La démonstration à l'aide du polynôme de Newton fonctionne pour les deux questions, bien que plus 'difficile' pour la deuxième. Comme mon prof de math disait souvent, pour la même réponse on a souvent une méthode "bourrine" et un astuce qui donne souvent une résolution bien plus élégante.
Bonjour, j'aurai une petite question a propos de la démonstration avec le binôme de Newton du 2. En admettant qu'on a k et k' comme indice respectivement pour n et m, il faudrait donc bien étudier les 4 cas différents pour lequel k et k' sont pairs ou impairs?
Excellente intuition pour la question 1 :-) A noter pour la question 2, le denominateur n'est pas nul car on utilise l'hypothese que racine de 2 n'est pas rationnel. Merci pour le partage.
@@TheMathsTailor Quand tu fais des petites erreurs, qui sont quasiment inévitables, tu as la possibilité d'ajouter des erratum directement sur la vidéo. Certains youtubeurs (trop rare à mon gout) le font et cela a pour conséquence de ne pas induire certains en erreur. C'est mieux que de le signaler simplement dans la description car beaucoup ne la lisent pas systématiquement.
@Loïc Geeraerts top je savais pas! je vais regarder ça et essayer de corriger vite ;) Edit : j'ai juste rajouté une fiche info (avec le petit i) j'ai mis un lien vers un article qui parle de la division par 0, voilà comment je m'en suis sorti :D
J’ai fini ma prepa y a deux ans et franchement tes vidéos sont très sympa à suivre. Continue comme ça car j’aurai aimé avoir ce genre de support pour voir des astuces de manière plus agréable !
Vidéo très sympathique, bonne chance aux futurs préparationnaires! Merci pour ton travail, c'est le genre de contenu qui m'aurais simplifié la vie a l'époque !
Bonne vidéo ! En effet, l'intuition vient du fait qu'en développant avec le binôme de Newton, on a juste un (-1)^n qui va changer entre les expressions. De plus, pour montrer la 1), le binôme de newton nous donne explicitement la valeur de la somme et on remarque que ✓2 a disparu donc c'est bien à valeurs dans Q (car les coeff binomiaux sont des entiers).
pour le coup j'avais vu tout de suite pourquoi ca se compensais dans un premier temps , mais après pour trouver une rédaction , je suis partis sur la formule de newton avec une disjonction des cas pour n-k pair ou impair et ct bcp trop compliqué , donc c super que t mis l'accent sur la rédaction pour résoudre le problème astucieusement
Salut J’adore tes vidéos. J’ai cliqué dès la notification. Après quelques mois, j’ai cru que la chaîne était en pause. Les démonstrations, l’ambiance, c’est top. Bonne continuation 👍
Merci du fond du cœur c’est très motivant 😊 J’ai été en pause à cause d’une période très busy pour moi ces mois de mai juin mais je suis de retour hehe 😁
J'adore. Vous êtes un des profs les plus intéressants à suivre. Beaucoup d'élégance dans vos explications. (et je regarde tous les intervenants math, mêmes ceux non francophones). Question : moi qui a adoré votre vidéo sur la tâche d'huile, avez vous dans l'idée de faire d'autres vidéos portant sur la physique ? Ce serait une bonne nouvelle :) (mais je comprends aussi que ça vous prend déjà beaucoup de temps surement et que vous n'avez pas le temps de tout faire).
Merci c’est trop sympa! C’est vrai que je fais plutôt des maths - la tâche d’huile était également une partie de « maths appliquées » d’un sujet de maths. Cela dit la physique j’adore ça également donc rien n’est impossible à l’avenir 😊 Merci pour le mot d’encouragement!
Merci @Sacha! Je vais essayer d’en faire quelques unes cet été justement ;) hésite pas à venir sur le discord si tu veux proposer des sujets en particulier!
Depuis plusieurs jours l'algo TH-cam me propose ta chaine que je ne connaissais pas du tout. Il a dû se passer quelque chose qui l'incite a plus proposer ta chaine ce qui doit expliquer la récente expansion du nombre de vues et d'abonnés. Je suis ingénieur en activité et sorti de l'école il y a 10 ans et je trouve très divertissant de regarder ton contenu. Alors merci et bonne continuation ! (Juste un détail que j'ai noté sur une autre vidéo, tu utilises souvent le TVI pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution, or (pour chipoter et sauf erreur) le TVI n'assure pas l'unicité. C'est bien le théorème de la bijection (cas particulier du TVI qui permet d'établir l'unicité).
Merci! Je ne sais pas exactement ce qu’il s’est passé sur TH-cam, en tout cas je suis très content que ça te plaise 😄 Oui pour le TVI je parle trop vite en disant uniquement « TVI », je dis parfois « TVI dans le cas d’une fonction monotone », mais c’est plutôt théorème de la bijection qu’il faut dire clairement !
@@TheMathsTailor Certain puriste en prépa l'appelle théorème d'homéomorphisme, mais il me semble que en term on l’appelait bien théorème de la bijection.
J’ai fait le choix de partir sur le binôme de Newton, en factorisant correctement et en raisonnement sur pair/impair on arrive rapidement à prouver la question 1. Mais en revanche j’ai été bien bloqué sur la question 2, car je n’avais pas trouvé la proposition que tu as démontré par récurrence ! En tout cas, merci pour tes vidéos, elles sont top !
SVPPP fait plus de vdsss !! J'ai adoré ton contenu !! J'aime bien que tu fasses des exos diff et tricky en rapport avec la prépa + des exos de concours intéressants (type oraux) qui sont parfois issus dolympiades
5:20 J'adore le côté, intuition, essai sans savoir si ça va marcher. Et si ça ne marche pas on adaptera un peu ou bien on fera autre chose. C'est ça faire des maths, c'est faire preuve d'intuition, de créativité et ce n'est pas faire du psittacisme en identifiant la ou les méthodes donnée par d'autres (en général ses enseignants de mathématiques) avec un problème déjà connu. Bon perso, j'ai utilisé directement le binôme de Newton sans passer par une récurrence.
magnifique demonstration - il est clair que la reduction p+/-q*sqrt(2) a tout simplifiee, ca aurait ete interessant de voir comment ca allait se goupiller avec le binome de newton
(a+bsqrt(2))^n et avec -b on a un développement avec le triangle de Pascal. Les puissances paires en le deuxième terme sont entières et les impaires ont un signe opposé dans les deux donc se compensent. Non?
Avec du recul, on peut identifier Q[racine(2)] à Q[i] par isomorphisme et directement utiliser que la somme de deux nombres conjugués est réelle, c'est-à-dire après isomoprhisme inverse que la somme des deux quantités conjuguées est rationnelle ;-)
Mais oui c’est la plus belle démo ;) quelqu’un l’a suggérée plus tôt dans les coms aussi je crois. J’adore ! Mais il faut connaître un minimum ce que sont les structures algébriques 😁 j’essaie d’être lycée - friendly (même si lycee poussé 😉) dans mes démos TH-cam !
@@TheMathsTailor Je viens de me rendre compte que j'ai dit une bêtise (mais heureusement elle n'a pas été remarquée). Il n'y a en fait pas de morphisme de corps entre Q[racine(2)] et Q[i]. Néanmoins, on peut tout de même montrer que la conjugaison est un automorphisme de corps, tout comme sur Q[i] (ou C à vrai dire...) et obtenir le résultat voulu. Et ça, c'est plus abordable niveau lycée avec des questions intermédiaires
Moi j'ai fait binôme puis utilisation de la parité des puissances et du signe moins de l'expression pour montrer que les racines de deux disparaissaient, ensuite pour la question 2 j'ai utilisé le résultat précédent et trifouiller pour retrouver un rationnel.
Comme je ne la vois pas dans les commentaires je propose une autre solution, avec des concepts beaucoup plus avancés (à ne pas prendre comme une solution à laquelle on pourrait s'attendre en lycée ou en prépa mais comme une invitation à se renseigner sur la théorie de Galois et une autre manière moins "magique" d'interpréter le résultat de la question). Q(sqrt(2)) est une extension galoisienne du corps Q des nombres rationnels dont le groupe de Galois est constitué de l'identité et de l'automorphisme f envoyant a+b sqrt(2) (pour a et b rationnels quelconques) sur a-b sqrt(2). Or pour chacune des deux questions, appliquer l'automorphisme f à la somme revient simplement à inverser l'ordre dans lequel on somme les deux expressions. Par conséquent dans les deux cas le nombre considéré appartient au corps fixé par le groupe de Galois : Q. Ainsi cet exercice est un cas particulier d'un énoncé de théorie de Galois : soit K un corps et L une extension finie galoisienne de K. Soit x appartenant à L. La somme des f(x) pour f appartenant au groupe de Galois de L sur K appartient à K.
C'est incroyable ce que vous faites. J'aurais tellement aimé connaître cette chaine TH-cam lorsque j'étais au lycée (elle n'existait pas il y a 4-5ans :( ) Vous pouvez proposer des exos d'olympiade pour préparer le concours général notamment 😀 (si vous avez le temps et la foi de regarder)
Merci! Oui je vais regarder ça! Souvent ce sont des problèmes un peu longs pour des vidéos TH-cam je pense mais j’ai pas mal d’exos sous le coude qui sont du bon format ;)
@@TheMathsTailor Super ça ! Si vous voulez que j'en corrige quelques uns pour vous permettre de gagner du temps, j'ai quelques vacances jusqu'à fin août
J ai refait l exercice en essayant d abord la décomposition avec la formule du binome mais méthode proposée est bien élégante. Pas trop rouillé j ai fait prépa sup spé en 1988...
Bonjour, j'ai essayer de démontrer ca en utilisant le binôme de newton et sans récurrence et ca m'a l'air de marcher pouvez me dire ci c'est faisable .
Pour la 1) j'ai réfléchi aux équations séquentielles de dégré deux, le polynome caractéristique de l'équation séquentielle u_(n+2) - 2a*u(n+1) + a² - 2b² a comme racines (a + b*sqrt(2)) et (a - b*sqrt(2)) avec u_0 = 2 et u_1 = 2a, une récurrence permet directement de voir que u_N est dans Q. Pour la 2, j'avoue que ta solution est bien plus simple par extension de la 1)
Ça serait pareil avec √3. En fait de même que ce qui induit les nombres complexes c'est l'ajout d'un carré négatif. Et que si i est racine de x²+1 alors -i aussi. Et qu'en remplacent (dans n'importe quelle formules utilisant seulement des fonctions continue et non pas la fonction "valeur absolue" ou "parti réel" ou "partie imaginer"...) i par -i, et -i par i on trouve les mêmes parties réelles et des parties imaginer opposé (donc -i remplacer par i et i remplacer par-i). De même parmi les nombres rationnels, l'ajout de √2 s'écrit comme les nombres complexes mais avec √2 à la place de racine de -1. Et en remplacent √2 par -√2 et -√2 par √2, on trouve la même valeur rationnels et un multiple de √2 opposé.
Si f(a+bi)=c+di alors f(a-bi)=c-di(à condition que f soit une fonction analytique. Ce qui n'est pas le cas par exemple de la fonction valeur absolue) De même en utilisant que des fonctions f qui pour une valeur rationnels donnes des valeurs rationnels, si x, y et z sont rationnels et z n'est pas le carré d'un rationnels. Alors si f(x+y√z)= u+v√z(avec u et v des nombres rationnels) alors f(x-y√z)=u-v√z
Yes tu n'es pas la premier à en parler : elle est très stylée et je n'y ai pas du tout pensé :D ! Sur discord quelqu'un a proposé quelque chose de très beau également, avec de la théorie des ensembles : en utilisant le corps des a+bsqrt(2), et l'automorphisme de conjugaison. Quand tout est bien mis en place c'est très simple ensuite, très classe :D
Un peu brute de pomme mais partir sur formule de Newton + récurrence fonctionne pour la première question. En revanche, pour la question 2, on a besoin de l'expression en fonction d'un p et d'un q, ce qui peut bloquer longtemps. Pour avoir l'idée, je pense qu'il vaut mieux bien lire toutes les questions avant d'entamer l'exercice et, si on bloque, se demander comment reformuler le premier résultat tout en examinant les premières valeurs de n. En passant, je pense qu'il peut être plus judicieux d'indicer p et q par n, afin de bien voir que ces valeurs dépendent de n. Excellente vidéo cela dit !
On s’en fiche un peu que p ne soit pas écrit « p_n », c’est assez clair que p dépende de n vu la façon dont c’est écrit. C’est rigoureux, donc pas de problème.
Sympa comme méthode pour la 1) ! Je me souviens qu'on utilisait le binôme de Newton et petit raisonnement sur la parité de l'indice de sommation pour virer les racines de 2, mais ça n'aurait probablement pas suffi pour la 2)
J'avais aussi exploré le binôme mais c'était devenu assez laborieux très vite (trop d'indices à écrire dans tous les sens :D). En partant sur une propriété plus générale, on peut en effet direct l'appliquer à la 2) !
Bonjour, merci pour ces vidéos de qualité et félicitation pour ces stats. Puis-je vous demander quelle application utilisez vous pour rédiger de manière manuscrite ainsi qu'avec des symboles mathématiques.
Merci ! L’appli s’appelle notability, sur iOS. Elle inclut un package maths qui permet la reconnaissance de l’écriture manuscrite et sa transformation en LaTeX ;)
Pour ceux que cela intéresse, j'ai d'abord travaillé avec le binôme de Newton sans les racines carrées pour que ça soit moins lourd : \left(a+b ight)^n+\left(a-b ight)^n=2\sum_{k\mathop{=}0}^{E\left(n/2 ight)}\binom{n}{2k}\:a^{n-2k}b^{2k} Ensuite, j'ai finalisé : \left(a+b\sqrt{2} ight)^n+\left(a-b\sqrt{2} ight)^n=2\sum_{k\mathop{=}0}^{E\left(n/2 ight)}\binom{n}{2k}\:a^{n-2k}2^kb^{2k} \in \mathbb{Q}
Bonjour, pour la 1 je remarque que les parenthèses sont les solutions de x^2-2ax+(a^2-2b^2) donc le gros machin est le terme de rang n de la suite définie par u_0=2 u_1=2a et u_(n+2) = 2a u_(n+1) - (a^2-2b^2) u_(n) dont on montre facilement par récurrence qu'il est rationnel. Et sincèrement, c'est ça la première idée qui m'est venue...
Est-ce que tu peux revenir, en détaillant un peu plus, sur ton cheminement qui abouti à abandonner les expressions données et partir sur l'idée directrice qui est d'utiliser l'existence de p et q ? D'avance merci.
En gros c’est beaucoup de « paresse » = désir de faire efficace qui s’est passé 😅 j’ai pensé d’abord binôme et ca m’a grave gonflé donc j’ai essayé de me dire « pourquoi ces racines partent ? » et n=2 m’a mis sur la voie. Même quantité de racines des deux côtés. Et j’ai tilté que cette propriété « meme racines des deux côtés » était suffisante pour prouver le point. Assez vite j’ai vu que ca allait être assez générique pour même déchirer la question 2 😇. Honnêtement c’est aussi plus de 10 ans d’expérience dans les pattes 😅. Cette « paresse » est un bon réflexe général pour prendre du recul!
@@TheMathsTailor Cette histoire de n=2 est de mon point de vue super importante. Plus généralement, j'ai remarqué que la grande majorité des élèves ne prennent pas le temps de regarder des exemples concrets avant de se lancer dans le raisonnement qui concerne le cas général. Par exemple, en considérant directement (a + b sqrt(2))^n+(a - b sqrt(2))^n avec les premiers cas particuliers n=2, 3 on voit tout de suite le fonctionnement général (raisonnement inductif) qui est que les sqrt(2) vont s'annuler grâce aux exposants impairs de (-b)^{2k+1} qui arrivent une fois sur deux. Par contre, ce que je trouve très difficile, c'est qu'en faisant de cette manière, on ne pense pas à ton truc de (a + b sqrt(2))^n = p + q sqrt(2) pour la deuxième question.
pour la 2 on aurait pu sans doute utiliser le binome puis la formule sigma(k = 1, n, U_k) * sigma(k = 1, m, V_k) = sigma(k = 1, n, sigma(p = 1, m, U_p * U_k))
Oui ça se tenterait ! J’avoue préférer essayer de faire autrement car je sais que je risque de faire des erreurs si je me lance dans les sommes à multiples indices 😄
On peut poser b'=b*rc2: On sait que: (a+b')^n=a^n +p1*a^(n-1)*b' +p2*a^(n-2)*b'^2+..... +b'^n (1) Et en remplaçant b' par -b': (a-b')^n=a^n +p1*a^(n-1)*(-b')+....+(-b')^n avec les mêmes coefs entiers p1,p2,... La somme (1)+(2) ne contient que les termes en (b')^k, k pair donc rationnels car b'^k=b^k*2^(k/2) .
En tant qu'ancien taupin, je ne peux que conseiller aux futurs taupin de surtout bien travailler la logique avec la prepa. Bien maîtriser les raisonnements par implication, équivalence, récurrence, par l'absurde. Le reste vous allez tellement bosser que la technique viendra, mais si vous arrivez déjà en étant certain de vos bases logiques, que vous raisonner en utilisant "donc" et surtout pas "car"......vous partez du bon pas. Ensuite si en plus vous avez des bases bien solides en théorie des ensembles......je peux vous garantir que vous allez grandement vous faciliter votre vie en math sup. Les bases avant tout. Les mathématiques sont une sciences constructives et la logique est sa base.
C’est juste une question d’écriture : On peut dire « Soit p € Q et r € Q » Ou bien « Soit le couple (p,r)€QxQ » le premier Q est pour p le second pour r, souvent on finit par écrire Q^2 plutôt que QxQ Autre exemple : « Soit n€Z et r€R » On peut dire aussi : « Soit le couple (n,r)€ZxR » et ici pas de ‘au carré’ possible
Q^2 signifie simplement que tu es dans un espace à deux dimensions et que chacune de ces dimensions est Q (ici par exemple cela signifie juste que c appartient à Q et d aussi). La principale raison pour laquelle on fait cela c'est pour signifier que les deux (ou plus si Q^3, Q^4,...) inconnues ne sont pas liées Edit : Du coup oui Q est bien inclus dans Q^2
@@TheMathsTailor donc en une ligne c'est traité. Mais la méthode récursive est intéressante et très pédagogique. Ça démontre qu'en Maths, il suffit de se tromper de méthode pour perdre beaucoup de temps.
Soit la suite définie par U(0) = 2 U(1) = 2a Et U(n+2) - 2aU(n+1) + (a^2-2b^2)U(n)=0 Tous les termes de cette suite sont clairement des rationnels On peut montrer que la suite de l'énoncé vérifie cette même relation de récurrence ( il s'agit en fait des deux racines de l'équation caractéristique X^2-2aX+(a^2-2b^2)=0)
Jfais parti des gens qui sont complétement nul et largué dans les mathématiques. J'ai beau faire de l'informatique, quand c'est de l'algébre comme ça, j'ai l'impression qu'on parle chinois. Y'a des p des q pour moi jsuis obligé de connaître leur contenu mdr
![[ ออกกอง ] วัยหนุ่ม 2544 โลกหลังลูกกรง..ทัวร์กองถ่ายหนังใน "คุกของจริง" | JUSTดูIT.](http://i.ytimg.com/vi/vB--aOkZCpw/mqdefault.jpg)
La démonstration à l'aide du polynôme de Newton fonctionne pour les deux questions, bien que plus 'difficile' pour la deuxième. Comme mon prof de math disait souvent, pour la même réponse on a souvent une méthode "bourrine" et un astuce qui donne souvent une résolution bien plus élégante.
Et il vaut toujours mieux faire la bourrine que rester coincé ;)
Bonjour, j'aurai une petite question a propos de la démonstration avec le binôme de Newton du 2. En admettant qu'on a k et k' comme indice respectivement pour n et m, il faudrait donc bien étudier les 4 cas différents pour lequel k et k' sont pairs ou impairs?
Excellente intuition pour la question 1 :-) A noter pour la question 2, le denominateur n'est pas nul car on utilise l'hypothese que racine de 2 n'est pas rationnel. Merci pour le partage.
Merci!
En effet il fallait absolument le préciser et je l’ai oublié, bien joué ! 😊
@@TheMathsTailor Quand tu fais des petites erreurs, qui sont quasiment inévitables, tu as la possibilité d'ajouter des erratum directement sur la vidéo. Certains youtubeurs (trop rare à mon gout) le font et cela a pour conséquence de ne pas induire certains en erreur. C'est mieux que de le signaler simplement dans la description car beaucoup ne la lisent pas systématiquement.
@Loïc Geeraerts top je savais pas! je vais regarder ça et essayer de corriger vite ;)
Edit : j'ai juste rajouté une fiche info (avec le petit i) j'ai mis un lien vers un article qui parle de la division par 0, voilà comment je m'en suis sorti :D
J’ai fini ma prepa y a deux ans et franchement tes vidéos sont très sympa à suivre. Continue comme ça car j’aurai aimé avoir ce genre de support pour voir des astuces de manière plus agréable !
Merci beaucoup !
J'ai arrêté les maths en TS après mon inscription en droit y'a déjà plus de 10 ans mais je me régale d'y revenir avec tes exos corrigés ! bravo :)
Merci !
Vidéo très sympathique, bonne chance aux futurs préparationnaires! Merci pour ton travail, c'est le genre de contenu qui m'aurais simplifié la vie a l'époque !
Merci !
Bonne vidéo !
En effet, l'intuition vient du fait qu'en développant avec le binôme de Newton, on a juste un (-1)^n qui va changer entre les expressions. De plus, pour montrer la 1), le binôme de newton nous donne explicitement la valeur de la somme et on remarque que ✓2 a disparu donc c'est bien à valeurs dans Q (car les coeff binomiaux sont des entiers).
super démonstration !
Cette résolution est très jolie, j'ai vraiment hâte d''aller en prépa maintenant
Hehe courage pour la suite alors 😊
pour le coup j'avais vu tout de suite pourquoi ca se compensais dans un premier temps , mais après pour trouver une rédaction , je suis partis sur la formule de newton avec une disjonction des cas pour n-k pair ou impair et ct bcp trop compliqué , donc c super que t mis l'accent sur la rédaction pour résoudre le problème astucieusement
Salut
J’adore tes vidéos. J’ai cliqué dès la notification. Après quelques mois, j’ai cru que la chaîne était en pause.
Les démonstrations, l’ambiance, c’est top.
Bonne continuation 👍
Merci du fond du cœur c’est très motivant 😊 J’ai été en pause à cause d’une période très busy pour moi ces mois de mai juin mais je suis de retour hehe 😁
J'adore. Vous êtes un des profs les plus intéressants à suivre. Beaucoup d'élégance dans vos explications. (et je regarde tous les intervenants math, mêmes ceux non francophones). Question : moi qui a adoré votre vidéo sur la tâche d'huile, avez vous dans l'idée de faire d'autres vidéos portant sur la physique ? Ce serait une bonne nouvelle :) (mais je comprends aussi que ça vous prend déjà beaucoup de temps surement et que vous n'avez pas le temps de tout faire).
Merci c’est trop sympa! C’est vrai que je fais plutôt des maths - la tâche d’huile était également une partie de « maths appliquées » d’un sujet de maths.
Cela dit la physique j’adore ça également donc rien n’est impossible à l’avenir 😊
Merci pour le mot d’encouragement!
Tu es de retour!! Toujours chouette et franchement sympa tes videos ;)
Merci beaucoup ! Yes j’ai pris une petite pause mais je suis reparti now 😃
cet exo a été dans mon premier controlle de math dans la 2eme annee du lycée au maroc option sm 😐
Hé ben :D
Super vidéo, exactement ce qu’il me faut avant la mpsi!
Merci @Sacha! Je vais essayer d’en faire quelques unes cet été justement ;) hésite pas à venir sur le discord si tu veux proposer des sujets en particulier!
@@TheMathsTailor parfait merci ça serait super sympa
@@TheMathsTailor salut serait il possible d'avoir le lien du discord ?
Yes il est en description de chaque vidéo ;)
Depuis plusieurs jours l'algo TH-cam me propose ta chaine que je ne connaissais pas du tout. Il a dû se passer quelque chose qui l'incite a plus proposer ta chaine ce qui doit expliquer la récente expansion du nombre de vues et d'abonnés.
Je suis ingénieur en activité et sorti de l'école il y a 10 ans et je trouve très divertissant de regarder ton contenu.
Alors merci et bonne continuation !
(Juste un détail que j'ai noté sur une autre vidéo, tu utilises souvent le TVI pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution, or (pour chipoter et sauf erreur) le TVI n'assure pas l'unicité. C'est bien le théorème de la bijection (cas particulier du TVI qui permet d'établir l'unicité).
Merci! Je ne sais pas exactement ce qu’il s’est passé sur TH-cam, en tout cas je suis très content que ça te plaise 😄
Oui pour le TVI je parle trop vite en disant uniquement « TVI », je dis parfois « TVI dans le cas d’une fonction monotone », mais c’est plutôt théorème de la bijection qu’il faut dire clairement !
@@TheMathsTailor Certain puriste en prépa l'appelle théorème d'homéomorphisme, mais il me semble que en term on l’appelait bien théorème de la bijection.
J’ai fait le choix de partir sur le binôme de Newton, en factorisant correctement et en raisonnement sur pair/impair on arrive rapidement à prouver la question 1.
Mais en revanche j’ai été bien bloqué sur la question 2, car je n’avais pas trouvé la proposition que tu as démontré par récurrence !
En tout cas, merci pour tes vidéos, elles sont top !
Merci @renaud ! En effet ça marche sans récurrence avec le binôme de Newton pour la 1) 😉
Super vidéo !
Merci 😁
SVPPP fait plus de vdsss !! J'ai adoré ton contenu !! J'aime bien que tu fasses des exos diff et tricky en rapport avec la prépa + des exos de concours intéressants (type oraux) qui sont parfois issus dolympiades
Merci j’essaie de faire une par semaine on verra si j’arrive à accélérer! 😃
@@TheMathsTailor mercii
5:20 J'adore le côté, intuition, essai sans savoir si ça va marcher. Et si ça ne marche pas on adaptera un peu ou bien on fera autre chose. C'est ça faire des maths, c'est faire preuve d'intuition, de créativité et ce n'est pas faire du psittacisme en identifiant la ou les méthodes donnée par d'autres (en général ses enseignants de mathématiques) avec un problème déjà connu.
Bon perso, j'ai utilisé directement le binôme de Newton sans passer par une récurrence.
Le binôme de Newton marche très bien pour le 1) mais après poir le 2) c'est la panade. Bon exo de début prépa
magnifique demonstration - il est clair que la reduction p+/-q*sqrt(2) a tout simplifiee, ca aurait ete interessant de voir comment ca allait se goupiller avec le binome de newton
(a+bsqrt(2))^n et avec -b on a un développement avec le triangle de Pascal. Les puissances paires en le deuxième terme sont entières et les impaires ont un signe opposé dans les deux donc se compensent. Non?
Avec du recul, on peut identifier Q[racine(2)] à Q[i] par isomorphisme et directement utiliser que la somme de deux nombres conjugués est réelle, c'est-à-dire après isomoprhisme inverse que la somme des deux quantités conjuguées est rationnelle ;-)
Mais oui c’est la plus belle démo ;) quelqu’un l’a suggérée plus tôt dans les coms aussi je crois. J’adore ! Mais il faut connaître un minimum ce que sont les structures algébriques 😁 j’essaie d’être lycée - friendly (même si lycee poussé 😉) dans mes démos TH-cam !
@@TheMathsTailor Je viens de me rendre compte que j'ai dit une bêtise (mais heureusement elle n'a pas été remarquée). Il n'y a en fait pas de morphisme de corps entre Q[racine(2)] et Q[i]. Néanmoins, on peut tout de même montrer que la conjugaison est un automorphisme de corps, tout comme sur Q[i] (ou C à vrai dire...) et obtenir le résultat voulu. Et ça, c'est plus abordable niveau lycée avec des questions intermédiaires
Bravo! Continue
Merci! :)
Moi j'ai fait binôme puis utilisation de la parité des puissances et du signe moins de l'expression pour montrer que les racines de deux disparaissaient, ensuite pour la question 2 j'ai utilisé le résultat précédent et trifouiller pour retrouver un rationnel.
Comme je ne la vois pas dans les commentaires je propose une autre solution, avec des concepts beaucoup plus avancés (à ne pas prendre comme une solution à laquelle on pourrait s'attendre en lycée ou en prépa mais comme une invitation à se renseigner sur la théorie de Galois et une autre manière moins "magique" d'interpréter le résultat de la question).
Q(sqrt(2)) est une extension galoisienne du corps Q des nombres rationnels dont le groupe de Galois est constitué de l'identité et de l'automorphisme f envoyant a+b sqrt(2) (pour a et b rationnels quelconques) sur a-b sqrt(2). Or pour chacune des deux questions, appliquer l'automorphisme f à la somme revient simplement à inverser l'ordre dans lequel on somme les deux expressions. Par conséquent dans les deux cas le nombre considéré appartient au corps fixé par le groupe de Galois : Q.
Ainsi cet exercice est un cas particulier d'un énoncé de théorie de Galois : soit K un corps et L une extension finie galoisienne de K. Soit x appartenant à L. La somme des f(x) pour f appartenant au groupe de Galois de L sur K appartient à K.
Bravo les math
Quelqu’un l’a proposée sur discord c’est honnêtement la plus simple (si on a les notions), j’adore! C’est élégant et super rapide,
Bien joué !
Super vidéo, merci beaucoup !
Merci à toi ! 😊
C'est incroyable ce que vous faites. J'aurais tellement aimé connaître cette chaine TH-cam lorsque j'étais au lycée (elle n'existait pas il y a 4-5ans :( )
Vous pouvez proposer des exos d'olympiade pour préparer le concours général notamment 😀 (si vous avez le temps et la foi de regarder)
Merci! Oui je vais regarder ça! Souvent ce sont des problèmes un peu longs pour des vidéos TH-cam je pense mais j’ai pas mal d’exos sous le coude qui sont du bon format ;)
@@TheMathsTailor Super ça ! Si vous voulez que j'en corrige quelques uns pour vous permettre de gagner du temps, j'ai quelques vacances jusqu'à fin août
Avec plaisir un coup de main n'est jamais de refus :D même déjà pour trouver les bons exos. N'hésite pas à me DM sur discord pour en parler !
J ai refait l exercice en essayant d abord la décomposition avec la formule du binome mais méthode proposée est bien élégante. Pas trop rouillé j ai fait prépa sup spé en 1988...
Hehe ça ne se perd pas!
toujours aussi clair ! Ps: sympa tes lunettes ^^
Merci ! Trop de temps sur les écrans = achat de lunettes anti-lumière bleue 😅
(mais en vrai c'est juste pour faire plus prof 😁)
Bonjour, j'ai essayer de démontrer ca en utilisant le binôme de newton et sans récurrence et ca m'a l'air de marcher
pouvez me dire ci c'est faisable .
Pour la 1) j'ai réfléchi aux équations séquentielles de dégré deux, le polynome caractéristique de l'équation séquentielle u_(n+2) - 2a*u(n+1) + a² - 2b² a comme racines (a + b*sqrt(2)) et (a - b*sqrt(2)) avec u_0 = 2 et u_1 = 2a, une récurrence permet directement de voir que u_N est dans Q. Pour la 2, j'avoue que ta solution est bien plus simple par extension de la 1)
C’est créatif je n’y avais pas pensé ! Bien joué !
Ça serait pareil avec √3. En fait de même que ce qui induit les nombres complexes c'est l'ajout d'un carré négatif. Et que si i est racine de x²+1 alors -i aussi. Et qu'en remplacent (dans n'importe quelle formules utilisant seulement des fonctions continue et non pas la fonction "valeur absolue" ou "parti réel" ou "partie imaginer"...) i par -i, et -i par i on trouve les mêmes parties réelles et des parties imaginer opposé (donc -i remplacer par i et i remplacer par-i). De même parmi les nombres rationnels, l'ajout de √2 s'écrit comme les nombres complexes mais avec √2 à la place de racine de -1. Et en remplacent √2 par -√2 et -√2 par √2, on trouve la même valeur rationnels et un multiple de √2 opposé.
En fait √2 est le nombre qui au carré fait 2. -√2 fait la même chose.
Si f(a+bi)=c+di alors f(a-bi)=c-di(à condition que f soit une fonction analytique. Ce qui n'est pas le cas par exemple de la fonction valeur absolue)
De même en utilisant que des fonctions f qui pour une valeur rationnels donnes des valeurs rationnels, si x, y et z sont rationnels et z n'est pas le carré d'un rationnels. Alors si f(x+y√z)= u+v√z(avec u et v des nombres rationnels) alors f(x-y√z)=u-v√z
La solution la plus jolie, c'est de donner une suite de rationnels, définie par une récurrence d'ordre 2, dont ces nombres sont le terme général !
Yes tu n'es pas la premier à en parler : elle est très stylée et je n'y ai pas du tout pensé :D ! Sur discord quelqu'un a proposé quelque chose de très beau également, avec de la théorie des ensembles :
en utilisant le corps des a+bsqrt(2),
et l'automorphisme de conjugaison.
Quand tout est bien mis en place c'est très simple ensuite, très classe :D
Un peu brute de pomme mais partir sur formule de Newton + récurrence fonctionne pour la première question. En revanche, pour la question 2, on a besoin de l'expression en fonction d'un p et d'un q, ce qui peut bloquer longtemps. Pour avoir l'idée, je pense qu'il vaut mieux bien lire toutes les questions avant d'entamer l'exercice et, si on bloque, se demander comment reformuler le premier résultat tout en examinant les premières valeurs de n.
En passant, je pense qu'il peut être plus judicieux d'indicer p et q par n, afin de bien voir que ces valeurs dépendent de n. Excellente vidéo cela dit !
Merci pour ces remarques !
On s’en fiche un peu que p ne soit pas écrit « p_n », c’est assez clair que p dépende de n vu la façon dont c’est écrit. C’est rigoureux, donc pas de problème.
Sympa comme méthode pour la 1) ! Je me souviens qu'on utilisait le binôme de Newton et petit raisonnement sur la parité de l'indice de sommation pour virer les racines de 2, mais ça n'aurait probablement pas suffi pour la 2)
J'avais aussi exploré le binôme mais c'était devenu assez laborieux très vite (trop d'indices à écrire dans tous les sens :D). En partant sur une propriété plus générale, on peut en effet direct l'appliquer à la 2) !
Bonjour, merci pour ces vidéos de qualité et félicitation pour ces stats. Puis-je vous demander quelle application utilisez vous pour rédiger de manière manuscrite ainsi qu'avec des symboles mathématiques.
Merci ! L’appli s’appelle notability, sur iOS. Elle inclut un package maths qui permet la reconnaissance de l’écriture manuscrite et sa transformation en LaTeX ;)
Bonjour ! Peut-etre une question bête mais dans l'exercice 1, comment on sait que 2p est rationnel ?
On pourrait arriver à un résultat en utilisant l’égalité de Bernoulli non?
Pour ceux que cela intéresse, j'ai d'abord travaillé avec le binôme de Newton sans les racines carrées pour que ça soit moins lourd :
\left(a+b
ight)^n+\left(a-b
ight)^n=2\sum_{k\mathop{=}0}^{E\left(n/2
ight)}\binom{n}{2k}\:a^{n-2k}b^{2k}
Ensuite, j'ai finalisé :
\left(a+b\sqrt{2}
ight)^n+\left(a-b\sqrt{2}
ight)^n=2\sum_{k\mathop{=}0}^{E\left(n/2
ight)}\binom{n}{2k}\:a^{n-2k}2^kb^{2k} \in \mathbb{Q}
Bonjour, pour la 1 je remarque que les parenthèses sont les solutions de x^2-2ax+(a^2-2b^2) donc le gros machin est le terme de rang n de la suite définie par u_0=2 u_1=2a et u_(n+2) = 2a u_(n+1) - (a^2-2b^2) u_(n) dont on montre facilement par récurrence qu'il est rationnel. Et sincèrement, c'est ça la première idée qui m'est venue...
Yes vous n’êtes pas le premier à me l’indiquer dans les commentaires! Excellente méthode !
Perso j'ai fait une récurrence double et ça marche bien aussi👍
Ha bien joué !
Est-ce que tu peux revenir, en détaillant un peu plus, sur ton cheminement qui abouti à abandonner les expressions données et partir sur l'idée directrice qui est d'utiliser l'existence de p et q ?
D'avance merci.
En gros c’est beaucoup de « paresse » = désir de faire efficace qui s’est passé 😅 j’ai pensé d’abord binôme et ca m’a grave gonflé donc j’ai essayé de me dire « pourquoi ces racines partent ? » et n=2 m’a mis sur la voie. Même quantité de racines des deux côtés. Et j’ai tilté que cette propriété « meme racines des deux côtés » était suffisante pour prouver le point. Assez vite j’ai vu que ca allait être assez générique pour même déchirer la question 2 😇.
Honnêtement c’est aussi plus de 10 ans d’expérience dans les pattes 😅. Cette « paresse » est un bon réflexe général pour prendre du recul!
@@TheMathsTailor Cette histoire de n=2 est de mon point de vue super importante. Plus généralement, j'ai remarqué que la grande majorité des élèves ne prennent pas le temps de regarder des exemples concrets avant de se lancer dans le raisonnement qui concerne le cas général. Par exemple, en considérant directement (a + b sqrt(2))^n+(a - b sqrt(2))^n avec les premiers cas particuliers n=2, 3 on voit tout de suite le fonctionnement général (raisonnement inductif) qui est que les sqrt(2) vont s'annuler grâce aux exposants impairs de (-b)^{2k+1} qui arrivent une fois sur deux.
Par contre, ce que je trouve très difficile, c'est qu'en faisant de cette manière, on ne pense pas à ton truc de (a + b sqrt(2))^n = p + q sqrt(2) pour la deuxième question.
pour la 2 on aurait pu sans doute utiliser le binome puis la formule sigma(k = 1, n, U_k) * sigma(k = 1, m, V_k) = sigma(k = 1, n, sigma(p = 1, m, U_p * U_k))
Oui ça se tenterait ! J’avoue préférer essayer de faire autrement car je sais que je risque de faire des erreurs si je me lance dans les sommes à multiples indices 😄
Tres fort
Comment on fait pour se faire « vérifier » sur ton discord ? Je comprends rien
Hello, tu as un bot anti raid qui check que tu es un être humain - il faut remplir le captcha qu’il t’envoie ;)
@@TheMathsTailor yep nickel merci
Est-ce normal que je ne comprends pas tout alors que je suis en fin de première spé maths!
Oui car la récurrence est un chapitre de terminale spécialité ;)
On peut poser b'=b*rc2:
On sait que:
(a+b')^n=a^n +p1*a^(n-1)*b' +p2*a^(n-2)*b'^2+..... +b'^n (1)
Et en remplaçant b' par -b':
(a-b')^n=a^n +p1*a^(n-1)*(-b')+....+(-b')^n avec les mêmes coefs entiers p1,p2,...
La somme (1)+(2) ne contient que les termes en (b')^k, k pair donc rationnels car b'^k=b^k*2^(k/2) .
En tant qu'ancien taupin, je ne peux que conseiller aux futurs taupin de surtout bien travailler la logique avec la prepa. Bien maîtriser les raisonnements par implication, équivalence, récurrence, par l'absurde. Le reste vous allez tellement bosser que la technique viendra, mais si vous arrivez déjà en étant certain de vos bases logiques, que vous raisonner en utilisant "donc" et surtout pas "car"......vous partez du bon pas.
Ensuite si en plus vous avez des bases bien solides en théorie des ensembles......je peux vous garantir que vous allez grandement vous faciliter votre vie en math sup.
Les bases avant tout. Les mathématiques sont une sciences constructives et la logique est sa base.
Est-ce quelqu’un pourrait m’expliquer c’est quoi la différence entre l’ensemble Q et Q^2? Et si l’un est inclus dans l’autre?
C’est juste une question d’écriture :
On peut dire
« Soit p € Q et r € Q »
Ou bien
« Soit le couple (p,r)€QxQ » le premier Q est pour p le second pour r, souvent on finit par écrire Q^2 plutôt que QxQ
Autre exemple :
« Soit n€Z et r€R »
On peut dire aussi :
« Soit le couple (n,r)€ZxR » et ici pas de ‘au carré’ possible
Q^2 signifie simplement que tu es dans un espace à deux dimensions et que chacune de ces dimensions est Q (ici par exemple cela signifie juste que c appartient à Q et d aussi). La principale raison pour laquelle on fait cela c'est pour signifier que les deux (ou plus si Q^3, Q^4,...) inconnues ne sont pas liées
Edit : Du coup oui Q est bien inclus dans Q^2
@@TheMathsTailor @Jack Douglass merci pour vos précisions !!
Q^2 est l’ensemble des paires de Q.
😏 @Julien4230 c'est un commentaire sujet à interprétation
Dose stp j'suis en terminale spé maths on n'a jamais vu ça ...
J'ai fait le calcul en passant par les coefficients binomiaux pour la première question. Mais je pense que c'est hors programme. 🤭
C’est encore vu en terminale!
@@TheMathsTailor donc en une ligne c'est traité. Mais la méthode récursive est intéressante et très pédagogique. Ça démontre qu'en Maths, il suffit de se tromper de méthode pour perdre beaucoup de temps.
je vais en classe prépa mais je suis loin de réussir cet exercice avec autant d'aisance.
En tout cas bonne vidéo
Merci ! Courage en pratiquant ça va aller de mieux en mieux ! 😉
Soit la suite définie par
U(0) = 2
U(1) = 2a
Et U(n+2) - 2aU(n+1) + (a^2-2b^2)U(n)=0
Tous les termes de cette suite sont clairement des rationnels
On peut montrer que la suite de l'énoncé vérifie cette même relation de récurrence
( il s'agit en fait des deux racines de l'équation caractéristique X^2-2aX+(a^2-2b^2)=0)
yes j'aurais fait pareil ! Bcp plus elegant que la recurrence ou le binome :-)
Bon explication
Merci!
Mdr j suis mort la "transition". J suis en fin de sup et j ai pas réussi
2:19... voir que les doubles produits s'éliminent à cause de la différence des signes dans les deux expressions n'est pas non plus un drame...
Jfais parti des gens qui sont complétement nul et largué dans les mathématiques.
J'ai beau faire de l'informatique, quand c'est de l'algébre comme ça, j'ai l'impression qu'on parle chinois. Y'a des p des q pour moi jsuis obligé de connaître leur contenu mdr