Спасибо за ваши лекции по мат анализу, они очень помогают лучше и глубже понимать университетскую программу и математику в целом. Не хочется вас торопить, но было бы замечательно если бы лекции выходили чаще и были длиннее. Ещё раз спасибо!
@@Krab1o программа на мехмате построена так, что на семинарах мы уже пишем контрольную по числовым последовательностям, куда входят такие темы как: теорема Вейерштрасса, критерий Коши, теорема Чезаро, теорема Штольца, число Эйлера. А на лекциях мы только ввели определение предела 1 курс мехмата МГУ))
@@nikson1169 так очень часто и очень везде; так что я думаю, что это не только МГУшная тема :) не всегда теоретический аппарат дают весь тот, что используют на практике
@@Krab1o у нас по расписанию вообще сначала практика, а только потом лекция. Кстати, это даже удобнее, потому что так легче понять теоретический материал, когда порешал задачки и понял, для чего эта теория нужна
Очень жду следующую лекцию, вы прям мой спаситель, а то в универе на лекциях, такие замудрённые доказательства через преобразования формул, что просто убей. Спасибо вам огромное)))
Борис, спасибо большое за Ваш труд!!! Я занимаюсь программированием без высшего тех образования и сейчас решила подтянуть математику. Безумно рада, что нашла Ваш плейлист, просто спасение .
Немного не понятно про предел. Почему окрестность откладывается в обе стороны? Ведь если взять а больше предела на эпсилон , то все члены последовательности начиная с определенного номера будут лежать справа от а в окрестности эпсилон/2. Получится а > предела.
Здравствуйте еще раз! На 8:36 в первом пункте написано: lim(an) = a, n -> ∞. Если a < b, значит абсолютно все элементы последовательности меньше числа b. Не понимаю смысла написания того, что существует N∈N: Ɐn ⩾ N. Разве нельзя заменить число N единицей. Тогда an < b будет выполняться для всех элементов? Могут быть другие варианты? Тот же самый вопрос и ко второму пункту как я понял N нужно для того случая, когда a > b
Спасибо! Скажите, пожалуйста, а может быть задана последовательность с точкой разрыва, допустим a(n)=1/(n-3)? В таком случае, она будет стремиться к нулю, при n, стремящемся к бесконечности, и при этом будет не ограничена (при n=3). Или такой фокус нельзя провернуть?
Она будет не ограничена не при n=3, а вообще (потому что она либо ограничена, либо нет). И да всё верно. Предел при n=3 - бесконечность. Беззнаковая. Потому что подходя к точке справа она стремится к плюс бесконечности, а слева - к минус
По моему, от противного проще: предположим, lim(bn) не равно a, и равен какому-то s. Тогда выбрав окрестность ширины |a-s|/3, можно найти номер n такой, что все члены bn лежат вне окрестности элемента a, что невозможно. Противоречие - ч.т.д.
А что насчет эпсилон который будет равен не (a-b)/2 а к примеру таким, что b принадлежит эпсилон окрестности точки а, тогда не факт, что начиная с некоторого n0 все элементы будут меньше чем b. В конце концов эпсилон есть любое положительное число. Та же самая претензия и к доказательству того, что в R с чертой не может быть 2-х пределов. Там Вы говорили, что эпсилон такой, что эпсилон окрестности не пересекаются, но что если они будут пересекаться, опять же эпсилон какое угодно положительное число... Хотя нас и интересует только сколь угодно малое эпсилон, все же я не совсем понимаю.
Смотри, дело в том, что в данном случае мы доказываем не существование предела (т. к. это дано в условии теоремы), а существование конкретного НОМЕРА элемента последовательности, что все элементы с бОльшими номерами будут строго меньше вещественного b. То есть и эпсилон-окрестность нам необходимо будет подбирать в соответствии с этим номером (как бы подгонять эпсилон под номер n элемента). Я думаю, этим обусловлен конкретный выбор эпсилон.
так всё просто. есть утверждение "для любого положительного эпсилон верно P(ε)", где P(ε) - это некоторое утверждение, далее мы берём какое-то конкретное значение (например (b-a)/2) и делаем вывод, что раз P(ε) верно для любого ε, то и для этого конкретного тоже, т.е. верно P((b-a)/2), а уже из этого делаем какие-то следующие выводы
2:59, если при нектором епсилон, все елементы лежат в интервале (а-е;а+е), то как некоторое скончаемое количество елементов может находиться вне этого интервала?
Спасибо за шикарные видео. Заметил, что Борис делает одну очень распространённую ошибку. В значке множества натуральных чисел он рисует жирной левую ножку буквы N, хотя правильно рисовать жирной диагональную линию
Возможны ли такие случаи, где нижнего ограничения вообще нет? И почему Е (Эпсилон) должен быть меньше разности b и a? Да, я понимаю что это невероятно малое число, но на точно такую же разницу можно же взять и сам b. Или и а и b это натуральные числа?
Емае, второй вопрос был глуп, признаю. Я попутал оказывает. Ибо в таком случае, все равно будут числа n (е) которые < b. Нужно было выходить от обратного. Извиняюсь. 😅
Если вы смогли зажать кого-то при помощи двух милиционеров, то вам доказывать больше ничего не нужно... В принципе, жизненно. Сотрудниками отдела "Э" начата проверка этого вашего матанализа (признанного иностранным агентом) на наличие экстремистских высказываний.
Я про это еще отдельно напишу. В эту среду будет бесплатный стрим в виде вводного занятия к этому курсу -- foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_vk& (покупать ничего не нужно, достаточно нажать "Попробовать бесплатно").
Ноль понимание. Ну взяли мы эпсилон, прибавили и отняли эпсилон к а. Что оно дает? То что в этот промежутки входят число, которые что то там. Такое же объяснение в унике: "Тут всё очевидно". Но что очевидно? Что это вообще дает? Не нащел ни одного препода, который бы нормально объяснил эту тему.
Понравилось. Пересматриваю по второму кругу! Уже 2 месяца нет 35-го ролика 🥲
Уже восемь.
Спасибо за ваши лекции по мат анализу, они очень помогают лучше и глубже понимать университетскую программу и математику в целом. Не хочется вас торопить, но было бы замечательно если бы лекции выходили чаще и были длиннее. Ещё раз спасибо!
Борис, прекрасно объясняете, продолжайте, пожалуйста, в том же профессиональном духе. В моем МГУ преподаватели объясняют хуже, честно говоря)
не повезло вам с лектором: сейчас смотрю курс лекций от Шапошникова с мехмата - отлично объясняет
@@Krab1o программа на мехмате построена так, что на семинарах мы уже пишем контрольную по числовым последовательностям, куда входят такие темы как: теорема Вейерштрасса, критерий Коши, теорема Чезаро, теорема Штольца, число Эйлера. А на лекциях мы только ввели определение предела
1 курс мехмата МГУ))
@@nikson1169 так очень часто и очень везде; так что я думаю, что это не только МГУшная тема :) не всегда теоретический аппарат дают весь тот, что используют на практике
@@Krab1o у нас по расписанию вообще сначала практика, а только потом лекция. Кстати, это даже удобнее, потому что так легче понять теоретический материал, когда порешал задачки и понял, для чего эта теория нужна
Очень жду следующую лекцию, вы прям мой спаситель, а то в универе на лекциях, такие замудрённые доказательства через преобразования формул, что просто убей. Спасибо вам огромное)))
Борис, спасибо большое за Ваш труд!!! Я занимаюсь программированием без высшего тех образования и сейчас решила подтянуть математику. Безумно рада, что нашла Ваш плейлист, просто спасение .
спасибо, для политеха реально полезно
Реально понятно и интересно. Спасибо.
Спасибо вам огромное!!!! Вы очень понятно объясняете такие непростые при первом осознании темы
вы объясняете математику как математика спасибо вам из Азербайжана
комментарий для продвижения такого хорошего учителя в массы)))))
Очень помогает при подготовке к первому курсу. Спасибо, Борис!
Да да, помню эту теорему о двух милиционерах. Вообще такие вот названия способствуют запоминанию - ассоциаьивная память человека даёт своё.
мнемоника называется
@@ulqka угу, она самая. Лучше работает только персональная мнемоника))
Борис, с нетерпением жду про предел функции! Отличные видео, только по ним и разбираюсь)
С вами понимаю больше чем с учителем , спасибо вам
Огромное спасибо!
Супер! спасибо вам большое! начинаю понимать матан)
Борис, огромное спасибо за труд!
Отличная лекция!
Спасибо за урок!
Здравствуйте, а я могу сказать что любая беск.малая последовательность ограничена просто из определения предела
|Xn- a|< E
-E
Большое спасибо за столь интересное и доступное изложение материала :)
Очень классные лекции! Спасибо большое. Жду новых частей
16:45 по поводу b-n между двух милиционэров:
"на его месте должен был оказаться я..."
"напьешься - будешь"
тм "Бриллиантовая рука".
Получается, что у трезвый и пьяный Горбунков имею различный предел.
Теорема о двух милиционерах
Лучший бумерский-математический прикол
Чел, можешь пояснить почему когда мы доказываем, что из сходимости следует ограниченность, то в максимуме всех значений не учитываем аn?
@@iffomko потому что an меньше, чем an+1
@@УбежищеОкермикса понял, спасибо
Спасибо !
Лайк за матан от Бориса.
Крутые лекции
вы лучший
вы супер
Лучшее!!!
Немного не понятно про предел.
Почему окрестность откладывается в обе стороны? Ведь если взять а больше предела на эпсилон , то все члены последовательности начиная с определенного номера будут лежать справа от а в окрестности эпсилон/2. Получится а > предела.
Борис, пожалуйста начните преподавать в моем университете))0)
ничего не понял, но понравилось)
Спасибо
Хочется узнать про предел функции!
Видео 4 года... Кто-то уже выпустился с тех пор
Здравствуйте еще раз!
На 8:36 в первом пункте написано: lim(an) = a, n -> ∞. Если a < b, значит абсолютно все элементы последовательности меньше числа b.
Не понимаю смысла написания того, что существует N∈N: Ɐn ⩾ N. Разве нельзя заменить число N единицей. Тогда an < b будет выполняться для всех элементов? Могут быть другие варианты?
Тот же самый вопрос и ко второму пункту
как я понял N нужно для того случая, когда a > b
Возьмите последовательность 1; 1/2; 1/3; …
Ее предел а = 0. Тогда для b = 0,01 верно, что а < b. Но не все же члены последовательности меньше 0,01
Спасибо!
Скажите, пожалуйста, а может быть задана последовательность с точкой разрыва, допустим a(n)=1/(n-3)?
В таком случае, она будет стремиться к нулю, при n, стремящемся к бесконечности, и при этом будет не ограничена (при n=3). Или такой фокус нельзя провернуть?
Она будет не ограничена не при n=3, а вообще (потому что она либо ограничена, либо нет). И да всё верно. Предел при n=3 - бесконечность. Беззнаковая. Потому что подходя к точке справа она стремится к плюс бесконечности, а слева - к минус
Борис, хотелось бы увидеть интегралы
До интегралов еще далеко (
Для этого нужно поговорить про производную, а для нее -- про предел функции
"Маленькие члены точно не превосходят, а большие члены тоже" )))
По моему, от противного проще: предположим, lim(bn) не равно a, и равен какому-то s. Тогда выбрав окрестность ширины |a-s|/3, можно найти номер n такой, что все члены bn лежат вне окрестности элемента a, что невозможно. Противоречие - ч.т.д.
А почему он есть?
5:28 а ведь меньшего члена может и не быть. Или я что-то не так понял?
Так мы же минимум берём из конечного множества элементов
@@trushinbv А последовательность не может уходить в минус бесконечность с одной стороны, и сходиться с другой?
@@ВикторКонтуров последовательность идёт только в одну сторону )
@@trushinbv А, тогда ладно
Разве An = 1/((n-1)*(n-2)) не сходящаяся неограниченная последовательность?
найс
Я пока ваши видео не смотрел, хочу спросить это для студентов пойдет? Просто сейчас у меня матрицы и определители
Да, это фактически начало университетского курса математического анализа. Матрицы -- это линейная алгебра.
@@trushinbv Борис, скажите пожалуйста, что вы обозначает под 《an》? Все значения последовательности?
кто тоже перед коллоквиумом сидит смотрит, плюсаните
лайкопопрошайство не пройдет!
А что насчет эпсилон который будет равен не (a-b)/2 а к примеру таким, что b принадлежит эпсилон окрестности точки а, тогда не факт, что начиная с некоторого n0 все элементы будут меньше чем b.
В конце концов эпсилон есть любое положительное число.
Та же самая претензия и к доказательству того, что в R с чертой не может быть 2-х пределов. Там Вы говорили, что эпсилон такой, что эпсилон окрестности не пересекаются, но что если они будут пересекаться, опять же эпсилон какое угодно положительное число... Хотя нас и интересует только сколь угодно малое эпсилон, все же я не совсем понимаю.
Смотри, дело в том, что в данном случае мы доказываем не существование предела (т. к. это дано в условии теоремы), а существование конкретного НОМЕРА элемента последовательности, что все элементы с бОльшими номерами будут строго меньше вещественного b. То есть и эпсилон-окрестность нам необходимо будет подбирать в соответствии с этим номером (как бы подгонять эпсилон под номер n элемента). Я думаю, этим обусловлен конкретный выбор эпсилон.
так всё просто. есть утверждение "для любого положительного эпсилон верно P(ε)", где P(ε) - это некоторое утверждение, далее мы берём какое-то конкретное значение (например (b-a)/2) и делаем вывод, что раз P(ε) верно для любого ε, то и для этого конкретного тоже, т.е. верно P((b-a)/2), а уже из этого делаем какие-то следующие выводы
Частое изменение ракурса затрудняет восприятие.
2:59, если при нектором епсилон, все елементы лежат в интервале (а-е;а+е), то как некоторое скончаемое количество елементов может находиться вне этого интервала?
Спасибо за шикарные видео. Заметил, что Борис делает одну очень распространённую ошибку. В значке множества натуральных чисел он рисует жирной левую ножку буквы N, хотя правильно рисовать жирной диагональную линию
9
Возможны ли такие случаи, где нижнего ограничения вообще нет? И почему Е (Эпсилон) должен быть меньше разности b и a? Да, я понимаю что это невероятно малое число, но на точно такую же разницу можно же взять и сам b. Или и а и b это натуральные числа?
Емае, второй вопрос был глуп, признаю. Я попутал оказывает. Ибо в таком случае, все равно будут числа n (е) которые < b. Нужно было выходить от обратного. Извиняюсь. 😅
Если вы смогли зажать кого-то при помощи двух милиционеров, то вам доказывать больше ничего не нужно...
В принципе, жизненно. Сотрудниками отдела "Э" начата проверка этого вашего матанализа (признанного иностранным агентом) на наличие экстремистских высказываний.
У Вас камера самопроизвольно меняет ракурс, исправьте пожалуйста
Надо избавиться от слова ч...
когда егэ?
Я про это еще отдельно напишу. В эту среду будет бесплатный стрим в виде вводного занятия к этому курсу -- foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_vk& (покупать ничего не нужно, достаточно нажать "Попробовать бесплатно").
Нафиг егэ, тут интереснее.
Что-то я туплю. Пусть дана последовательность а(n) = 1/(n-2). Она сходится, но не ограничена (коль скоро мы добавили R с крышечкой)
Это не последовательность. Значения должны быть из R. R с крышечкой - это про предел
@@trushinbv Спасибо! Честно говоря, не надеялся, что хоть кто-то ответит, тем более вы!)
Ниче не понял
Ноль понимание. Ну взяли мы эпсилон, прибавили и отняли эпсилон к а. Что оно дает? То что в этот промежутки входят число, которые что то там. Такое же объяснение в унике: "Тут всё очевидно". Но что очевидно? Что это вообще дает? Не нащел ни одного препода, который бы нормально объяснил эту тему.
Ахахахах, даун
Боже никогда не понимал кто смотрит этого страшного мужика, так он ещё и объясняет непонятно
Спасибо!