187--FFT系列：傅立業頻譜和功率頻譜有甚麼不同？(

《振動噪音科普專欄》FFT系列：傅立業頻譜和功率頻譜有甚麼不同？
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這個單元的主題，有兩個關鍵詞(keywords)：(1)「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)，(2)「功率頻譜」(power spectrum)。
在先前單元#75：【傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同？】，已經有初步的介紹，本單元再以另一個角度做說明，並以實際的信號案例，說明「傅立業頻譜」及「功率頻譜」兩者的差異。
首先，由圖1的上方圖示，呈現的是「信號處理流程圖」(signal processing block diagram)，說明如下：
1. 𝒙(𝒕)：「時間波形」信號(time waveform)，假設其單位為U，以一個「餘弦波」(cosine wave)為例，𝒙(𝒕)=𝑿𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇0 𝒕)，參閱圖1的右側圖示「時間波形」，可以觀察到對應的 𝑿 是「振幅值」，𝒇0是「頻率」，以及此頻率對應的「週期」T 0 = 1/ 𝒇0。
2. 𝑿(𝒇)：「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)，會是「複數」(complex number)，其單位也是U，數學上的理論分析，是透過「傅立業轉換」(Fourier transform)，可以寫成：𝑿(𝒇) = F [𝒙(𝒕)]，也就是將時間波形信號𝒙(𝒕)，轉換到頻率域的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)。實務上，是採用fast Fourier transform (FFT)，「快速傅立業轉換」是進行「FFT頻譜分析」(spectral analysis)的數學方法。讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。參閱圖1的右側圖示，可以觀察 𝑿(𝒇)有實數部及虛數部，「餘弦波」的「傅立業頻譜」是頻率 𝒇 =𝒇0時，𝑿(𝒇) 實數部為其「振幅值」𝑿。
3. 𝐺𝑥𝑥 (𝑓)：「自身功率頻譜」(auto power spectral density, auto PSD, auto spectrum)，也可稱為「功率頻譜」(power spectrum)，其計算方式：𝐺𝑥𝑥 (𝑓)=𝑋∗ (𝑓)X (𝑓)/Δ𝑓，取「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 的共軛複數(complex conjugate)相乘，再除以「頻率解析度」(frequency resolution) Δ𝑓。𝐺𝑥𝑥 (𝑓)的單位，有4種表示方式：U^2/Hz，U，Urms，Urms^2/Hz。𝐺𝑥𝑥 (𝑓) 是純實數正值(pure real positive number)，可以取「平均」(averaging)運算，此點再另闢單元討論。參閱圖1的右側圖示，可以觀察「自身功率頻譜」𝐺𝑥𝑥 (𝑓)，在頻率 𝒇 =𝒇0時，其「振幅值」𝑿，這是以U的單位方式表示。
4. X rms：「平方平均根值」(root mean square (rms) value)。可以透過兩種方式取得：(1)「時間波形」，對 𝒙(𝒕)信號取平方、再取平均、再開根號，可得到X rms。(2)「自身功率頻譜」，對𝐺𝑥𝑥 (𝑓)取頻率域積分、再根號也可得到X rms。如果信號是單一頻率的「餘弦波」或「正弦波」，都是「簡諧波」，則X rms = 0.707X。X rms的單位當然還是U。
在圖1，介紹了一個「時間波形」信號 𝒙(𝒕)，
1. 進行「FFT頻譜分析」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)。
2. 再進行「PSD」運算處理，可以得到「自身功率頻譜」𝐺𝑥𝑥 (𝑓)。
3. 再進行「rms」運算處理，可以得到「平方平均根值」X rms。
接下來，參閱圖2，將介紹實際「時間波形」信號的「FFT頻譜分析」、「PSD」及「rms」運算處理。首先，參閱圖2的上方三個圖示，分別說明如下：
1. 𝒇1 = 0 Hz，𝑿1 = 5，DC信號：所謂 ”DC”，英文是 ”direct current”，「DC信號」意義上是常數(constant value)，令 𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 5，𝒇1 = 0 Hz，就可以取得定值為5的「DC信號」。如果，「時間波形」𝒙(𝒕) 是常數，則其「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，會在頻率 𝒇 = 0 Hz時，其「振幅值」為 𝑿1 = 5。此「DC信號」的X rms 由「時間波形」以及由「自身功率頻譜」所推算的X rms 都相同為 5。
2. 𝒇2 = 200 Hz，𝑿2 = 1，AC信號：所謂 ”AC”，英文是 ”alternating current”，「AC信號」泛指波動的信號，如一個「餘弦波」信號，令 𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)，𝑿2 = 1，𝒇2 = 200 Hz。其「時間波形」𝒙(𝒕) 是波動的信號，而其「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，會在頻率 𝒇 = 200 Hz時，其「振幅值」為𝑿2 = 1。此「餘弦波」的X rms由「時間波形」以及由「自身功率頻譜」所推算的X rms 都相同，X rms = 0.707X = (0.707)1 = 0.707。
3. 𝒇3 = 500 Hz，𝑿3 = 10，AC信號：一樣的「AC信號」，令 𝒙3(𝒕)=𝑿3𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇3 𝒕)，𝑿3 = 10，𝒇3 = 500 Hz。在此信號特別的是，𝒇3 = 500 Hz是最高的有效頻率fnyq = Fmax = 500 Hz。其「時間波形」𝒙(𝒕) 是波動的信號，而其「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，會在頻率 𝒇 = 500 Hz時，其「振幅值」為𝑿3 = 10。此「餘弦波」的X rms = 10。要注意的是，因為在時間域的取樣，只有擷取到+10、-10的數值，在「頻率」及「振幅值」的解析是正確，但是由時間域的數值，計算的X rms 也是符合實際取樣的數值結果，X rms = 10，而不是X rms = 0.707X = (0.707)10 = 7.07。
參閱圖2的左下方圖示，是以上三個信號的合成，特徵說明如下：
1. 𝒙(𝒕)「時間波形」(time waveform)：「時間波形」的中間值為5，是來自 𝑿1 = 5，𝒇1 = 0 Hz，「DC信號」的效應。𝑿3 = 10，𝒇3 = 500 Hz，「AC信號」主導了主要的波形。𝑿2 = 1，𝒇2 = 200 Hz，「AC信號」使得「時間波形」有微幅的波動。實務上，從「時間波形」是很難辨識出實際信號的頻率及振幅特徵，所以需要借助「FFT頻譜分析」的解析。
2. 𝑿(𝒇)「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)：可觀察到在對應的「頻率」，都有正確的「振幅值」，包括：𝒇1 = 0 Hz，𝑿1 = 5。𝒇2 = 200 Hz，𝑿2 = 1。𝒇3 = 500 Hz，𝑿3 = 10。同時，要注意瞭解𝑿(𝒇) 是複數，可以分別以”amplitude”「振幅值」、”real”「實數」、”imaginary”「虛數」、或 ”Nyquist plot”「奈氏圖」呈現。「奈氏圖」再另闢單元介紹。
3. X rms「平方平均根值」(root mean square (rms) value)：此合成信號的X rms，由「時間波形」以及由「自身功率頻譜」所推算的X rms 都相同，X rms = 11.203。符合「時間波形」的特徵，所以，可以確認兩者的運算處理方式都正確。
最後，參閱圖2的右方的四個圖示，是𝐺𝑥𝑥 (𝑓)「自身功率頻譜」(auto power spectral density, auto PSD, auto spectrum)，以四種單位表示的圖示，分別說明如下：
1. 𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (U)：以單位U表示，沒有意外，和 𝑿(𝒇)「傅立業頻譜」的圖示，完全相同。因為，所表示的單位是相同的。
2. 𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (U^2/Hz)：以單位U^2/Hz表示，在𝒇1 = 0 Hz，𝑿 = 𝑿*𝑿/Δ𝑓 = 5*5/0.5 =50，其他兩個「AC信號」也是相同計算方式。
3. 𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (Urms)：以單位Urms表示，在𝒇1 = 0 Hz，𝑿 = (0.707)𝑿 = (0.707)*5 =3.536，其他兩個「AC信號」也是相同計算方式。
4. 𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (Urms^2/Hz)：以單位Urms^2/Hz表示，在𝒇1 = 0 Hz，𝑿 = 𝑿rms*𝑿rms/Δ𝑓 = 3.536*3.536/0.5 =25，其他兩個「AC信號」也是相同計算方式。
參閱圖2所呈現的重點，是以三個信號的合成，來說明「時間波形」𝒙(𝒕)、「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)、「自身功率頻譜」𝐺𝑥𝑥 (𝑓)、以及「平方平均根值」X rms的現象與重要特性。特別舉例「DC信號」的特徵，以及兩個「AC信號」的特徵解析，其中，一個「AC信號」取任意的頻率，而另一個「AC信號」取其最大的有效頻率，以驗證「FFT頻譜分析」解析的正確性。
綜合本單元的討論，主要在區別「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)以及「自身功率頻譜」𝐺𝑥𝑥 (𝑓)的差異。除此之外，如果，讀者有自行撰寫「FFT頻譜分析」程式，要檢驗程式的正確性，可以參考以「DC信號」、和「AC信號」分別確認𝑿(𝒇)、𝐺𝑥𝑥 (𝑓)、X rms三者之間的對應關係，並檢察分析程式的正確性。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.10.16