Mathématiques appliquées (4) - Pierre-Louis Lions (2024-2025)

Enseignement 2024-2025 : Mathématiques appliquées
Séminaire du 29 novembre 2024 : Quelques questions de statistique mathématique en lien avec les équations aux dérivées partielles
Intervenant : Marc Hoffmann, professeur, Ceremade, université Paris-Dauphine
En modélisation, les phénomènes d’évolution sont souvent analysés au prisme d’équations aux dérivées partielles, interprétées comme une description macroscopique du problème d’intérêt. Cette approche classique se heurte néanmoins à la validation de modèle, lorsque l’on dispose de données expérimentales et que les phénomènes étudiés ne suivent pas des lois physiques bien identifiées. En particulier, l’inférence statistique de paramètres (estimation, test) nécessite le présence d’un modèle stochastique sous-jacent. Ceci est le plus souvent traité par l’ajout d’un bruit expérimental, parfois artificiel, toujours un peu arbitraire, ayant vocation à régler le problème.
En nous appuyant sur quelques exemples précis issus de biologie des populations (démographie humaine, croissance cellulaire) ou de modèles d’agents en économie, nous proposons une approche différente. Partant d’un modèle microscopique pour lequel on dispose d’observables et dont l’EDP d’intérêt est vue comme la limite champ moyen, le bruit statistique devient naturellement la fluctuation entre la mesure empirique du système de particules observé et son EDP limite. L’étude statistique est plus difficile mais plus réaliste. Nous esquisserons un programme d’inférence non-paramétrique dans ce cadre et illustrerons sur des modèles de type McKean-Vlasov les apports d’une telle approche.
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Chaire Équations aux dérivées partielles et applications
Professeur : Pierre-Louis Lions
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