Peut-on quand même dire que y=sin(x²) est continue, et donc uniformément continue sur tout intervalle [-a , a ] avec a élément de |R+ ? de même que pour exemple la fonction y = sin (1./x) sur tout intervalle [-a , a] a élément de |R+.. merci d'avance pour toute réponse de quiconque.
Oui pour sin(x²), et même sur n'importe quel intervalle fermé borné [a, b], appelé segment, puisque une fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment (théorème de Heine). Pour sin(1/x), faites attention au fait que cette fonction n'est pas définie en 0. Mais elle est uniformément continue sur n'importe quel intervalle fermé borné qui ne contient pas 0.
@@Asterisme Merci pour la réponse. Plus en avant je me demandais (d'un aspect formel) si une fonction pouvait être continue sans être définie, du fait que la définition indiquée ne le précise pas (mais je suppose que c'est implicite)
@@michelbernard9092 Je ne comprends pas bien le sens de votre question. Si vous voulez dire qu'une propriété peut être vraie pour toute fonction continue, sans spécifier une fonction particulière, la réponse est oui. Par exemple le théorème de Heine est valable pour la fonction cos, sin, mais aussi les fonctions polynômes, ln, exp, et aussi toutes celles que nous n'explicitons pas par des formules (en fait la quasi totalité).
@@Asterisme Merci pour votre patience, mais ma question était dans le sens premier : la définition de la continuité de f : "qqs epsilon>0, il existe éta>0 ect.... "ne fait pas référence au fait que f soit définie en un point particulier. Ma réf à la fonction sin(1/x) qui n'est pas définie pour x=0 pourrait-elle être continue si je lui ajoute f(0)= 0.5 par exemple... mais bon, ce sont des questions accessoires métamathématiques.
@@michelbernard9092 La définition de la continuité d'une fonction f en un point a exige que f soit définie au point a. Voir par exemple l'article Wikipédia : Continuité (mathématiques). La question que vous posez n'est pas du tout accessoire. Pour f(x) = sin(1/x), poser f(0) = 1/2 ou n'importe quelle valeur ne marche pas pour rendre f continue en 0, parce que f(x) n'a pas de limite quand x tend vers 0. On peut prolonger par continuité une fonction en un point a si elle admet une limite c quand x tend vers a, en posant f(a) = c. Par exemple si f(x) = x*sin(1/x), la limite de f(x) quand x tend vers 0 est 0, et donc en posant f(0) = 0, f est continue en 0.
À 1mn15s : le théorème de Heine dit qu'une fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue, et non le contraire.
petit lapsus, merci.
Uniformément continue sur le segment
Peut-on quand même dire que y=sin(x²) est continue, et donc uniformément continue sur tout intervalle [-a , a ] avec a élément de |R+ ? de même que pour exemple la fonction y = sin (1./x) sur tout intervalle [-a , a] a élément de |R+.. merci d'avance pour toute réponse de quiconque.
Oui pour sin(x²), et même sur n'importe quel intervalle fermé borné [a, b], appelé segment, puisque une fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment (théorème de Heine).
Pour sin(1/x), faites attention au fait que cette fonction n'est pas définie en 0. Mais elle est uniformément continue sur n'importe quel intervalle fermé borné qui ne contient pas 0.
@@Asterisme Merci pour la réponse. Plus en avant je me demandais (d'un aspect formel) si une fonction pouvait être continue sans être définie, du fait que la définition indiquée ne le précise pas (mais je suppose que c'est implicite)
@@michelbernard9092
Je ne comprends pas bien le sens de votre question. Si vous voulez dire qu'une propriété peut être vraie pour toute fonction continue, sans spécifier une fonction particulière, la réponse est oui. Par exemple le théorème de Heine est valable pour la fonction cos, sin, mais aussi les fonctions polynômes, ln, exp, et aussi toutes celles que nous n'explicitons pas par des formules (en fait la quasi totalité).
@@Asterisme Merci pour votre patience, mais ma question était dans le sens premier : la définition de la continuité de f :
"qqs epsilon>0, il existe éta>0 ect.... "ne fait pas référence au fait que f soit définie en un point particulier. Ma réf à la fonction sin(1/x) qui n'est pas définie pour x=0 pourrait-elle être continue si je lui ajoute f(0)= 0.5 par exemple... mais bon, ce sont des questions accessoires métamathématiques.
@@michelbernard9092
La définition de la continuité d'une fonction f en un point a exige que f soit définie au point a. Voir par exemple l'article Wikipédia : Continuité (mathématiques).
La question que vous posez n'est pas du tout accessoire.
Pour f(x) = sin(1/x), poser f(0) = 1/2 ou n'importe quelle valeur ne marche pas pour rendre f continue en 0, parce que f(x) n'a pas de limite quand x tend vers 0.
On peut prolonger par continuité une fonction en un point a si elle admet une limite c quand x tend vers a, en posant f(a) = c.
Par exemple si f(x) = x*sin(1/x), la limite de f(x) quand x tend vers 0 est 0, et donc en posant f(0) = 0, f est continue en 0.
A 3 : 40 c'est N* non N