Encore une très bonne vidéo. Ma méthode est un peu plus compliquée. Moi j'ai remarqué que 2 etait solution assez vite. On vérifie ensuite que c'est la seule solution (toujours penser a vérifier lorsqu'on trouve une solution évidente que c'est la seule). On montre que la suite u(n) = 9**n-n**4 est strictement croissante pour le vérifier. Ok peut tenter en regardant u(n+1)-u(n), mais ça peut être compliqué. Le plus simple c'est de se placer sur R+ et regarder la dérivé. On constate que u'(x)>u(x) pour x>1 et u(1)>0. En fait on peut montrer que lorsqu'on a ça pour une fonction continue dérivable, elle est croissante et diverge même vers l'infini
Méthode plus intuitive pour moi, chercher la puissance de 9 la plus proche de 65 (9²=81) et constater que 2 est solution de l'équation car 9² - 2⁴ = 81 - 16 = 65
Et j'ajouterais que chercher la première valeur de x telle que 9^x>65 fait sens. Entre 9^x et x^4, c'est 9^x qui va "monter" le plus vite, et il écrase très vite x^4 quand x>0. C'est l'inverse quand x
Et voilà, c'est super facile 😂😂😂 après avoir regardé la vidéo, of course. Ce qui m'épate le plus, c'est le fait de tenter des valeurs de "x" au hasard après avoir un peu réfléchi. Lors de ma scolarité je ne me rappelle pas qu'on avait le droit de le faire. 😢
IDEE DE VIDÉO je vous propose de résoudre cet exercice :a^3/((a-b)(a-c)) + b^3/((b-a)(b-c)) +c^3/((c-b)(c-a)) Précision les a^3,b^3 et c^3 sont les numérateurs, Merci d'avance pour vos vidéos et félicitation pour les 1M d'abonnés
Courage ! Moi aussi j'ai eu du mal jusqu'à ce que je comprenne que ça revient à connaître un certain nombre de résultats connus et exploiter des propriétés. En gros, en cours on va t'apprendre que la dérivée f' de la fonction f(x) au point x0, c'est la limite de [f(x)-f(x0)]/(x-x0) lorsque x tend vers x(0) ce qui te donne juste la valeur de la fonction dérivée en un seul point. Mais si on arrive à calculer la dérivée en tout point et à dessiner ses valeurs, on trouve une courbe qui correspond à une nouvelle fonction f'(x) différente de f(x). Et plusieurs fonctions ont des dérivées déjà connues qu'il faut juste apprendre par cœur. Et il existe des méthodes pour transformer des fonctions complexes en somme, produit ou composition de fonctions simples dont on connaît la dérivée et on peut alors calculer la dérivée en appliquant une formule que j'ai déjà oubliée mais qui devrait être dans tes cours ou tes futurs cours. Ceci dit, ces cas-là représentent déjà un usage assez avancé. Et pourquoi on s'embête avec ça ? Principalement pour des études de fonctions car la dérivée a une propriété intéressante : le signe de la valeur de la dérivée en un point indique si la fonction dont est issue la dérivée est croissante ou décroissante en ce point. Cela permet d'établir un tableau de variation de la fonction qu'on étudie et ainsi savoir sur quel(s) intervalle(s) la fonction est croissante et sur quel(s) autre(s) elle est décroissante. Il y a plein d'autres usages mais pour cette année, je pense que c'est le principal usage. En résumé : - on identifie la forme de la fonction qu'on étudie - on en déduit la dérivée parmi celles qu'on a apprises - on calcule les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s'annule - on étudie le signe de la dérivée dans les intervalles délimités par les valeurs trouvées précédemment - on en déduit les variations de la fonction f sur ces intervalles. Même si les concepts de la dérivation ne sont pas simples à comprendre, la mise en pratique est généralement assez simple. Si tu as du mal à te représenter la signification de ce que représente une dérivée, tu peux mettre cette problématique de côté pour le moment et te contenter d'apprendre des dérivées connues de fonctions de base. A force de les manipuler, elles te deviendront plus familières.
Pour moi il y a une petite etape manquante : à 3:09, s'assurer de l'équivalence entre "x est dans Z" et " chacun des membres est dans Z" D'ailleurs ne pourrait on pas imaginer que les membres ne soient pas entiers lais que leur multiplication donne un entier ? ( Apres tout, le produit de 65π et 1/π donne bien 65). Des solutions cachées à la clé ?
Tout à fait, je me suis aussi posé la question. Mais quand n>0 (3^n-n^2)(3^n+n^2) est un produit de deux entiers, donc on peut faire l'association. Quand n
5*13 n'était pas la seule possibilité, il y avait aussi 13*5 Or il n'y a pas de résultat pour { 3^x = x^2 = 13 ; 3^x + x^2 = 5 } Il fallait donc avoir la décomposition de 65 dans l'ordre précis 5*13. J'aurais aimé que vous précisiez que la réponse était à chercher dans les deux combinaisons, car si on se limitait à 13*5 on tombait dans une impasse.
Bonjour, Moi, par réflexe de feignant, j’ai tenté d’annuler le polynôme et "2" marchait bien mais je ne sais pas si ça m’amenait quelque part. De plus c’est une équation du 4° degré, on ne devrait pas chercher 4 solutions ? Bravo en tout cas.
hello, autant sur les nombres negatif (-5*-13) ca ete developpé, mais l'explication du terme de gauche necessairement plus petit que celui de droite, a été balayé un peu rapidement. J'aurais au moins dit que -x² est forcément plus petit que +x² et que donc on peut se limiter a (1,65) et (5, 13) puisque leur permutation ne respecte pas la clause
(3^x)-x²=5 (¹) et (3^x)+x²=13 (²) Alors 2×(3^x)=18 (¹+²) 3^x=9 3^x=3² x=2 Validé par 2×(x²)=8 (²-¹) x²=4 x=2 car x=-2 impossible Dans R, pour ce systeme, (3^x)-x²=1 (¹) et (3^x)+x²=65 (²) Alors 2×(3^x)=66 (¹+²) 3^x=33 x=log(33)/log(3) 2×(x²)=64 (²-¹) x²=32 x=sqrt(32) Donc aucune solution ne coroborent dans ce deuxieme systeme. Après si l'on veut resoudre dans R, il faudrait transformer l'equation pour pouvoir utiliser la fonction W de lambert. Mais ce n'est pas toujoirs simple à mettre en oeuvre
Plus efficace plutôt que de tester il suffisait de dire que la somme des deux facteurs valait 2*3^x et la différence 2*x^2 Et comme les seules sommes sont 18 et 66 et les seules différences sont 8 et 64 on arrive vite au résultat
Salut! je réitère ma question après... près d'un an : à part calculer le meilleur prix d'une crêpe au sucre, aurais tu des exemples concrets pour utiliser une équation du second degré dans la vrai vie d'un travailleur? ou alors ça sert à rien? Merci!
65 c'est proche de 64, puissance de 2, on a x⁴ donc y a du puissance 2, et le 9 on a une puissance libre. Donc visiblement y a un truc à faire puissances de 2. On teste. 2 fonctionne. Next.
Il suffit juste d'essayer des petits entier. Avec x=0 ça ne marche pas. x=1 non plus. Avec x=2 ça marche. Ensuite le 9^x monte trop vite par rapport au x⁴ donc il n'y a pas d'autres solutions.
Dans l'étape (3^x-x²)(3^x+x²)=1×65 ou =5×13. Si on écrit 3^x-x²=1 et 3^x+x²=65 on peut écrire (3^x+x²)+(3^x-x²)=65+12×3^x=663^x=33 or 33 n'est pas une puissance entière de 3 donc 1×65 n'est pas possible.(On pourrait aussi faire (3^x+x²)-(3^x-x²)=65-12x²=64x²=32. 32 n'est pas un carré parfait. Donc 1×65 ne fonctionne pas.) Essayons 5×13. 3^x-x²=5 et 3^x+x²=13 donc (3^x+x²)+(3^x-x²)=13+52×3^x=183^x=9x=2. (3^x+x²)-(3^x-x²)=13-52×x²=8x²=4 x=2 ou x=-2.(en l'occurrence ici x=-2 ne fonctionne pas. Donc x=2)
Il faut formater l'équation pour la mettre sous la forme x(e^x)=... ou ax(e^ax)=... Et utiliser la fonction de lambert Ce qui donnera x=W(...) ou ax=W(...), x=W(...)/a Mais c'est pas simple à réaliser et de plus, la fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.
Euh il y a un ÉNORME problème : x dans Z ne veut pas dire (3^x + x2) dans Z : exemple x = -2 Donc les deux termes ne sont pas du tout entiers avec x négatif Et on ne peut pas du tout balayer ça d’un revers de main car on a un produit de deux réels, donc potentiellement d’autres solutions… Un argument pourrait être que 9^x doit être entier, car sinon en lui retranchant x^4 qui lui est entier on ne retombe jamais sur 65. Et donc que x est positif, ce qui règle notre pb. Mais il faut le dire dans la démonstration…
Si x est dans Z , 9^x, 3^x-x^2 et 3^x+x^2, ne sont pas forcément dans Z. Résolution incomplète/incorrecte. Cela doit être précisé pour vos abonnés. Au moins expliquez s’il y’a possibilité de les avoir dans Z. Il serait intéressant de traiter votre problème pour x>0 et montrer que pour x=0 ou x
@@aveclui-bx8kz je pense que comme c'est assez évident qu'il n'y a pas de solution pour x négatif, il a considérer le problème uniquement sur N. Ça me rappelle le lycée. On utilisait tout le temps des théorèmes sans préciser que telle ou telle fonction était continue, dérivable, définie sur R+, ect... Parce que c'était évident et c'était même pas exiger au bac, donc par habitude on les marquaient plus. Et ensuite arrivé en prépa mon prof arrêter pas en début d'année de nous dire de toujours vérifier les hypothèses et les écrire, vu que les problèmes qu'on avait étaient plus délicat.
@@aveclui-bx8kz je pense qu'il a supposer que c'était évident qu'il n'y a pas de solution pour x négatif et s'est donc placer sur N sans le préciser. C'est probablement une question d'habitude. Ça me rappelle le lycée où on utilisait souvent des théorèmes qui nécessitent certaines conditions (fonction continue, dérivable, domaine de définition...). Mais comme la plupart du temps ces hypothèses étaient évidentes on les précisait pas, par habitude (et en plus c'était même pas demandé au bac il me semble). Et plus quand je suis arrivé en prépa mon prof nous disait tout le temps de bien préciser les hypothèses à chaque fois qu'on utilise un théorème, vu que la les cas étaient pas toujours aussi évident
Incroyable, t'es le meilleur prof de maths de TH-cam 👍👍💪
Encore une très bonne vidéo. Ma méthode est un peu plus compliquée. Moi j'ai remarqué que 2 etait solution assez vite. On vérifie ensuite que c'est la seule solution (toujours penser a vérifier lorsqu'on trouve une solution évidente que c'est la seule). On montre que la suite u(n) = 9**n-n**4 est strictement croissante pour le vérifier. Ok peut tenter en regardant u(n+1)-u(n), mais ça peut être compliqué. Le plus simple c'est de se placer sur R+ et regarder la dérivé. On constate que u'(x)>u(x) pour x>1 et u(1)>0. En fait on peut montrer que lorsqu'on a ça pour une fonction continue dérivable, elle est croissante et diverge même vers l'infini
Méthode plus intuitive pour moi, chercher la puissance de 9 la plus proche de 65 (9²=81) et constater que 2 est solution de l'équation car 9² - 2⁴ = 81 - 16 = 65
La même
Oui j'ai aussi vu la solution x=2 assez vite. Par contre il faut bien vérifier que c'est la seule solution.
Et j'ajouterais que chercher la première valeur de x telle que 9^x>65 fait sens. Entre 9^x et x^4, c'est 9^x qui va "monter" le plus vite, et il écrase très vite x^4 quand x>0. C'est l'inverse quand x
Petite équation sympa. Je suis très content car je l'ai résolue de tête 😊👍🏾
Merci Prof
Bravo pour vos vidéos et surtout pour votre million d'abonnés.
Et voilà, c'est super facile 😂😂😂 après avoir regardé la vidéo, of course.
Ce qui m'épate le plus, c'est le fait de tenter des valeurs de "x" au hasard après avoir un peu réfléchi.
Lors de ma scolarité je ne me rappelle pas qu'on avait le droit de le faire. 😢
IDEE DE VIDÉO je vous propose de résoudre cet exercice :a^3/((a-b)(a-c)) + b^3/((b-a)(b-c)) +c^3/((c-b)(c-a))
Précision les a^3,b^3 et c^3 sont les numérateurs,
Merci d'avance pour vos vidéos et félicitation pour les 1M d'abonnés
C'est quoi la question ?
@@Adodo_1234 réduire plus simplement
Joli ! Merci et encore bravo pour ces vidéos
Euh... mais si on a le droit de tester des valeurs de x, autant le faire sur la première équation non ?
5:03 c’est un beau système à deux équations, “deux” inconnus ( ou presque).
En additionnant les deux équations ensemble, ça donne 2• 3^x = 18 -> x = 2
Fabuleux ! Merci !
Ahhhhh premier arrivé, mais cette équation me fait peur 😂😂.
Je vais voir.
Plus "scolaire" pour trouver x=2 avec 3^x - x² = 5 et 3^x + x² = 13 , j'ai fais la somme des deux équations ainsi :
5 + 13 = ( 3^x - x² ) + ( 3^x + x² )
Donc :
3^x - x² + 3^x + x² = 18
3^x + 3^x = 18
2 fois 3^x = 18
3^x = 18 / 2 = 9
Or 9 = 3²
Donc 3^x = 3² Soit x = 2
Super ta vidéo 👍.
Je suis en Terminale STMG et on en est au dérivation mais je n'y pige que dalle
Courage ! Moi aussi j'ai eu du mal jusqu'à ce que je comprenne que ça revient à connaître un certain nombre de résultats connus et exploiter des propriétés.
En gros, en cours on va t'apprendre que la dérivée f' de la fonction f(x) au point x0, c'est la limite de [f(x)-f(x0)]/(x-x0) lorsque x tend vers x(0) ce qui te donne juste la valeur de la fonction dérivée en un seul point. Mais si on arrive à calculer la dérivée en tout point et à dessiner ses valeurs, on trouve une courbe qui correspond à une nouvelle fonction f'(x) différente de f(x).
Et plusieurs fonctions ont des dérivées déjà connues qu'il faut juste apprendre par cœur.
Et il existe des méthodes pour transformer des fonctions complexes en somme, produit ou composition de fonctions simples dont on connaît la dérivée et on peut alors calculer la dérivée en appliquant une formule que j'ai déjà oubliée mais qui devrait être dans tes cours ou tes futurs cours. Ceci dit, ces cas-là représentent déjà un usage assez avancé.
Et pourquoi on s'embête avec ça ? Principalement pour des études de fonctions car la dérivée a une propriété intéressante : le signe de la valeur de la dérivée en un point indique si la fonction dont est issue la dérivée est croissante ou décroissante en ce point. Cela permet d'établir un tableau de variation de la fonction qu'on étudie et ainsi savoir sur quel(s) intervalle(s) la fonction est croissante et sur quel(s) autre(s) elle est décroissante. Il y a plein d'autres usages mais pour cette année, je pense que c'est le principal usage.
En résumé :
- on identifie la forme de la fonction qu'on étudie
- on en déduit la dérivée parmi celles qu'on a apprises
- on calcule les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s'annule
- on étudie le signe de la dérivée dans les intervalles délimités par les valeurs trouvées précédemment
- on en déduit les variations de la fonction f sur ces intervalles.
Même si les concepts de la dérivation ne sont pas simples à comprendre, la mise en pratique est généralement assez simple. Si tu as du mal à te représenter la signification de ce que représente une dérivée, tu peux mettre cette problématique de côté pour le moment et te contenter d'apprendre des dérivées connues de fonctions de base. A force de les manipuler, elles te deviendront plus familières.
Le boss
Pour moi il y a une petite etape manquante : à 3:09, s'assurer de l'équivalence entre "x est dans Z" et " chacun des membres est dans Z"
D'ailleurs ne pourrait on pas imaginer que les membres ne soient pas entiers lais que leur multiplication donne un entier ? ( Apres tout, le produit de 65π et 1/π donne bien 65).
Des solutions cachées à la clé ?
Tout à fait, je me suis aussi posé la question. Mais quand n>0 (3^n-n^2)(3^n+n^2) est un produit de deux entiers, donc on peut faire l'association. Quand n
@@ketzalkoatl5093 Quand n est un entier positif, le produit est un produit de 2 entiers... Mais l'inverse n'est en rien prouvé me semble-t-il.
Je peux déjà voir une solution évidente x=2 car 81-16=65.
Idem… x ne peut pas être supérieur au à 2
5*13 n'était pas la seule possibilité, il y avait aussi 13*5
Or il n'y a pas de résultat pour { 3^x = x^2 = 13 ; 3^x + x^2 = 5 }
Il fallait donc avoir la décomposition de 65 dans l'ordre précis 5*13.
J'aurais aimé que vous précisiez que la réponse était à chercher dans les deux combinaisons, car si on se limitait à 13*5 on tombait dans une impasse.
Il le dit implicitement quand il démontre que 3^x+x^2 est le plus grand des 2 facteurs!
Bonjour,
Moi, par réflexe de feignant, j’ai tenté d’annuler le polynôme et "2" marchait bien mais je ne sais pas si ça m’amenait quelque part.
De plus c’est une équation du 4° degré, on ne devrait pas chercher 4 solutions ?
Bravo en tout cas.
hello, autant sur les nombres negatif (-5*-13) ca ete developpé, mais l'explication du terme de gauche necessairement plus petit que celui de droite, a été balayé un peu rapidement. J'aurais au moins dit que -x² est forcément plus petit que +x² et que donc on peut se limiter a (1,65) et (5, 13) puisque leur permutation ne respecte pas la clause
(3^x)-x²=5 (¹) et (3^x)+x²=13 (²)
Alors
2×(3^x)=18 (¹+²)
3^x=9
3^x=3²
x=2
Validé par
2×(x²)=8 (²-¹)
x²=4
x=2 car x=-2 impossible
Dans R, pour ce systeme,
(3^x)-x²=1 (¹) et (3^x)+x²=65 (²)
Alors
2×(3^x)=66 (¹+²)
3^x=33
x=log(33)/log(3)
2×(x²)=64 (²-¹)
x²=32
x=sqrt(32)
Donc aucune solution ne coroborent dans ce deuxieme systeme.
Après si l'on veut resoudre dans R, il faudrait transformer l'equation pour pouvoir utiliser la fonction W de lambert. Mais ce n'est pas toujoirs simple à mettre en oeuvre
Beuh, je l’ai trouvé d’emblée, sans rien faire !
Tu es un génie arrogant !😂
Tu es un génie arrogant ! 😂
Plus efficace plutôt que de tester il suffisait de dire que la somme des deux facteurs valait 2*3^x et la différence 2*x^2
Et comme les seules sommes sont 18 et 66 et les seules différences sont 8 et 64 on arrive vite au résultat
Salut! je réitère ma question après... près d'un an : à part calculer le meilleur prix d'une crêpe au sucre, aurais tu des exemples concrets pour utiliser une équation du second degré dans la vrai vie d'un travailleur? ou alors ça sert à rien? Merci!
on a faillit avoir l'utilisation de la Fonction W de Lambert, la prochaine fois sûrement ;)
Quel belle fonction mais pas simple à utiliser
Enfin pas simple parfois d'obtenir la forme : ax(e^ax)=...
65 c'est proche de 64, puissance de 2, on a x⁴ donc y a du puissance 2, et le 9 on a une puissance libre. Donc visiblement y a un truc à faire puissances de 2. On teste. 2 fonctionne. Next.
Je l’ai fait juste avec les candidats possibles 1 ou 2, j’ai fait le calcul direct avec 2 😂
Il suffit juste d'essayer des petits entier. Avec x=0 ça ne marche pas. x=1 non plus. Avec x=2 ça marche. Ensuite le 9^x monte trop vite par rapport au x⁴ donc il n'y a pas d'autres solutions.
Dans l'étape (3^x-x²)(3^x+x²)=1×65 ou =5×13. Si on écrit 3^x-x²=1 et 3^x+x²=65 on peut écrire (3^x+x²)+(3^x-x²)=65+12×3^x=663^x=33 or 33 n'est pas une puissance entière de 3 donc 1×65 n'est pas possible.(On pourrait aussi faire (3^x+x²)-(3^x-x²)=65-12x²=64x²=32. 32 n'est pas un carré parfait. Donc 1×65 ne fonctionne pas.) Essayons 5×13. 3^x-x²=5 et 3^x+x²=13 donc (3^x+x²)+(3^x-x²)=13+52×3^x=183^x=9x=2. (3^x+x²)-(3^x-x²)=13-52×x²=8x²=4 x=2 ou x=-2.(en l'occurrence ici x=-2 ne fonctionne pas. Donc x=2)
👍🏻
Il a-t-il une méthode de résolution si x est réel ?
Il faut formater l'équation pour la mettre sous la forme
x(e^x)=...
ou ax(e^ax)=...
Et utiliser la fonction de lambert
Ce qui donnera
x=W(...)
ou ax=W(...), x=W(...)/a
Mais c'est pas simple à réaliser et de plus, la fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.
Euh il y a un ÉNORME problème : x dans Z ne veut pas dire (3^x + x2) dans Z : exemple x = -2
Donc les deux termes ne sont pas du tout entiers avec x négatif
Et on ne peut pas du tout balayer ça d’un revers de main car on a un produit de deux réels, donc potentiellement d’autres solutions…
Un argument pourrait être que 9^x doit être entier, car sinon en lui retranchant x^4 qui lui est entier on ne retombe jamais sur 65.
Et donc que x est positif, ce qui règle notre pb.
Mais il faut le dire dans la démonstration…
x=2 est une solution évidente car 81=65+16 (9²=65+2⁴)
Montrer que c'est la seule solution est plus facile au tableau 🤣
Si x est dans Z , 9^x, 3^x-x^2 et 3^x+x^2, ne sont pas forcément dans Z. Résolution incomplète/incorrecte.
Cela doit être précisé pour vos abonnés. Au moins expliquez s’il y’a possibilité de les avoir dans Z.
Il serait intéressant de traiter votre problème pour x>0 et montrer que pour x=0 ou x
@@aveclui-bx8kz je pense que comme c'est assez évident qu'il n'y a pas de solution pour x négatif, il a considérer le problème uniquement sur N. Ça me rappelle le lycée. On utilisait tout le temps des théorèmes sans préciser que telle ou telle fonction était continue, dérivable, définie sur R+, ect... Parce que c'était évident et c'était même pas exiger au bac, donc par habitude on les marquaient plus. Et ensuite arrivé en prépa mon prof arrêter pas en début d'année de nous dire de toujours vérifier les hypothèses et les écrire, vu que les problèmes qu'on avait étaient plus délicat.
@@aveclui-bx8kz je pense qu'il a supposer que c'était évident qu'il n'y a pas de solution pour x négatif et s'est donc placer sur N sans le préciser. C'est probablement une question d'habitude. Ça me rappelle le lycée où on utilisait souvent des théorèmes qui nécessitent certaines conditions (fonction continue, dérivable, domaine de définition...). Mais comme la plupart du temps ces hypothèses étaient évidentes on les précisait pas, par habitude (et en plus c'était même pas demandé au bac il me semble). Et plus quand je suis arrivé en prépa mon prof nous disait tout le temps de bien préciser les hypothèses à chaque fois qu'on utilise un théorème, vu que la les cas étaient pas toujours aussi évident
ah merde, elle est pas gratuite celle-là, c'est combien ?