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เผยแพร่เมื่อ 7 ก.พ. 2025
Class -10th Maths l वास्तविक संख्याएँ | EXERCISE -1A | भारती भवन Book l‪@NathSirOfficial‬ .....
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‪@NathSirOfficial‬ I# कक्षा 10 Maths बिहार बोर्ड बेहतरीन concept |
यूक्लिड की प्रमेयिका एक प्रमेयिका है जो अभाज्य संख्याओं के एक मौलिक गुण को दर्शाती है :
यूक्लिड की प्रमेयिका - यदि एक अभाज्य संख्या p दो पूर्णांकों a और b के गुणनफल ab को विभाजित करती है , तो p को उन पूर्णांकों a या b में से कम से कम एक को विभाजित करना होगा ।
उदाहरण के लिए, यदि p = 19 , a = 133 , b = 143 , तो ab = 133 × 143 = 19019 , और चूँकि यह 19 से विभाज्य है, इसलिए लेम्मा का तात्पर्य है कि 133 या 143 में से एक या दोनों भी 19 से विभाज्य होने चाहिए। वास्तव में, 133 = 19 × 7 ।
यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग सामान्यतः निम्नलिखित समतुल्य रूप में किया जाता है:
प्रमेय - यदि
पी
{\displaystyle p}एक अभाज्य संख्या है जो गुणनफल को विभाजित करती है
ए
बी
{\displaystyle ab}और विभाजित नहीं करता
ए
,
{\displaystyle a,}तो यह विभाजित हो जाता है
बी
.
{\displaystyle b.}
यूक्लिड प्रमेयिका को अभाज्य संख्याओं से लेकर किसी भी पूर्णांक तक निम्न प्रकार से सामान्यीकृत किया जा सकता है।
प्रमेय - यदि एक पूर्णांक n दो पूर्णांकों के गुणनफल ab को विभाजित करता है , और a के साथ सहअभाज्य है , तो n, b को विभाजित करता है ।
.इतिहास :-
यह एक सामान्यीकरण है क्योंकि एक अभाज्य संख्या p एक पूर्णांक a के साथ सहअभाज्य होती है यदि और केवल यदि p, a को विभाजित नहीं करती है ।
लेम्मा सबसे पहले यूक्लिड के एलिमेंट्स की पुस्तक VII में प्रस्ताव 30 के रूप में दिखाई देती है । यह व्यावहारिक रूप से हर उस पुस्तक में शामिल है जो प्राथमिक संख्या सिद्धांत को कवर करती है। [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]
पूर्णांकों के लिए लेम्मा का सामान्यीकरण 1681 में जीन प्रीस्टेट की पाठ्यपुस्तक नोव्यू एलेमेंस डी मैथमैटिक्स में दिखाई दिया। [ 9 ]
कार्ल फ्रेडरिक गॉस के ग्रंथ डिस्क्विज़िशनेस एरिथमेटिके में , लेम्मा का कथन यूक्लिड का प्रस्ताव 14 (खंड 2) है, जिसका उपयोग वह एक पूर्णांक (प्रमेय 16) के अभाज्य कारकों के अपघटन उत्पाद की विशिष्टता को साबित करने के लिए करता है, और अस्तित्व को "स्पष्ट" मानता है। इस अस्तित्व और विशिष्टता से वह फिर पूर्णांकों के लिए अभाज्य संख्याओं के सामान्यीकरण का अनुमान लगाता है। [ 10 ] इस कारण से, यूक्लिड की लेम्मा के सामान्यीकरण को कभी-कभी गॉस की लेम्मा के रूप में संदर्भित किया जाता है, लेकिन कुछ का मानना है कि यह उपयोग गलत है [ 11 ] क्योंकि यह द्विघात अवशेषों पर गॉस की लेम्मा के साथ भ्रम की स्थिति है ।
‪@NathSirOfficial‬ ...
धन्यवाद !