Hey ! Merci pour ton commentaire ! Oui c’est pour ça que j’ai refait un problème que j’ai déjà pu faire en vidéo mais pour vous montrer encore une autre alternative ! D’ailleurs ta vidéo par rapport à ta question a+b+c= ? Avec ab=100, bc=200 et ac=300, elle est enregistrée et elle sortira la semaine prochaine !
A la place d'essayer de majorer tu pourrais décomposer 222³ en 111³ et 2³ et le 333² et 3² et 111² Puis simplifier le 111² Ca va te donner 2³ * 111 et 3² Puis 8 * 111 et 9 Puis 888 et 9
Hey ! Tu pourrais reexpliquer ton raisonnement avec des égalités pour qu’on puisse en discuter ! J’ai du mal à te suivre comme ça, merci pour ta proposition !
Avec des nombres qui "se ressemblent" et des puissances, j'ai tendance à tenter la division : . 222^333 (2 * 111)^(3*111) 2^3 *111^3 A = ------------- = ----------------------------- = (-------------------- )^111 . 333^222 (3 * 111)^(2*111) 3^2 * 111^2 . 8*111 A=( -----------)^111 . 9 Donc A>1 et 222^333 > 333^222 Votre méthode sert dans d'autres cas mais j'avoue que je préfère l'éviter : elle est souvent galère. Merci pour cette vidéo.
Oui on peut bien sur passer par là mais j'avoue que le fait de pouvoir passer par un raisonnement simple avec des carrés évidents, je voulais le partager ! Mais dans le cas général, la votre sera plus appréciée oui !
Hey, Fan des méthodes qui fonctionnent avec les cas, des plus simples ou intuitifs, aux cas les plus compliqués ou non intuitifs. Je propose la solution de décomposition, et du numérateur et du dénominateur en facteurs premiers. Posons A = 222^333 B = 333^222 Calculons A / B = 222^333 / 333^222 A / B = 222^333 / 333^222 = (2 x 3 x 37)^333 / (3^2 x 37)^222 = 2^333 x 3^(333-2x222) x 37^(333-222) = 2^333 x 37^111 / 3^111 ≈ 2,2538… x 10^221 >> 1 Donc : A = 222^333 > B = 333^222. Même très largement : A >> B Sauf erreurs de méthode ou de calcul de ma part. ^^🧐🤔😉🤞👍👊 Merci pour les challenges et pour tes cours en mathématiques.
Hey ! Super content que ca te plaise, de te voir actif et d’avoir tes retours ! Un raisonnement intéressant aussi en effet ! Le seul désavantage c’est que pour la dernière étape, il faut une calculatrice si on veut chipoter ! Évidemment on voit bien que c’est largement plus grand que 1, faudrait peut être travailler l’écriture pour souligner ça sans approximation par la suite. Mais sinon oui nickel, surtout pour le niveau. Tu ne parles pas de l’exponentielle donc ça reste niveau collège et la décomposition en facteurs premiers aussi ! Merci pour ta proposition !
Hey l’ami ! Oui bien sûr on peut passer par la ! Et comme dit j’ai fait 2 autres vidéos sur la même question mais avec à chaque fois une autre méthode. La c’était pour rendre abordable une question sans passer par tous ces outils et finalement faire en sorte qu’un collégien puisse y répondre 🤭
Pour tous les problèmes, où il faut comparer a^b et b^a : dès que a et b sont suffisamment grand (c'est à dire plus grands que e qui vaut environ 2,72), le plus grand des deux est celui qui a le plus grand exposant, ci qui permet de répondre sans trop réfléchir. Comme le dit le proverbe : "La puissance porte bien son nom".
Le plus simple est d'encadrer par des puissances 10. 10^2 < 222 donc 10^(333*2) < 222^333. De même 333^222 < 10^(222*3). Comme 333*2 = 222*3 = 666, on a directement 333^222 < 10^666 < 222^333
J’ai l’impression que c’est un peu plus simple avec les fonctions: 333^222 et 222^333, k=111 =>(3k)^2k et (2k)^3k on applique la racine de k, (3k)^2 et (2k)^3. On pose la variation x et on cherche leur point d’intersection (3x)^2=(2x)^3=> x^2(9-8x)=0 => x1=x2=0 et x3=9/8. La fonction 8x^3 dépasse la fonction carrée à 9/8, autrement dit 222^333 est beaucoup beaucoup plus grand.
Même logique, mais je pense que c'est plus parlant avec 222 et 333 puissance 1,5 et 1. En effet, on note que la racine de 222 est comprise entre 14 et 15 dont les carrés sont respectivement égaux à 196 et 225. On voir rapidement que 333 = 1,5×222. Or, lorsqu'on applique la puissance 1,5 on obtient le produit du nombre et de sa racine carrée. Sans même calculer, on voit que 14 et 15 sont supérieurs à 1,5 donc le 222 puissance 333 est supérieur.
Sinon lorsqu’on a 222^3 et 333^2 C’est équivalent à 2^3x111^3 et 3^2x111^2 En divisant par 111^2 on a 2^3x111 et 3^2 Donc 888 et 9 et là bah c’est évident
333²²² = 222 ^ (222 * ln(333)/ln(222)) . Donc on compare 222 * ln(333)/ln(222) et 333 . Donc on compare ln(333)/ln(222) et 333/222 . 222 > 2 . Donc pour passer de 222 à 333 on a besoin d'un nombre moins grand en puissance qu'en multiplication, vu que quand la base excède deux la fonction puissance croît plus rapidement. Donc ln(333)/ln(222) < 333/222 . Donc 222³³³ > 333²²² .
222 et 333 sont clairement plus grand tout les 2 de e. 333>222 donc 222^333>333^222. Pour les comparer c'est juste un coup d'œil sur la puissance des nombres. On choisi celui qui a la plus grande puissance.
Yes je suis d’accord avec toi ! Mais comment un collégien répond à la question sans savoir que 222 et 333 sont supérieur à e ( nombre encore inconnu pour eux ) et sans savoir ce fait ? D’où l’intérêt de la vidéo même si ta remarque est complètement vraie l’ami !
Eh oui ! C’est la dernière pour le coup ! Je voulais absolument sortir celle là pour montrer qu’il y a pas toujours la méthode bourrin qui marche ! Merci pour ton retour !
Globalement pour ces types de problèmes perso j'ai à chaque fois une première approche "intuition" qui marche toujours qui part juste du principe que le terme avec la plus grande puissance l'emporte parce que ln(x) croit très faiblement comparé à x donc étant donné que l'exo revient à comparer 333ln(222) et 222ln(333) l'exo est fini (si on demande pas de démontrer bien sûr).
@@morphilou ça dépend, il y a juste une petite comparaison à effectuer avec e et dans le cas où a et b sont grands devant e alors a^b > b^a absolument tout le temps si b > a
@@imPyroHD yep mais je n ai vu dans ton post ares il suffit de voir que le plus grd exposant emporte le ratio du facteur grd/petit dans le cas present tu mets 5 sec meme si tu ne connais pas les ln voir mo n post tout en haut
C'est cool ce genre de problème, c'est marrant à faire même si c'est pas toujours intuitif mdrr, bonne vidéo 👍🏼
Hey ! Merci pour ton commentaire ! Oui c’est pour ça que j’ai refait un problème que j’ai déjà pu faire en vidéo mais pour vous montrer encore une autre alternative ! D’ailleurs ta vidéo par rapport à ta question a+b+c= ? Avec ab=100, bc=200 et ac=300, elle est enregistrée et elle sortira la semaine prochaine !
@@EthanTURINGS d'accord merci beaucoup :)
A la place d'essayer de majorer tu pourrais décomposer 222³ en 111³ et 2³ et le 333² et 3² et 111²
Puis simplifier le 111²
Ca va te donner 2³ * 111 et 3²
Puis 8 * 111 et 9
Puis 888 et 9
Hey ! Tu pourrais reexpliquer ton raisonnement avec des égalités pour qu’on puisse en discuter ! J’ai du mal à te suivre comme ça, merci pour ta proposition !
@@EthanTURINGS
222³³³>9 donc 222³³³>333²²²
C'est cette techniqie ci que je t'ai posté il y a 2h
@@acnmesah oui d’accord, oui du coup c’est le même raisonnement que notre ami ! Et oui ça marche très bien aussi !
Avec des nombres qui "se ressemblent" et des puissances, j'ai tendance à tenter la division :
. 222^333 (2 * 111)^(3*111) 2^3 *111^3
A = ------------- = ----------------------------- = (-------------------- )^111
. 333^222 (3 * 111)^(2*111) 3^2 * 111^2
. 8*111
A=( -----------)^111
. 9
Donc A>1 et 222^333 > 333^222
Votre méthode sert dans d'autres cas mais j'avoue que je préfère l'éviter : elle est souvent galère.
Merci pour cette vidéo.
Oui on peut bien sur passer par là mais j'avoue que le fait de pouvoir passer par un raisonnement simple avec des carrés évidents, je voulais le partager ! Mais dans le cas général, la votre sera plus appréciée oui !
Et merci pour cette belle écriture, c'est très lisible ! Merci à vous !
Hey, Fan des méthodes qui fonctionnent avec les cas, des plus simples ou intuitifs, aux cas les plus compliqués ou non intuitifs.
Je propose la solution de décomposition, et du numérateur et du dénominateur en facteurs premiers.
Posons A = 222^333 B = 333^222 Calculons A / B = 222^333 / 333^222
A / B = 222^333 / 333^222 = (2 x 3 x 37)^333 / (3^2 x 37)^222
= 2^333 x 3^(333-2x222) x 37^(333-222) = 2^333 x 37^111 / 3^111
≈ 2,2538… x 10^221 >> 1
Donc : A = 222^333 > B = 333^222. Même très largement : A >> B
Sauf erreurs de méthode ou de calcul de ma part. ^^🧐🤔😉🤞👍👊
Merci pour les challenges et pour tes cours en mathématiques.
Hey ! Super content que ca te plaise, de te voir actif et d’avoir tes retours ! Un raisonnement intéressant aussi en effet ! Le seul désavantage c’est que pour la dernière étape, il faut une calculatrice si on veut chipoter ! Évidemment on voit bien que c’est largement plus grand que 1, faudrait peut être travailler l’écriture pour souligner ça sans approximation par la suite. Mais sinon oui nickel, surtout pour le niveau. Tu ne parles pas de l’exponentielle donc ça reste niveau collège et la décomposition en facteurs premiers aussi ! Merci pour ta proposition !
Pour comparer a^b & b^a, on élève les 2 à la puissance 1/ab et on se retrouve avec f(a) et f(b) où f(x)=x^(1/x), décroissante sur ]e, +oo[
Hey l’ami ! Oui bien sûr on peut passer par la ! Et comme dit j’ai fait 2 autres vidéos sur la même question mais avec à chaque fois une autre méthode. La c’était pour rendre abordable une question sans passer par tous ces outils et finalement faire en sorte qu’un collégien puisse y répondre 🤭
Pour tous les problèmes, où il faut comparer a^b et b^a : dès que a et b sont suffisamment grand (c'est à dire plus grands que e qui vaut environ 2,72), le plus grand des deux est celui qui a le plus grand exposant, ci qui permet de répondre sans trop réfléchir. Comme le dit le proverbe : "La puissance porte bien son nom".
Le plus simple est d'encadrer par des puissances 10. 10^2 < 222 donc 10^(333*2) < 222^333. De même 333^222 < 10^(222*3). Comme 333*2 = 222*3 = 666, on a directement 333^222 < 10^666 < 222^333
J’ai l’impression que c’est un peu plus simple avec les fonctions: 333^222 et 222^333, k=111 =>(3k)^2k et (2k)^3k on applique la racine de k, (3k)^2 et (2k)^3. On pose la variation x et on cherche leur point d’intersection (3x)^2=(2x)^3=> x^2(9-8x)=0 => x1=x2=0 et x3=9/8. La fonction 8x^3 dépasse la fonction carrée à 9/8, autrement dit 222^333 est beaucoup beaucoup plus grand.
lo la tu mets 5 sec pour repondre ,)
cela revient à repondre si 1.5^222 > 222 ^111 et voila ^^ et oui 2.25
Même logique, mais je pense que c'est plus parlant avec 222 et 333 puissance 1,5 et 1. En effet, on note que la racine de 222 est comprise entre 14 et 15 dont les carrés sont respectivement égaux à 196 et 225. On voir rapidement que 333 = 1,5×222.
Or, lorsqu'on applique la puissance 1,5 on obtient le produit du nombre et de sa racine carrée. Sans même calculer, on voit que 14 et 15 sont supérieurs à 1,5 donc le 222 puissance 333 est supérieur.
Sinon lorsqu’on a 222^3 et 333^2
C’est équivalent à 2^3x111^3 et 3^2x111^2
En divisant par 111^2 on a 2^3x111 et 3^2
Donc 888 et 9 et là bah c’est évident
333²²² = 222 ^ (222 * ln(333)/ln(222)) .
Donc on compare 222 * ln(333)/ln(222) et 333 .
Donc on compare ln(333)/ln(222) et 333/222 .
222 > 2 .
Donc pour passer de 222 à 333 on a besoin d'un nombre moins grand en puissance qu'en multiplication, vu que quand la base excède deux la fonction puissance croît plus rapidement.
Donc ln(333)/ln(222) < 333/222 .
Donc 222³³³ > 333²²² .
222 et 333 sont clairement plus grand tout les 2 de e. 333>222 donc 222^333>333^222. Pour les comparer c'est juste un coup d'œil sur la puissance des nombres. On choisi celui qui a la plus grande puissance.
Yes je suis d’accord avec toi ! Mais comment un collégien répond à la question sans savoir que 222 et 333 sont supérieur à e ( nombre encore inconnu pour eux ) et sans savoir ce fait ? D’où l’intérêt de la vidéo même si ta remarque est complètement vraie l’ami !
A force, je vais connaitre comment résoudre ca par Coeur O_O
Eh oui ! C’est la dernière pour le coup ! Je voulais absolument sortir celle là pour montrer qu’il y a pas toujours la méthode bourrin qui marche ! Merci pour ton retour !
Globalement pour ces types de problèmes perso j'ai à chaque fois une première approche "intuition" qui marche toujours qui part juste du principe que le terme avec la plus grande puissance l'emporte parce que ln(x) croit très faiblement comparé à x donc étant donné que l'exo revient à comparer 333ln(222) et 222ln(333) l'exo est fini (si on demande pas de démontrer bien sûr).
sauf que c faux
2^3 = 8
3^2 = 9
@@morphilou ça dépend, il y a juste une petite comparaison à effectuer avec e et dans le cas où a et b sont grands devant e alors a^b > b^a absolument tout le temps si b > a
@@imPyroHD yep mais je n ai vu dans ton post
ares il suffit de voir que le plus grd exposant emporte le ratio du facteur grd/petit
dans le cas present tu mets 5 sec meme si tu ne connais pas les ln
voir mo n post tout en haut
lo la tu mets 5 sec pour repondre ,)
cela revient à repondre si 1.5^222 > 222 ^111 et voila ^^
big brain