Your mission: that √(n²+6n+14) is an integer - Maths Expertes
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- เผยแพร่เมื่อ 8 ก.พ. 2025
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In this video we determine all the values of n so that √(n²+6n+14) is an integer. We translate step by step.
Ça a déjà dû être écrit de très nombreuses fois mais qu'est-ce que j'aurais aimé avoir un prof de maths comme vous ! Vous donnez un aspect ludique aux mathématiques, c'est top !
Merci beaucoup pour ce je gentil mot 😃
je suis retombé sur votre chaine je l'ai carrément oublié, je regardais vos vidéos quand j'étais en seconde et vos vidéos m'aidaient tellement surtout que mon cerveau était toujours bouché je ne comprenez rien en cours, entre temps j'ai arrêté les maths et je suis en droit tout ça pour dire que je suis hyper contente de voir que vous continuez à faire des videos et que vous avez carrément atteint plus d'un million d'abonnés toujours avec un super sourire vraiment C'EST PLUS QUE MÉRITÉ !!!!!!
Merci beaucoup pour ton message 😃 Il fait très plaisir et donne de la motivation.
Merci d’avoir pris le temps
La solution bateau moins élégante est aussi rapide. n²+6n+14-k²=0. On prend le Δ qui doit être un carré parfait avec solution évidente unique de k² = 9 etc...
Finalement, il n y a que deux solutions et pas 4 car on cherche les valeurs de n et peu importe k
T’es un p’tit génie
Exact et le k on peut le trouver facilement par combinaison au lieu de faire plusieurs lignes pour la substitution
Passionnant, clair et compréhensible, comme toujours !
Merci 😃
Le système pour 1x5 (mais aussi pour les autres cas) pouvait être résolu beaucoup plus rapidement en remplaçant une de ses équations par la somme des deux: -n-3 et +n+3 s'annulant, on a directement 2k=6 et donc k=3, puis on déduit n=-1 avec l'équation restante.
PS: Bonne année (ϕ⁴ - ϕ⁻⁴)⁴ à tous
Oui c'est étonnant qu'il ne l'ait pas fait, car en général il nous dit de le faire ; et donc je l'ai fait 🙂
toujours super ces vidéos ;) et pas si dur que ça si on fait attention on trouve :)
😍 merci pour ton message
Bravo pour la pédagogie et l'enthousiasme communicatif ! Je suis fan!
Merci 😍
Super intéressant, comme toujours. Merci ! 😄
En réalité, il n'y a que 2 solutions, parce qu'on peut imposer que k soit positif, puisque k2 = (-k)2. C'est pour ça qu'on retrouve les mêmes valeurs pour n avec k=-3 que k=3. En effet, si racine(n2+6n+14) = 3^2 il est aussi égale à (-3)^2. Donc les valeurs de n ne vont pas changer quand k change de signe.
Sur le clavier il y a une touche pour avoir le carré, c'est le petit 2 avant le &, ex n²,k²
Très bon exercice !! (comme toujours....)
J'ai tenté une autre approche moins rigoureuse :
n² + 6n + 14 = (n+3)² + 5 ne me convient pas car 5 différent de 0 pour avoir un carré parfait !
Je tente donc avec n + 4 au lieu de n + 3 :
( n + 4 ) ² = n² + 8n + 16 = n² + 6n + 14 + 2n + 2
Donc n² + 6n + 14 = (n+4)² - 2n - 2 Pour avoir un carré parfait : - 2n - 2 = 0 Donc n = 2 / - 2 = -1
1er Solution : n = -1
Je tente ainsi avec n + 2 au lieu de n + 4 :
( n + 2 ) ² = n² + 4n + 4 = n² + 6n + 14 - 2n - 10
Donc n² + 6n + 14 = (n+2)² + 2n + 10 Pour avoir un carré parfait : 2n +10 = 0 Donc n = -10 / 2 = -5
2nd Solution : n= -5
Le seul bémol, c'est qu'on prouve pas que n = -1 et n = -5 sont les SEULS solutions....
n^2+6n+14=(n+3)^2 +5
on veut que (n+3)^2 +5 soit un carré, on pose x=n+3
on a donc x^2+5, on cherche un carré plus grand que x^2, mais on sait pas de combien, on cherche alors (x+c)^2=x^2+5
on developpe et on a c(2x+c)=5
On regarde les facteurs de 5 qui sont 1 et 5, donc les 2 réponses possibles seront obtenues en posant c=1 et 2x+c=5 qui donne x=2
ou c=5 et 2x+c=1 qui donne x=-2
Avec le fait que n+3=x on peut donc trouver les 2 solutions n=-5 et n=-1
Ici on prouve par le meme fait qu'on a trouver toutes les solutions car "c" est un entier (car x+c est entier) x et n sont aussi entier par def et construction
J’ai fais : (n+3)² = k²-5. Or le seul carré parfait qui retombe sur un carré parfait quand on lui soustrait 5, est 9. -> 9-5=4.
Et donc on résoud (n+3)² = 4
Donc n+3= 2 ou -2 🥳
J'ai trouvé une méthode beaucoup plus simple. Je commence par transformer n2+6n+14 en (n+3)2+5 de la même façon que dans la vidéo. Comme (n+3)2 est un carré parfait, on en cherche deux séparés de 5 unités. Ils ne peuvent être que 4 et 9. On résout donc l'équation (n+3)2=4, ce qui donne n+3=2 ou -2 donc n=-1 ou -5.
👍
similar problem
find integer n such that n^2+19n+92 is a perfect square.
answer - n= - 8 , - 11
Pour être tout à fait rigoureux, il aurait fallu commencer par définir l'ensemble des n pour lesquels racine (n²+6n+14) existe, c'est à dire que n²+6n+14>=0.
Comme b²-4ac = 6²-4*1*14 0).
Au final, ça ne change rien à la solution du probléme, mais pour pour un niveau maths expert c'est le genre de détail que le correcteur attend sur une copie de bac.
Au moment où on a écrit (k-n-3)(.(k+n+3)=5, avant d'en déduire qu'il n'y a que 4 solutions de décomposition, ne serait-ce pas nécessaire en toute rigueur de rappeler que k et n appartiennent à Z, et par conséquent également les deux membres de la multiplication (car par exemple, multiplier 25 et 1/5 donnera également 5, donc il faut cette étape pour éliminer cette famille de solutions)
Ah, les systèmes, mon heure de gloire !
Pour le 1er système en additionnant les 2 lignes on avait directement 2k=6 😇
Bonjour,
Est-ce que de passer par une équation du 2ème degré paramétrique est acceptable ? n^2+6n+14-k^2=0.
On regarde les 3 cas : delta >0, delta=0, delta0 l'on a k=3 qui rempli la condition et l'on obtient 2 solutions : -1 et -5... par contre l'on ne prouve pas que cette valeur de k est la seule du fait de la condition à remplir pour delta : k^2>5
Pour delta =0 la condition a remplir pour delta est : k^2=5 => pas de nombre entier qui satisfasse la condition .
Pour delta solution en nombre complexe avec un racine(delta) non entière.
Super chouette vos vidéos !!!
Voici comment améliorer(?) ta méthode :
Pour le cas delta >0 tu sais deja avec ta methode que le delta=k^2-5
ici, on cherche donc quand k^2-5 est un carré parfait, alors on cherche x^2=k^2-5
Ici, on sait que x^2 est plus petit que k^2 car on soustrait 5 de k^2.
Donc, on pose x=(k-c) et donc x^2=(k-c)^2
On remet dans l'équation x^2=k^2-5 on obtient -2kc+c^2=-5
On factorise : c(c-2k)=-5 => c(2k-c)=5 et on a donc un produit. On a juste à regarder les facteurs de 5 et cela garanti d'obtenir toutes les solutions. ("c" est un entier et donc nécessairement sera un facteur de 5)
Les facteurs de 5 sont 1 et 5 ou -1 et -5.
Il ne reste qu'à poser c=1, c=5, c=-1 et c=-5 et on est SÛR d'avoir toutes les solutions (le reste découle pour trouver les valeurs de n, la flemme de développer) t'isole pour k
n^2+6n+14=(n+3)^2 +5
on veut que (n+3)^2 +5 soit un carré, on pose x=n+3
on a donc x^2+5, on cherche un carré plus grand que x^2, mais on sait pas de combien, on cherche alors (x+c)^2=x^2+5
on developpe et on a c(2x+c)=5
On regarde les facteurs de 5 qui sont 1 et 5, donc les 2 réponses possibles seront obtenues en posant c=1 et 2x+c=5 qui donne x=2
ou c=5 et 2x+c=1 qui donne x=-2
Avec le fait que n+3=x on peut donc trouver les 2 solutions n=-5 et n=-1
Quand on a k-n-3=1 et k+n+3=5, (puisque si a=b et c=d alors a+b=c+d) alors on a 2*k=6 => k=3 et n=-1, c'est quand même plus simple.
n^2 + 6n + 14 = n^2 + 2(3)(n) + 9 + 5 = (n + 3)^2 + 5
Si (n + 3)^2 + 5 = (n + 4)^2
n^2 + 6n + 14 = n^2 + 8n + 16
n = -1
Si (n + 3)^2 + 5 = (n + 2)^2
6n + 14 = 4n + 4
n = -5
De mon côté mêmes résultats avec une approche un peu différente.
On notera Rac(n) la fonction racine de n
Rac(n² +6n +14) = m (avec m appartenant a N puisqu'une racine est forcément positive et on ne veut que des résultats entiers)
n² + 6n + 14 = m²
n² + 6n + 14 - m² = 0
ça veut dire qu'on peut écrire ça sous forme de produit (n - n1)(n - n2) = 0
on va calculer le Delta, et on veut des solutions réelles donc Delta >= 0
Delta = 6² - 4* (14 - m²)
= 36 - 56 + 4m²
Delta = 4m² - 20 et on peut commencer à évaluer la valeur de notre résultat m
on veut Delta >=0 donc
4m² - 20 >= 0
4m² >= 20
m² >= 5
m >= Rac(5) >= 3 (on rappelle que m appartient à N et que l'entier le plus petit supérieur à rac(5) c'est 3)
quand on regarde nos résultats on sait également que
n1 = (-6 + Rac(4m² - 20)) / 2
n2 = (-6 - Rac(4m² - 20)) / 2
on cherche des solutions n appartenant à Z donc notre delta doit lui aussi être un carré parfait mais pas n'importe lequel, puisqu'il faut également qu'il soit pair (pour qu'une fois divisé par 2 il soit toujours entier)
on arrive donc à se dire que notre delta soit un carré parfait, et que sa racine soit paire. donc notre delta doit s'écrire sous la forme (2k)²
4m² - 20 = (2k)² (avec k appartenant également à N puisqu'une racine est toujours positive)
4m² - 20 = 4k²
m² - 5 = k²
m² - k² = 5
on arrive avec 2 nombres m et k dans N
et dont la différence des carrés vaut 5
Heureusement qu'on a affaire a des valeurs "simples" (après on sait que la différence de deux carrés successifs n² et (n+1)² c'est 2n+1, donc pour une différence de 2 carrés on peut juste faire une somme de nombre impairs successifs pour 2 carrés n² et (n + m)² ).
deux carrés avec 5 de différence on a pas trop de choix : 2² et 3² (9 - 4 = 5) (mais avec une différence plus grande on aurait peut-être pu avoir plusieurs valeurs pour m)
donc on avait m >= 3 mais on arrive même à m = 3
on reprend notre Delta
Delta = 4m² - 20 (avec m = 3 qu'on vient de trouver)
Delta = 4*3² - 20 = 4*9 - 20 = 36 - 20 = 16
on reprend n1 et n2 :
n1 = (-6 + Rac(16))/2 = (-6 + 4)/2 = -2/2 = -1
n2 = (-6 - Rac(16))/2 = (-6 - 4)/2 = -10/2 = -5
nos deux valeurs de n dans Z qui permettent que Rac(n² +6n +14) soit un nombre entier sont donc -1 et -5
On arrive au même résultat avec une manière de résoudre un peu différente.
et là c'est plus de réflexion que de formules (parce que les formules on les connait depuis le collège)
On aurait pu prendre k positif sans souci et donc s'éviter 2 équations inutiles.
le résultat de la fonction carrée est forcement positif donc k est positif par définition, les résultats avec k négatif sont aberrants, d'ailleurs quand on voit qu'ils ont les mêmes n que les solutions avec les k positifs et qu'on fait le calcul on obtient k=3 et non -3
Finalement à partir de la différence des carrés on était bon : K entier et n+3 entier donc on a une différence de 2 carrés parfaits. la liste est 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ;.... Plus on continue plus les écarts se creusent. Donc la seule soustraction possible pour donner 5 avec ces chiffres est 9-4. Donc k²=9 et (n+3)²=4. à partir de là on peut même dire que le signe de k n'importe finalement pas du tout donc on pourrait le prendre dans juste N et on retrouve nos 2 solutions : n=-1 et n=-5
En base 8 on reconnait bien les nombres qui ne peuvent pas être des carrés parfaits: le carré d' un nombre pair se termine par ou 4 et celui d'un nombre impair par 1.
À 2:00 j'aurais mis k appartient à N et pas Z
Pcq dans tous les cas ça change rien, k2 ou (-k)2 c'est la même chose, donc c'est plus clair et plus simple avec k appartient à N
Quelque soit n, n² +6n+4 est >0 donc pas de soucis.
Très bonne vidéo merci! Ne pouvait on se limiter à k naturel ? Les solution de k et -k sont forcement les mêmes car on cherche n, et non k ?
Pour la fin, il me semble que c’est pas censé marcher si k = -3 (sinon ça voudrait dire qu’on a une racine carrée d’un réel non complexe qui serait négatif) ?
Ceci dit ça change rien vu que l’ensemble de solutions reste {-1,-5} 😊
la racine n'est pas égale à k, mais le carré de la racine égale k², k peut donc être négatif
Je pense qu'n reel non complexe, ça n'existe pas, tous les reels sont complexes
@@thecrazzxz3383 un complexe s'écrit sous la forme x + iy avec i tel que i² = -1, x partie réelle, y partie imaginaire. Si y = 0 on a un réel.
Moi je me suis dit que n²+6n+14=(n+3)²+5. Donc, j'ai cherché deux "carrés parfaits" ayant un écart de 5, et j'ai trouvé 4 et 9. Autrement dit, (n+3)²=4 n+3=2 ou -2 n=-1 ou -5
Ma solution :
(R désigne la fonction racine) :
R(n² + 6n + 14) = k | k € Z
=> n² + 6n + 14 = k²
=> (n + 3)² + 5 = k²
=> (n + 3)² -k² + 5 = 0
=> (n+3-k)(n+3+k) = -5
=>
1) n+3-k = 1 ET n+3+k = -5
2) n+3-k = -1 ET n+3+k = 5
3) n+3-k = -5 ET n+3+k = 1
4) n+3-k = 5 ET n+3+k = -1
1) n+3-k = 1 ET n+3+k = -5
n+3-k = n+3+k-2k = -5 -2k
=> -5-2k = 1
=> 2k + 1 = -5
=> 2k = -6
=> k = -3
=> n = k+1-3 = k-2 = -5
=> {k: -3, n: -5}
2) n+3-k = -1 ET n+3+k = 5
=> (n+3-k) - (n+3+k) = -1 - 5
=> n+3-k - n-3-k = -1 - 5
=> -2k = -6
=> k = 3
=> n = k-1-3 = -1
=> {k: 3, n: -1}
3) n+3-k = -5 ET n+3+k = 1
=> -2k = -6
=> k = 3
=> n = k-8 = -5
=> {k: 3, n: -5}
4) n+3-k = 5 ET n+3+k = -1
=> -2k = 6
=> k = -3
=> n = k+2 = -1
=> {k: -3, n: -1}
Ainsi on a les solutions
{k: -3, n: -1}
{k: 3, n: -5}
{k: -3, n: -5}
{k: 3, n: -1}
Ainsi, on détermine que les solutions de n sont -1 et -5.
Ici c'est k-n-3 et k+n+3
vu que tu poses k=R(.....) tu peux poser k € N car la racine dans R+ est positives. ça permettra d'éliminer des systèmes ensuite
Je ne suis pas sûr que k puisse être égal à -3 et -5 car k = √(n²+6n+14) or une racine est nécessairement positive ce qui implique k positif.
Non. C'est k² qui est égal n²+6n+14. Donc k peut être positif ou négatif.
Autant pour moi, c'est vous qui avez raison...
C'est pour ça qu'il dit(très brièvement certes) que la racine sera égale à k ou -k. Dans le cas où k=-3 la racine vaut -k.
Il n'y a pas une erreur sur les deux autres solutions si on admet de commencer par -1 et -5 et inversement ?
Car moi je trouve sur les deux autres solutions -2 et 0 ou 0 et -2.
vous avez dû vous tromper quelque part. En remplaçant n par vos valeurs, ça ne donne pas un carré parfait.
On peut un peu simplifier le système en remplaçant une des deux équations par la somme des deux équations. ça permet d'avoir immédiatement la valeur de k (car une des équations devient 2k=6 ou 2k=-6 selon les cas, et donc k=3 ou k=-3 selon les cas) et de déduire de l'autre équation les valeurs possibles de n, qui sont bien n=-1 et n=-5
@@lennoylJe fais en fonction de la vidéo à 7:15.
On peut prendre le problème un peu plus haut: au lieu de dire "∃k∈ℤ n²+6n+14=k²" On pouvait dire "∃k∈ℕ √(n²+6n+14)=k" et on s'évitait 2 systèmes ;)
sans le √ ou avec =k au lieu de =k², non ?
Sinon, à moins que je n'ai raté un truc, je ne crois pas que ça nous permette de vraiment passer à deux systèmes au lieu de quatre puisque que ces systèmes découlent de tous les cas possibles pour (k-n-3) et (k+n+3) qui, eux, peuvent être aussi bien négatifs que positifs. En tout cas, ça permet d'éviter de chercher les solutions des deux systèmes où on se retrouve très rapidement avec 2k=-6 (si on remplace une des équations par la somme des deux équations) donc ça reste une bonne idée.
@lennoyl merci! Des fois le copier-coller a des consequences...
Ou lala ....Le système se résout rapidement en additionnant la première ligne avec la deuxième....toujours prendre de la distance....
Bah oui un de mes refrains préférés en plus. Je me mordais les doigts au montage tellement a sautait aux yeux 😔
Mais comme c’était à la toute fin, si c’est souligné, c’est mérité, la personne aura tenu toute la vidéo 😉
J’ai regardé la miniature et je me suis dit "-1 semble marcher" 😅
Aucune chance d'avoir un nombre entier si n est pair car si n est pair n² et 6n sont multiples de 4 et 14 ne l'est pas. Avec un nombre impair pour n, 6n +14 doit être multiple de 8.
2^n+3^n=510
Problème à 1000€
Je ne trouve pas de solution n entier, je tombe toujours sur un nombre entre 5 et 6 (5
Je t'invite à reconsidérer ton invitation à 9:51 😅 tu vois le problème ?
Ben pq tu enleves la racine? Elle a pas disparu? Ton calcul est faux non?
Ah non j ai compris car tu re expliques a la.fin!
Je suis en 4e😂 c'est quoi un racine carrée