desenvolver sobre divergência! Ficaria encantado se te debruçasses sobre a série harmônica como lógica matemática para convergir com a questão frequencial na música!
Tentei entender sozinho e não conseguir... Parabéns professor, explicação fantástica.
Obrigado pela explicação. Geralmente eu só usava aquela carta na manga de usar a integral de 1/x = ln|x|, mas não deixava o resultado tão claro
Excelente vídeo. Estava quebrando a cabeça para entender porque ela diverge uma vez que os denominadores aumentam e a sequência tende a zero.
Muito bom!! Obrigada!
esse professor é massa demais, eu aprendo dando risada. kkk
Simplesmente demais!!!! Parabéns pelo conteúdo.
SIMPLESMENTE MARAVILHOSO!!! OBRIGADO
Nós que agradecemos!😍
Muito bom, ótima explicação.
Muito bom, demonstração genial!
Professor, linda explicação. Obrigado. Por favor, pode me encaminhar link sobre como calcular as frequências da ESCALA TEMPERADA? Desde já agradeço.
perfeito, muiiiiito bom mesmo
Só uma correção. De acordo com o livro do Stewart Vol. II o teorema 6 diz que se uma série converge o limite da sequência associada é zero. No entanto, a recíproca não é verdadeira, como, por exemplo, na série harmônica.
muito obg professor
Eu já tinha esquecido como funcionava essa formula com o sigma. Foi só você demosntrar o funcinamento, eu relembrei tudo! 1:50
Esse canal é o melhoooor! ❤️
Perfeito!!
Parabenizo ao professor pelo belo trabalho (explicação), resolução certa!
Mas, discordo que a série S é menor.
Realmente é menor mesmo, depois de anos eu entendi, lembrando que não sou matemática, mas entendi assim:
Os termos da série s vem dos termos da série harmônica, certo?
Só que ele soma na série s somente os menores termos da série harmônica. Ex: entre os termos 1/5, 1/6, 1/7 e 1/8 da série Harmônica, ele usa somente o menor termo (1/8) para ser os 4 termos da série s.
Se você fizer a conta, vai ver que 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8, que seria 0,6345 > 0,5. Fazendo essas substituições infinitamente e resolvendo as somas, vai ver que essa desigualdade vai continuar, então a série Harmônica > série S.
Mais simples ainda é fazer a soma da Harmônica e a soma da S até um certo termo. Somando os 8 primeiros termos de cada e comparando, temos:
Harmônica: 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 = 2,71
S: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 2,5
Realmente pela intuição eu nunca falaria que essa serie diverge já que os termos ficam cada vez menores,da impressão que converge tipo pra um numero perto de 10 a 15 e mesmo com a matemática provando que diverge a intuição ainda fala que converge deve ser essa a beleza da matemática,provar que algumas coisas nao sao intuitivas
Relíquia do YT
No caso eu já sabia que ela ia divergir, por que quando estava aprendendo integrais impróprias eu acabei esbarrando na integral imprópria de 1/x com extremos de 1 e +οο , bom quando fiz as contas vi que não dava certo não convergia então achei estranho porque quando era 1/x² já convergia e perguntei ao meu professor... Ele não me respondeu mas disse que era uma boa pergunta, agora entendo o que era de fato...
muito bom !!!
Professor, porque essa condensação não é aplicável às séries P, com P>1?
Você não poderia tb somar termos em grupos cada vez maiores que formam a mesma soma parcial infinitamente?
mt bom
Gostei demais :D
mds eu to chocado
isto equivale à Série de Dirichle?
O somatório da serie harmônica é infinito?
Mas então eu poderia criar qualquer série menor que a harmônica? E nenhuma iria convergir?
CaraiuuuuUUU. Bugado
por que a serie S diverge? não vai acrescentando 0,5 por termo? 0,5 < 1, não deveria convergir?
+meunoméchris Ele não colocou, mas a série S é um somatório que vai pra infinito...
+meunoméchris
No caso ficaria 1 + 0,5 +..... resumo igual ou maior que 1 por isso S diverge
+meunoméchris Na série 1 + 1/2 + 1/2 +1/2 + ... , se agrupar cada par 1/2 + 1/2, que vem depois do 1, ficará:
1 + (1/2 + 1/2) +(1/2 + 1/2) + (1/2 +1/2) + ... = 1 + 1+ 1 + 1 + ....
Desta forma a razão é igual a 1 logo | r | >= 1. Portando a série diverge.
+Paulo Roberto Lopes Tenório Não é por isso não. Série Harmônica é diferente de série Geométrica, logo, as regras |r|=1 não valem, pois não existe uma razão. Ela diverge simplesmente pq a sequência associada a série diverge. E porque ela diverge? Por que a sequência {1,1,1,1,1,1....} não é limitada, e se ela não é limitada, ela diverge! ;)
só uma correção besta: esse "por que" do título não tem acento.
+Felipe Melo mais respeito com as pessoas que você não conhece, garoto. Não lhe conheço, felizmente, e eu só quero ajudar. As pessoas pensam que quer acabar com os outros. Nunca mesmo.
+Felipe Melo ademais, quem é você para falar assim com outra pessoa? Você nem é o dono do vídeo. Ficar pegando respondendo comentários de um vídeo que não é seu mostra que você não está aqui para ver o vídeo. Deixe de espalhar ódio entre as redes social. Jesus é mais. Tome cuidado! Comentários ofensivos feitos hoje poderão ser julgado no futuro. Há vários exemplos aí.
Com todo respeito, o certo seria escrever ''redes sociais''. Abcs
Não tem acento. Teria acento se fosse antes da pontuação. Ex: Ela diverge, Por quê?
Só não entendi por que a séria harmônica S diverge, se ela sempre somara termos constantes ela não deveria convergir para um número ?!
Pega um número inicial (por exemplo: 1) vai adicionando 0,5 unidades infinitamente... Cê acha que ela converge ou diverge?
Existe uma prova matemática mais formal. O teorema é bem simples de provar, mas não fica tão visível quanto o que o vídeo fez.
O teorema diz que, em toda a série que converge, com certeza existe 1 número N>0 de modo que, seja R > N e T > R.
Se eu pegar a diferença entre o T-ésimo termo da série (a soma de todos os que vem de 1° até T° na sequência);
E subtrair dele o R-ésimo termo da série (a soma de todos que vem do 1° ao R° na sequência);
Ou seja, se eu pegar |S(T) - S(R)|, essa diferença vai ser menor que QUALQUER numéro E que eu arbritar.
Qualquer um, se eu quiser, sei lá, que E seja 0,0000001, numa série convergente COM certeza existe algum termo, sei lá, o termo 1 bilhão, que vai fazer com que essa diferença seja menor que o E. Qualquer E.
E se você entender isso que eu tô tentando explicar, você vai concluir que na série harmônica a gente NUNCA consegue deixar E < 1/2. Se você pegar S(1/3000) e subtrair de S(1/6000), vai dá >1/2. Se você pegar S(1/400000) e subtrair de S(1/800000), vai dá >1/2. E assim sucessivamente. *repare que esse S aí é somatório com todos os termos anteriores, não se trata da diferença dos termos em si.
+ᴼᴿᴵᴳᴵᴻᴬᴸ, ᕮ. Fᗩᒪᑕã〇 acho que converge, a razão é menor que 1! por que estou errado?
+Leonardo Diniz Não precisa de tanto. Ela diverge, é só olhar a curva indo pro infinito.
Parte mais chata de cálculo 2
Não entendi... Por que minha série S é menor? Quantos menos termos, menor a minha série?
Tem q usar cálculo nessa porra?
Não achei isso bonito não cara. Foi mal.
Sei lá cara não gostei dessa teorias 😂 os matemáticos inventam cada uma, então nenhum serie realmente decresce kkkk
Realmente, bem interessante.. uma pena que não seja verdade.
Se você pegasse a serie harmônica e substituísse cada termo a partir do segundo por 1/2, você teria a mesma serie S do seu resultado final, mas desse modo a série seria MAIOR que a harmônica, pois você substituiu 1/3 por 1/2, 1/4 por 1/2, 1/5 por 1/2 e etc, ou seja, aumentando seus valores. Você não pode simplesmente utilizar outro método que seja conveniente pra você, pra chegar no mesmo resultado que se chegaria utilizando um método que resultasse em uma inconveniência para o seu ponto de vista. Eu admiro os matemáticos, mas parecem que gostam de fazer o infinito e o zero de brinquedos.. e adoram quebrar os brinquedos.
ai ai... mais uma tentativa frustrada de me provarem que a serie harmônica diverge.. próximo, por favor!
Junes Wunsch Cara, vc tá viajando uhauauauhahu
A série harmônica diverge praticamente que por definição do que é uma série divergente. Vou colar aqui o post que eu mandei pra outro cara nesse vídeo.
Existe um teorema formal que prova que a série harmônica é divergente. O teorema é bem simples de provar (está provado no Leithold Volume 2, primeiro capítulo).
O teorema diz que, em toda a série que converge, com certeza existe 1 número N>0 de modo que, seja R > N e T > R.
Se eu pegar a diferença entre o T-ésimo termo da série (a soma de todos os que vem de 1° até T° na sequência);
E subtrair dele o R-ésimo termo da série (a soma de todos que vem do 1° ao R° na sequência);
Ou seja, se eu pegar |S(T) - S(R)|, essa diferença vai ser menor que QUALQUER numéro E que eu arbritar.
Qualquer um, se eu quiser, sei lá, que E seja 0,0000001, numa série convergente COM certeza existe algum termo, sei lá, o termo 1 bilhão, que vai fazer com que essa diferença seja menor que o E. Qualquer E.
E se você entendeu isso que eu tô tentando explicar, você vai concluir que na série harmônica a gente NUNCA consegue deixar E < 1/2. Se você pegar S(1/3000) e subtrair de S(1/6000), vai dá >1/2. Se você pegar S(1/400000) e subtrair de S(1/800000), vai dá >1/2. E assim sucessivamente. *repare que esse S aí é somatório com todos os termos anteriores, não se trata da diferença dos termos em si.
+gabriel ferraz Apoiei KKK
***** Se ela tá divergindo, ela ta indo pra muitos lugares e não pra lugar nenhum. ir pra infinito é ir pra muitos lugares? nope. ir pra infinito é ir pra lugar nenhum? nope. abre o livrinho e veja que a definição atual mais exata de infinito é simplesmente a partição entre infinito positivo e infinito negativo.. na qual o INFINITO NEGATIVO é a soma de todos os numeros negativos e positivos, mas cada termo negativo tem um peso extra infinitesimal, cuja soma de todos os termos infinitesimais dá vantagem aos numeros negativos nessa soma para serem superiores aos positivos quando esta soma tende ao infinito e o INFINITO POSITIVO é a soma de todos os numeros negativos e positivos, mas cada termo positivo tem um peso extra infinitesimal, cuja soma de todos os termos infinitesimais dá vantagem aos numeros positivos nessa soma para superarem a soma dos numeros negativos quando esta soma tende ao infinito.
Esta é uma definição clara para diferenciações assintóticas em somas cujo resultado seria simplesmente INFINITO sem definição de positivo ou negativo para aquelas somas clássicas de termos divergentes. Somas alternadas sem resultado definido já é passado, querido amiguinho. A própria noção moderna de infinito já declara que infinito é simplesmente uma soma e como toda operação de soma pode ter resultado negativo ou positivo e, portanto, ZERO NÃO É UM NUMERO. Todos os números podem ser escritos como somas mas zero particularmente é o resultado de uma soma de dois conjuntos que englobam a natureza matemática como um todo, excluindo complexos e hiper-complexos.
* zero = infinito positivo + infinito negativo
* infinito positivo = zero - infinito negativo
* infinito negativo = zero - infinito positivo
portanto :
zero = zero + zero + zero + zero +...
e,assim:
infinito x zero = zero.
Determinando, assim, o zero como um caractere dosador( um não-numero que somado infinitamente consigo mesmo não altera seu módulo e portante pode ser utilizado em equações e valores sem alterar o resultado final).
Uma prova disso seria o fato do zero ser o unico termo que não pode ocorrer em um denominador,sendo sempre interpretado como uma tendencia ao infinito no numerador e o fato do zero ser o unico termo cuja multiplicação com infinito não seja infinito.
Então meu querido, não venha com papinho de séries pra cima de mim. Beijo.
Manda uma prova matemática, gostaria muito de verificar. Sem arrogância, estamos aqui para aprender. Manda pro meu e-mail.
+Junes Wunsch Cara, veja o vídeo de novo. Ele substituiu 1/3 por 1/4, mas somou esse 1/4 a outro 1/4 por 1/2. A série S é sim menor que a série Harmônica: 1/3=0,333...>1/4=0,25. Como assim não é verdade?kkkkkkkkkkk