Bardzo fajne praktyczne przykłady. Ja tylko dopowiem, że ten przepis wcale nie wynika z jakiegoś skomplikowanego twierdzenia. Otóż, wynika on bezpośrednio z definicji pochodnej - czyli takiej funkcji, która mówi nam jak "szybko" zadana funkcja "rośnie". Jeżeli funkcja w danym punkcie rośnie szybko, to jej pochodna w tym punkcie będzie duża; jeżeli rośnie powoli, pochodna będzie mała; jeżeli maleje, to pochodna będzie ujemna, itd. Łatwo zauważyć, że im funkcja w jakimś punkcie rośnie szybciej, tym bardziej stroma będzie jej styczna (w tym punkcie). I taka jest właśnie definicja pochodnej w punkcie - jest to współczynnik kierunkowy stycznej do tej funkcji (jak bardzo styczna jest "stroma" w tym punkcie). Co wystarczy więc zrobić - policzyć wzór pochodnej zadanej funkcji; podstawić do tej pochodnej punkt w którym szukamy stycznej. No i tak dostaniemy współczynnik kierunkowy funkcji liniowej (prostej), która będzie styczna do zadanej funkcji, ale jeszcze nie styczną. Wystarczy teraz tą funkcję liniową podnieść do góry o wartość analizowanej funkcji w zadanym punkcie; no i w prawo o zadany punkt - żeby ta funkcja była styczną musimy ją tak jakby wycentrować na pozycji funkcji w zadanym punkcie. Pamiętamy o tym, że przesuwanie funkcji w prawo polega na odjęciu od zmiennej tej funkcji jakiejś wartości; a przesuwanie funkcji do góry polega na dodawaniu do całej funkcji jakiejś wartości. Voila.
Druga pochodna to pochodna pierwszej pochodnej. Na przykład, jeśli nasza funkcja zadana jest wzorem: f(x)=x^3-2x+1 to jej pochodna to f'(x)=3x^2-2. Teraz gdy chcemy zrobić drugą pochodną to robimy pochodną z pierwszej pochodnej - stąd dostajemy f"(x)=6x.
Bardzo fajne praktyczne przykłady. Ja tylko dopowiem, że ten przepis wcale nie wynika z jakiegoś skomplikowanego twierdzenia. Otóż, wynika on bezpośrednio z definicji pochodnej - czyli takiej funkcji, która mówi nam jak "szybko" zadana funkcja "rośnie". Jeżeli funkcja w danym punkcie rośnie szybko, to jej pochodna w tym punkcie będzie duża; jeżeli rośnie powoli, pochodna będzie mała; jeżeli maleje, to pochodna będzie ujemna, itd. Łatwo zauważyć, że im funkcja w jakimś punkcie rośnie szybciej, tym bardziej stroma będzie jej styczna (w tym punkcie). I taka jest właśnie definicja pochodnej w punkcie - jest to współczynnik kierunkowy stycznej do tej funkcji (jak bardzo styczna jest "stroma" w tym punkcie). Co wystarczy więc zrobić - policzyć wzór pochodnej zadanej funkcji; podstawić do tej pochodnej punkt w którym szukamy stycznej. No i tak dostaniemy współczynnik kierunkowy funkcji liniowej (prostej), która będzie styczna do zadanej funkcji, ale jeszcze nie styczną. Wystarczy teraz tą funkcję liniową podnieść do góry o wartość analizowanej funkcji w zadanym punkcie; no i w prawo o zadany punkt - żeby ta funkcja była styczną musimy ją tak jakby wycentrować na pozycji funkcji w zadanym punkcie. Pamiętamy o tym, że przesuwanie funkcji w prawo polega na odjęciu od zmiennej tej funkcji jakiejś wartości; a przesuwanie funkcji do góry polega na dodawaniu do całej funkcji jakiejś wartości. Voila.
Dzień dobry, mogła by Pani wytłumaczyć jak obliczyć drugą pochodną funkcji?
Druga pochodna to pochodna pierwszej pochodnej. Na przykład, jeśli nasza funkcja zadana jest wzorem: f(x)=x^3-2x+1 to jej pochodna to f'(x)=3x^2-2. Teraz gdy chcemy zrobić drugą pochodną to robimy pochodną z pierwszej pochodnej - stąd dostajemy f"(x)=6x.