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Ich muss sagen, ich bin wirklich ein Fan von dem "Mathe-News"-Format, gefällt mir wirklich sehr mit deinen sehr einfachen Erklärungen eigentlich recht komplexer Themen :D
Lieber DorFuchs. Damals in der Schule hat unser Mathematiklehrer mit sehr viel Freude deinen Mitternachtsformel-Song im Unterricht gezeigt. Du bist einer der Faktoren, die mein Interesse an der Mathematik geweckt haben. Ich habe nun meinen Bachelor in Mathematik abgeschlossen und mit dem Master begonnen. Die Mathematik hat meine Weltansicht im positiven Sinne komplett auf den Kopf gestellt. Vielen Dank dafür!
Einfach mega starker Content! Mathe-News ist mein neues Lieblingsformat. Es ist einfach mega interessant was der neuste, aufregendste Stand in einem Feld der Mathematik ist
3:40 Elliptische Kurven sind in der Kryptographie äußerst wichtig, insbesondere im Bereich der Elliptic Curve Cryptography (ECC). Das basiert auf der Schwierigkeit, das sogenannte „diskrete Logarithmusproblem“ auf elliptischen Kurven effizient zu lösen, was sie für den sicheren Datenaustausch geeignet macht.
Ich habe sogar eine elliptische Kurve mit mindestens Rang 30 gefunden, aber der Beweis passt hier nicht rein. Morgen werde ich hier einen Link dahin posten, gleich nach meinem Duell im Morgengrauen.
Ein kleiner Einwand an dieser Stelle, der Satz für elliptische Kurven sollte hier Satz von Mordell heißen. Andre Weil hat diesen ein paar Jahre später für abelsche Varietäten über Zahlkörpern verallgemeinert, sodass die allgemeine Variante Satz von Mordell-Weil genannt wird. Mordells Erkenntnis über den Spezialfall elliptischer Kurven über Q sollte jedoch unsbhängig gewürdigt werden.
Es wäre erfreulich wenn du uns vielleicht am Anfang des Videos kurz etwas Einsicht in das Thema geben würdest. Zum Beispiel was ist eine elliptische Kurve? Wieso haben diese einen Rang und was stellt dieser Rang dar? Ich kann nicht wirklich mitkommen wenn Anfang des Videos direkt über zwei Wörter geredet werden die wahrscheinlich nicht gerade allbekanntes Wissen sind.
Hat er doch erklaert. An manchen Stellen vielleicht ein bischen schnell. Kann man sich ja mehrmals ansehen. Ist ein komplexes Thema, das man nicht komplett in einer halben Stunde abarbeiten kann.
Es wäre interessant zu wissen, wie sich die Sache entwickelt, wenn komplexe Zahlen einbezogen würden. Das liefert dann den Satz von Riemann-Dorfuchs. 😅
Erstaunlicherweise ergibt sich über den Komplexen Zahlen nicht so viel wie man denken könnte. Als Riemannsche Fläche sind alle elliptischen Kurven gleich (ein Donut mit genau einem Loch). Das was die elliptischen Kurven (so wie auch andere Objekte) interessant macht, sind tatsächliche eher ihre Eigenschaften über den rationalen Zahlen und über sagen wir mal "Zwischen"-Strukturen zwischen den rationalen Zahlen und den komplexen Zahlen. Einen dieser Aspekte kann man mit der Tate-Shafarevich Gruppe Sha(E) der elliptischen Kurven messen. Dummerweise kann diese Dinger kein Mensch ausrechnen. Man weiß fast nichts. Wenn der Rang aber hoch ist, sollte Sha(E) tendenziell auch eine höhere Komplexität haben. Ggf. gibt es aber sogar ein Gegenbeispiel einer hochrangigen Kurve mit Sha(E) = 0. Das weiß ich leider nicht.
Mir sind 4 Fragen offen geblieben, kann sie mir wer beantworten? (Tut mir leid, falls sie eh im Video beantwortet wurden, falls ja, hab ich es nicht verstanden oder gehört! Falls es im Video erklärt wurde, könnt ihr auch gerne auf die Zeit verweisen!) 1. Was bedeutet "Rang" in dem Kontext? Wenn ich eine Ellipse mit Rang 9 hab, was sagt dann diese 29 aus? Oder was ist dieser Rang? 2. Wie kann es Punkte P "im unendlichen" geben, unendlich ist doch keine Zahl, was ist damit gemeint? 3. Circa Minute 7:15 : Ist mit e die eulersche Zahl gemeint oder eine Variable? 4. Ich hab am Ende die Fragestellung nicht verstanden. Ok, man hat diese Punkte P und kann mit denen auf andere kommen, aber wo ist da die Frage oder das Problem?
Zu 1&4: Auf einer elliptischen Kurve gibt es Punkte mit rationalen Koordinaten. Man kann eine Addition mit diesen Punkten definieren, die aus zwei rationalen Punkten einen neuen rationalen Punkt berechnet. Wichtig: man kann auch einen Punkt auf sich selbst addieren. Für jeden rationalen Punkt gibt es zwei Möglichkeiten, wenn man ihn immer wieder auf sich selbst addiert. Entweder, man kommt nach endlich vielen Schritten (maximal 12) wieder zu dem Ausgangspunkt zurück. Dann hat man hier eine endliche Gruppe, diese Punkte werden Torsionspunkte genannt. Oder man bekommt immer neue Punkte, also unendlich viele rationale Punkte. Das sind die spannenden Punkte für den Rang. Der Rang einer elliptischen Kurve ist folgende Frage: Wie viele rationale Punkte müssen mindestens bekannt sein, um mit der definierten Addition alle rationalen Punkte auf der Kurve zu finden. (Wenn ich es richtig verstanden habe, werden dabei die Torsionspunkte nicht mit betrachtet.) Rang 29 bedeutet also, dass du mindestens 29 rationale Punkte brauchst, um alle anderen mit der Addition zu generieren. 2. Wenn du eine sinnvolle Definition für Undendlich findest, kannst du auch mit Unendlich rechnen. Das wurde hier über diese Projektion mit Geraden erreicht. 3. Variable
Zu 2: Dorfuchs erklärt es sehr gut bei Minute 6. Man rechnet nicht wirklich mit unendlich als Zahl. Man möchte einfach auf sinnvolle Weise neue Punkte hinzufügen, die erklären wie sich die Kurve im Unendlichen "verhält". Man möchte nämlich den R^2 durch Punkte erweitern, die "unendlich weit" in jeder Richtung liegen. Liegt z.B (0,unendlich) auf der Kurve, heißt das lediglich dass die Kurve im Grenzwert zur y Achse parallel wird. In dieser Betrachtungsweise würde z.B die Parabel y=x^2 diesen Punkt enthalten, weil die Tangenten immer "paralleler" zur y Achse werden. Wie macht man das formal? Hat man ein geometrisches Objekt im R^2, gegeben durch Punkte (x,y) geht man einfach eine Dimension höher und schaut sich Ursprungsgeraden durch (x,y,1) an. Jeder Punkt (x,y) entspricht genau einer solchen Geraden. Eine Ursprungsgerade im R^3 ist durch einen Punkt (ungleich 0) festgelegt: Hat man z.B die Gerade durch (10,20,5) ist das die gleiche wie durch (2,4,1), und entspricht somit dem ursprünglichen Punkt (2,4). Das ganze kann man sich sehr gut vorstellen. Statt einem Kreis x^2+y^2=1 würden wir den Kegel betrachten, der aus allen Ursprungsgeraden besteht, die durch den auf die z=1 Ebene verschobenen Kreis laufen. Macht man das gleiche mit der Parabel, bekommt man alle Ursprungsgeraden durch (x,x^2,1) (projektive Parabel) Was man jetzt macht um zum "Unendlichen" zu kommen ist sehr naheliegend - man nimmt von dem neuen Gebilde den Rand mit dazu. Beim Kreis bzw Kegel ist nichts gewonnen, bei der projektiven Parabel bekommen wir die Gerade durch (0,1,0) - wir sehen, die projektive Parabel ist einfach ein um 45° gekippter Kegel. Man sieht auch, dass diese Gerade dem Punkt (0,unendlich) in der Ebene entspricht, in dem sich die Parabel wieder schließen würde. Mit dieser Betrachtungsweise sehen wir dass Parabel und Kreis in Wirklichkeit das selbe geometrische Objekt sind - die Parabel ist sozusagen ein Kreis bei dem ein Punkt bis ins Unendliche gestreckt wurde. Das ganze ist nicht nur eine sehr schöne, sondern auch sehr nützliche Betrachtungsweise, ohne die es das Gebiet Algebraische Geometrie (wo Elliptische Kurven dazugehören) nicht geben könnte.
Zu 1. Die rationalen Punkte einer elliptischen Kurve, also die Gesamtheit aller mögl. Lösungen haben eine besondere Struktur. Sie bilden eine sogenannte abelsche Gruppe unter einer geometrischen Addition. D.h. unter anderem, dass man zwei Punkte (gegebenenfalls 2 mal den gleichen) addieren kann und einen neuen Punkt bekommt. Ein sehr bekanntes Resultat von Mordell besagt, dass diese Gruppe endlich erzeugt ist. D.h. es gibt endlich viele Punkte P_1,...,P_n, so dass jeder Punkt auf der elliptischen Kurve als Linearkombination dieser Basispunkte erzeugt werden kann. Etwa P = m_1*P_1 +m_2*P_2 +...+m_nP_n, wobei die m_i ganze Zahlen sind. Man ist deshalb daraus aus so viel wie möglich über die Erzeuger herauszufinden, weil diese die DNA der gesamten elliptischen kurve kodieren. Der Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen besagt, dass die Punkte unserer Kurve (isomorph) dargestellt werden können als Z^r + Tors. Z^r nennt man den freien Anteil der Gruppe und Tors den Torsionsteil. Das r in Z^r nennt man den Rang der elliptischen Kurve. Dieser Rang spielt eine wichtige Rolle bei der Birch und Swinnerton Dyer Vermutung. Indem man einen Erzeugerpunkt zu sich selbst addiert bekommt man einen neuen Punkt. Einige Punkte erzeugen unendlich viele neue Punkte. Andere erzeugen nur endlich viele (d.h. man landet irgendwann wieder beim Erzeuger). Die endlich erzeugenden Punkte liegen im Torsionsteil. Die Anzahl der Erzeuger von unendlich vielen Punkten wird durch das r beschrieben. Der elliptischen Kurve kann man eine sogenannte L- Reihe (komplexe Funktion) zuordnen. Diese lässt sich analytisch auf die gesamte komplexe Ebene fortsetzen. Die Birch und Swinnerton Dyer Vermutung besagt, dass der analytische Rang dieser L- Reihe für s = 1 gleich dem Rang der elliptische Kurve ist. Meiner Meinung nach die schönste Vermutung der Mathematik.
Beim ersten Durchlauf des Videos hatte ich so gut wie nichts verstanden. Jetzt, nach dem 2. und 3. habe ich zumindest einen kleinen bläulichen Schimmer, was Elliptische Kurven sind.
Tolles Video und bezogen auf Masterschool wäre meine Frage: Wenn du heute nochmal nach dem Abitur stehen würdest, würdest du dann nochmal an die Uni gehen und studieren oder auch eher direkt ein Programm wie Masterschool durchlaufen und wenn ja welches ?
Für eine gegebene elliptische Kurven und einen Punkt P kann man effizient ein Vielfaches kP auf der elliptischen Kurve berechnen. Aber wenn man nur die Koordinaten des errechneten Punktes hat, ist es schwer, daraus k zurück zu rechnen. Darauf basiert die Kryptographie mit elliptischen Kurven.
In der Praxis wird damit ein Schlüsseltausch realisiert. A und B wollen sich auf einen geheimen Schlüssel einigen über einen unsicheren Kanal. A erzeugt eine zufällige Zahl k1, B eine zufällige Zahl k2. A berechnet k1*P = P1 und teilt das ergebnis B mit, B berechnet k2*P = P2 und teilt es A mit. Jemand der mithört kann aus P1 oder P2 nicht auf k1 oder k2 zurückrechnen. A berechnet dann P2*k1 = P*k1*k2 und B berechnet P1*k2 = P*k1*k2. Das Ergebnis, das bei beiden gleich ist, ist dann der geheime Schlüssel, mit dem die weitere Kommunikation verschlüsselt wird.
Hi, Frage zu 8:58 (ich hab das video noch nicht fertig). Eine Glatte Kurve setzt ja vorraus (wie ich das verstanden hab) dass sie überall differenzierbar ist. (Alle 3 Komponenten wurden vorher differenziert, und die summe der 3 durfte ja nicht 0 sein). Wenn aber die Kurve aus mehreren Teilen besteht wäre sie doch aber nicht stetig und damit ist die differenzierbarkeit doch sofort weg, oder? (Stetigkeit kann man ja Teilweise vereinfacht mit dem Stifttest überprüfen)
Die Geogebrazeichnungen zeigen ja nur die (x,y), welche die Bedingung der Kurve erfüllen und keinen Funktionsgraphen. Deshalb kann man hier den Stifttest nicht benutzem
@@joni.adler02 ich dachte aber, dass dadurch das die Funktion transformiert wurde nur die x,y Achse sichtbar ist. Also dass die Eigenschaften der Funktion nicht verändert wurden bei der Transformation. Aber das macht sinn, danke sehr
Die elliptische Kurve ist keine Funktion, sondern die Nullstellenmenge einer Funktion, genauer gesagt eines Polynoms in mehreren Variablen. Polynome sind immer differenzierbar. Die Glattheitsbedingung für die Kurve besagt nur, dass die totale Ableitung dieses Polynoms nirgendwo Null sein darf. Hat also nichts damit zu tun, ob die Kurve zusammenhängend ist oder nicht, sondern damit, ob sie "Kreuzungspunkte" (oder andere degenerierte Punkte) hat.
8:42 solche kurven "fallen raus" aber ich kann doch nicht der einzige sein, der sieht, dass mann diese Kurve "glatt" mit der Hand in einem "stetigen" Verlauf zeichnen kann, also wie wäre es (machen Mathematik er sie es ys doch sonst auch gerne ;-) sich diese kurven noch einmal genau anzuschauen 😇 I love your Chanel 😎
Das un-glatte an diesen Fällen ist, dass du die Frage "Wie verläuft die Tangente durch den Punkt P?" nicht beantworten kannst, wenn P zufällig auf dem Selbstschnittpunkt liegt ...
Interessant: gestern erst habe ich auf yt einen Vortrag von Sarah Zerbes verfolgt. Ich habe kein Wort verstanden. Im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung ging es u.a. auch um Elliptische Kurven.
Schönes Video! Falls du ja doch weiter zu elliptischen Kurven recherchieren willst habe ich eine Bitte an dich. Bitte erzähle uns etwas zu der Kryptographie dazu. Wie ist damit Kryptographie möglich und wie kann man damit Zero-Knowledge-Beweise führen :D
Warum sind in diesem Zusammenhang kubische Funktionen so interessant? Wären nicht auch Funktionen mit beliebig hohen Potenzen in X,Y und Z denkbar? Was würde das dann für den Rang bedeuten?
14:08 Durch den Grad 3 ist der dritte Schnittpunkt einer Gerade durch zwei rationale Punkte wieder ein rationaler Punkt. Und das sorgt für die interessante algebraische Struktur. Bei Grad 4 oder größer gibt es neben den beiden Ausgangspunkten noch mindestens zwei weitere Schnittpunkte, die aber im Allgemeinen nicht mehr rational sind. Also die Gruppenstruktur, die elliptische Kurven so interessant macht, gibt es in der Form einfach bei Grad ≥ 4 nicht mehr.
Statt "kubisch" (also "Grad 3") kann man äquivalent auch "Genus 1" fordern. Ohne hier jetzt zu erläutern, was Genus ist, mag das ("1" als Sonderfall statt "3" als Sonderfall) vielleicht etwas natürlicher sein. Aber auch das läuft darauf hinaus, dass Genus 0 zu trivial ist und Genus 2 oder mehr kein Additionsgesetz liefert. (Und im Format dieses Videos ist die Definition über "kubisch" definitiv viel eher angebracht)
Ich bin 50, habe vor über 30 Jahren Mathe-LK gehabt, und schaue mir immer gerne irgendwelche Mathesachen auf TH-cam an. Aber hier wird m.E. Wissen vorausgesetzt, bei dem ich vermute, dass es nur Mathestudenten haben können. Vielleicht wieder ein bisschen populärwissenschaftlicher? Vor allem: was zum Geier soll ein Rang einer elliptischen Kurve sein? Bis Minute 12 keine Erklärung.
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Die Ereignisse überschlagen sich ‼️
Jetzt kann alles ganz schnell gehen
Wo kommt das her? Ich kenne den Spruch, weiß aber nicht, woher
@@gubblfisch350ich glaube heernewstime bin mir aber nicht sicher
@@gubblfisch350 Von HerrNewstime
😂😂
Ich muss sagen, ich bin wirklich ein Fan von dem "Mathe-News"-Format, gefällt mir wirklich sehr mit deinen sehr einfachen Erklärungen eigentlich recht komplexer Themen :D
Elliptische Kurven in 25 Minuten so verständlich zu erklären ist eine Meisterleistung!
Lieber DorFuchs. Damals in der Schule hat unser Mathematiklehrer mit sehr viel Freude deinen Mitternachtsformel-Song im Unterricht gezeigt. Du bist einer der Faktoren, die mein Interesse an der Mathematik geweckt haben. Ich habe nun meinen Bachelor in Mathematik abgeschlossen und mit dem Master begonnen. Die Mathematik hat meine Weltansicht im positiven Sinne komplett auf den Kopf gestellt. Vielen Dank dafür!
Einfach mega starker Content! Mathe-News ist mein neues Lieblingsformat.
Es ist einfach mega interessant was der neuste, aufregendste Stand in einem Feld der Mathematik ist
Endlich was zum Thema Zahlentheorie/Algebra....traumhaft!
3:40 Elliptische Kurven sind in der Kryptographie äußerst wichtig, insbesondere im Bereich der Elliptic Curve Cryptography (ECC). Das basiert auf der Schwierigkeit, das sogenannte „diskrete Logarithmusproblem“ auf elliptischen Kurven effizient zu lösen, was sie für den sicheren Datenaustausch geeignet macht.
Elkiens muss ein guter Hacker sein.
0:43 Habe kein Wort verstanden
Bestes Video bis jetzt! Bitte mehr fortgeschrittene Inhalte!
Wie präzise kann Mathe sein?
Noam Elkis: Ja👍
müsste es bei 9:06 nicht ex^2 oder gx^2 heißen? sonst fehlt doch der x^2 term und der der y^2 wäre doppelt
Ja, das stimmt. Da ist ein Schreibfehler.
Ich muss zugeben - bei dem Thema habe ich in den 1980er in der Hauptschule geschlafen. Ich habe nur Bahnhof verstanden.
Ich hab einen Bachelor und versteh auch nix🤠
Das ist ja auch kein hoher Abschluss 😂@@lebakas_peppi
Ich habe sogar eine elliptische Kurve mit mindestens Rang 30 gefunden, aber der Beweis passt hier nicht rein. Morgen werde ich hier einen Link dahin posten, gleich nach meinem Duell im Morgengrauen.
ich hab eine mit rang 31
@@James_3000 Bist du sein Duell-Gegner?
Da es heute, also 1 Tag später, keinen Link gibt, ist wohl klar, wie das Duell ausgegangen ist. Schade, kann man nix machen.
@@martinhahn1390schade um die heinzspagalla8393-Theorie
@@James_3000 Mein Rang ist größer als dein Rang XD
Wahnsinn! Ich freue mich!
Ich würde mich über ein Video zum Thema Kryptographie freuen. Spannendes Thema. Wurde im Informatikstudium nur angerissen/erwähnt
okay inf studium ohne kryptographie, welche uni war das?
Ein kleiner Einwand an dieser Stelle, der Satz für elliptische Kurven sollte hier Satz von Mordell heißen. Andre Weil hat diesen ein paar Jahre später für abelsche Varietäten über Zahlkörpern verallgemeinert, sodass die allgemeine Variante Satz von Mordell-Weil genannt wird. Mordells Erkenntnis über den Spezialfall elliptischer Kurven über Q sollte jedoch unsbhängig gewürdigt werden.
Ich liebe das Mathe News Format
Es wäre erfreulich wenn du uns vielleicht am Anfang des Videos kurz etwas Einsicht in das Thema geben würdest. Zum Beispiel was ist eine elliptische Kurve? Wieso haben diese einen Rang und was stellt dieser Rang dar? Ich kann nicht wirklich mitkommen wenn Anfang des Videos direkt über zwei Wörter geredet werden die wahrscheinlich nicht gerade allbekanntes Wissen sind.
Hat er doch erklaert. An manchen Stellen vielleicht ein bischen schnell. Kann man sich ja mehrmals ansehen. Ist ein komplexes Thema, das man nicht komplett in einer halben Stunde abarbeiten kann.
Um es spannend zu machen, hat er einige Erklärungen erst später nachgeschoben.
@@2manypeople1 könnte man
krasses Video, sehr interessant
Es wäre interessant zu wissen, wie sich die Sache entwickelt, wenn komplexe Zahlen einbezogen würden. Das liefert dann den Satz von Riemann-Dorfuchs. 😅
Erstaunlicherweise ergibt sich über den Komplexen Zahlen nicht so viel wie man denken könnte. Als Riemannsche Fläche sind alle elliptischen Kurven gleich (ein Donut mit genau einem Loch). Das was die elliptischen Kurven (so wie auch andere Objekte) interessant macht, sind tatsächliche eher ihre Eigenschaften über den rationalen Zahlen und über sagen wir mal "Zwischen"-Strukturen zwischen den rationalen Zahlen und den komplexen Zahlen. Einen dieser Aspekte kann man mit der Tate-Shafarevich Gruppe Sha(E) der elliptischen Kurven messen. Dummerweise kann diese Dinger kein Mensch ausrechnen. Man weiß fast nichts. Wenn der Rang aber hoch ist, sollte Sha(E) tendenziell auch eine höhere Komplexität haben. Ggf. gibt es aber sogar ein Gegenbeispiel einer hochrangigen Kurve mit Sha(E) = 0. Das weiß ich leider nicht.
Die Planeten im Sonnensystem haben alle elliptische Kurven.
Mir sind 4 Fragen offen geblieben, kann sie mir wer beantworten? (Tut mir leid, falls sie eh im Video beantwortet wurden, falls ja, hab ich es nicht verstanden oder gehört! Falls es im Video erklärt wurde, könnt ihr auch gerne auf die Zeit verweisen!)
1. Was bedeutet "Rang" in dem Kontext? Wenn ich eine Ellipse mit Rang 9 hab, was sagt dann diese 29 aus? Oder was ist dieser Rang?
2. Wie kann es Punkte P "im unendlichen" geben, unendlich ist doch keine Zahl, was ist damit gemeint?
3. Circa Minute 7:15 : Ist mit e die eulersche Zahl gemeint oder eine Variable?
4. Ich hab am Ende die Fragestellung nicht verstanden. Ok, man hat diese Punkte P und kann mit denen auf andere kommen, aber wo ist da die Frage oder das Problem?
Zu 1&4: Auf einer elliptischen Kurve gibt es Punkte mit rationalen Koordinaten. Man kann eine Addition mit diesen Punkten definieren, die aus zwei rationalen Punkten einen neuen rationalen Punkt berechnet. Wichtig: man kann auch einen Punkt auf sich selbst addieren.
Für jeden rationalen Punkt gibt es zwei Möglichkeiten, wenn man ihn immer wieder auf sich selbst addiert. Entweder, man kommt nach endlich vielen Schritten (maximal 12) wieder zu dem Ausgangspunkt zurück. Dann hat man hier eine endliche Gruppe, diese Punkte werden Torsionspunkte genannt. Oder man bekommt immer neue Punkte, also unendlich viele rationale Punkte. Das sind die spannenden Punkte für den Rang.
Der Rang einer elliptischen Kurve ist folgende Frage: Wie viele rationale Punkte müssen mindestens bekannt sein, um mit der definierten Addition alle rationalen Punkte auf der Kurve zu finden. (Wenn ich es richtig verstanden habe, werden dabei die Torsionspunkte nicht mit betrachtet.) Rang 29 bedeutet also, dass du mindestens 29 rationale Punkte brauchst, um alle anderen mit der Addition zu generieren.
2. Wenn du eine sinnvolle Definition für Undendlich findest, kannst du auch mit Unendlich rechnen. Das wurde hier über diese Projektion mit Geraden erreicht.
3. Variable
Zu 2: Dorfuchs erklärt es sehr gut bei Minute 6.
Man rechnet nicht wirklich mit unendlich als Zahl. Man möchte einfach auf sinnvolle Weise neue Punkte hinzufügen, die erklären wie sich die Kurve im Unendlichen "verhält".
Man möchte nämlich den R^2 durch Punkte erweitern, die "unendlich weit" in jeder Richtung liegen. Liegt z.B (0,unendlich) auf der Kurve, heißt das lediglich dass die Kurve im Grenzwert zur y Achse parallel wird. In dieser Betrachtungsweise würde z.B die Parabel y=x^2 diesen Punkt enthalten, weil die Tangenten immer "paralleler" zur y Achse werden.
Wie macht man das formal? Hat man ein geometrisches Objekt im R^2, gegeben durch Punkte (x,y) geht man einfach eine Dimension höher und schaut sich Ursprungsgeraden durch (x,y,1) an. Jeder Punkt (x,y) entspricht genau einer solchen Geraden.
Eine Ursprungsgerade im R^3 ist durch einen Punkt (ungleich 0) festgelegt: Hat man z.B die Gerade durch (10,20,5) ist das die gleiche wie durch (2,4,1), und entspricht somit dem ursprünglichen Punkt (2,4).
Das ganze kann man sich sehr gut vorstellen. Statt einem Kreis x^2+y^2=1 würden wir den Kegel betrachten, der aus allen Ursprungsgeraden besteht, die durch den auf die z=1 Ebene verschobenen Kreis laufen.
Macht man das gleiche mit der Parabel, bekommt man alle Ursprungsgeraden durch (x,x^2,1) (projektive Parabel)
Was man jetzt macht um zum "Unendlichen" zu kommen ist sehr naheliegend - man nimmt von dem neuen Gebilde den Rand mit dazu. Beim Kreis bzw Kegel ist nichts gewonnen, bei der projektiven Parabel bekommen wir die Gerade durch (0,1,0) - wir sehen, die projektive Parabel ist einfach ein um 45° gekippter Kegel. Man sieht auch, dass diese Gerade dem Punkt (0,unendlich) in der Ebene entspricht, in dem sich die Parabel wieder schließen würde.
Mit dieser Betrachtungsweise sehen wir dass Parabel und Kreis in Wirklichkeit das selbe geometrische Objekt sind - die Parabel ist sozusagen ein Kreis bei dem ein Punkt bis ins Unendliche gestreckt wurde.
Das ganze ist nicht nur eine sehr schöne, sondern auch sehr nützliche Betrachtungsweise, ohne die es das Gebiet Algebraische Geometrie (wo Elliptische Kurven dazugehören) nicht geben könnte.
@@SM321_ Danke, dass du so eine lange und aufwendige Nachricht geschrieben hast, ich schätze das wirklich, ich hab es verstanden!
@@Calenardhon314 Ebenso danke dir, ich hab es verstanden!
Zu 1. Die rationalen Punkte einer elliptischen Kurve, also die Gesamtheit aller mögl. Lösungen haben eine besondere Struktur. Sie bilden eine sogenannte abelsche Gruppe unter einer geometrischen Addition. D.h. unter anderem, dass man zwei Punkte (gegebenenfalls 2 mal den gleichen) addieren kann und einen neuen Punkt bekommt. Ein sehr bekanntes Resultat von Mordell besagt, dass diese Gruppe endlich erzeugt ist. D.h. es gibt endlich viele Punkte P_1,...,P_n, so dass jeder Punkt auf der elliptischen Kurve als Linearkombination dieser Basispunkte erzeugt werden kann. Etwa P = m_1*P_1 +m_2*P_2 +...+m_nP_n, wobei die m_i ganze Zahlen sind. Man ist deshalb daraus aus so viel wie möglich über die Erzeuger herauszufinden, weil diese die DNA der gesamten elliptischen kurve kodieren. Der Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen besagt, dass die Punkte unserer Kurve (isomorph) dargestellt werden können als Z^r + Tors. Z^r nennt man den freien Anteil der Gruppe und Tors den Torsionsteil. Das r in Z^r nennt man den Rang der elliptischen Kurve. Dieser Rang spielt eine wichtige Rolle bei der Birch und Swinnerton Dyer Vermutung. Indem man einen Erzeugerpunkt zu sich selbst addiert bekommt man einen neuen Punkt. Einige Punkte erzeugen unendlich viele neue Punkte. Andere erzeugen nur endlich viele (d.h. man landet irgendwann wieder beim Erzeuger). Die endlich erzeugenden Punkte liegen im Torsionsteil. Die Anzahl der Erzeuger von unendlich vielen Punkten wird durch das r beschrieben. Der elliptischen Kurve kann man eine sogenannte L- Reihe (komplexe Funktion) zuordnen. Diese lässt sich analytisch auf die gesamte komplexe Ebene fortsetzen. Die Birch und Swinnerton Dyer Vermutung besagt, dass der analytische Rang dieser L- Reihe für s = 1 gleich dem Rang der elliptische Kurve ist. Meiner Meinung nach die schönste Vermutung der Mathematik.
9:50 wo ist in der Weierstraß-Gleichung der Parameter a5?
Beim ersten Durchlauf des Videos hatte ich so gut wie nichts verstanden. Jetzt, nach dem 2. und 3. habe ich zumindest einen kleinen bläulichen Schimmer, was Elliptische Kurven sind.
Tolles Video und bezogen auf Masterschool wäre meine Frage: Wenn du heute nochmal nach dem Abitur stehen würdest, würdest du dann nochmal an die Uni gehen und studieren oder auch eher direkt ein Programm wie Masterschool durchlaufen und wenn ja welches ?
Masterschool scheint mir eher komplentär zu einem Studium zu sein und nicht ersetzend.
Mathe News sind Prima!
Bitte ein Video zu ECC
Bei Weierstraß und Abel, reißt mein Mathekabel. ;-)
Bei Weierstraß und Abel, sprich mir nach:
Du bist ein Wildschwein, du bist ein Wildschwein! ;-)
Also Kryptographie mit elliptischen Kurven ist auf jeden Fall ein Thema das ich sehr gerne sehen würde
I weiss noch, als ich vor 5 Jahren deine Mathe Songs in der Schule gezeigt kriegte und in einem Jahr werde ich schon studieren...
19:35 Im gesprochenen Text ok, aber der eingeblendete "satz" unterschlägt die Einschränkung, dass (x,y) endlich ORdnung haben soll!
Oh, stimmt! Leider lässt sich das hier auf TH-cam nicht im Video korrigieren...
Ich bin immer noch traumatisiert von dem lineare Funktionen Song.💀
Und wie generiert man damit jetzt Verschlüsselung ? :)
Für eine gegebene elliptische Kurven und einen Punkt P kann man effizient ein Vielfaches kP auf der elliptischen Kurve berechnen. Aber wenn man nur die Koordinaten des errechneten Punktes hat, ist es schwer, daraus k zurück zu rechnen.
Darauf basiert die Kryptographie mit elliptischen Kurven.
@@DorFuchs sehr cool! Vielen Dank für die Antwort :)
Man generiert sich eine elliptische Kurve, die die Form eines Schlüssels hat. :-]
In der Praxis wird damit ein Schlüsseltausch realisiert. A und B wollen sich auf einen geheimen Schlüssel einigen über einen unsicheren Kanal. A erzeugt eine zufällige Zahl k1, B eine zufällige Zahl k2. A berechnet k1*P = P1 und teilt das ergebnis B mit, B berechnet k2*P = P2 und teilt es A mit. Jemand der mithört kann aus P1 oder P2 nicht auf k1 oder k2 zurückrechnen.
A berechnet dann P2*k1 = P*k1*k2 und B berechnet P1*k2 = P*k1*k2. Das Ergebnis, das bei beiden gleich ist, ist dann der geheime Schlüssel, mit dem die weitere Kommunikation verschlüsselt wird.
Klasse!
Hi, Frage zu 8:58 (ich hab das video noch nicht fertig). Eine Glatte Kurve setzt ja vorraus (wie ich das verstanden hab) dass sie überall differenzierbar ist. (Alle 3 Komponenten wurden vorher differenziert, und die summe der 3 durfte ja nicht 0 sein). Wenn aber die Kurve aus mehreren Teilen besteht wäre sie doch aber nicht stetig und damit ist die differenzierbarkeit doch sofort weg, oder? (Stetigkeit kann man ja Teilweise vereinfacht mit dem Stifttest überprüfen)
Die Geogebrazeichnungen zeigen ja nur die (x,y), welche die Bedingung der Kurve erfüllen und keinen Funktionsgraphen. Deshalb kann man hier den Stifttest nicht benutzem
@@joni.adler02 ich dachte aber, dass dadurch das die Funktion transformiert wurde nur die x,y Achse sichtbar ist. Also dass die Eigenschaften der Funktion nicht verändert wurden bei der Transformation. Aber das macht sinn, danke sehr
Die elliptische Kurve ist keine Funktion, sondern die Nullstellenmenge einer Funktion, genauer gesagt eines Polynoms in mehreren Variablen. Polynome sind immer differenzierbar. Die Glattheitsbedingung für die Kurve besagt nur, dass die totale Ableitung dieses Polynoms nirgendwo Null sein darf. Hat also nichts damit zu tun, ob die Kurve zusammenhängend ist oder nicht, sondern damit, ob sie "Kreuzungspunkte" (oder andere degenerierte Punkte) hat.
Bei 9:42. Wo ist a_5 hin? xD
8:42 solche kurven "fallen raus"
aber ich kann doch nicht der einzige sein, der sieht, dass mann diese Kurve "glatt" mit der Hand in einem "stetigen" Verlauf zeichnen kann, also wie wäre es (machen Mathematik er sie es ys doch sonst auch gerne ;-)
sich diese kurven noch einmal genau anzuschauen 😇
I love your Chanel 😎
Das un-glatte an diesen Fällen ist, dass du die Frage "Wie verläuft die Tangente durch den Punkt P?" nicht beantworten kannst, wenn P zufällig auf dem Selbstschnittpunkt liegt ...
ein Video über Kryptographie mit elliptischen Kurven wäre sehr schön
Interessant: gestern erst habe ich auf yt einen Vortrag von Sarah Zerbes verfolgt. Ich habe kein Wort verstanden. Im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung ging es u.a. auch um Elliptische Kurven.
Dann kann ich ja auch die sogenannten isolierten Punkte bestimmen.😊
Dachte beim Thumbnail kurz du präsentierst die Ergebnisse des deutschen Pisa Tests😬😂
babe wach auf, sie haben eine neue elliptische kurve mit mindestens rang 29 entdeckt
Schönes Video! Falls du ja doch weiter zu elliptischen Kurven recherchieren willst habe ich eine Bitte an dich.
Bitte erzähle uns etwas zu der Kryptographie dazu. Wie ist damit Kryptographie möglich und wie kann man damit Zero-Knowledge-Beweise führen :D
Warum sind in diesem Zusammenhang kubische Funktionen so interessant? Wären nicht auch Funktionen mit beliebig hohen Potenzen in X,Y und Z denkbar? Was würde das dann für den Rang bedeuten?
14:08 Durch den Grad 3 ist der dritte Schnittpunkt einer Gerade durch zwei rationale Punkte wieder ein rationaler Punkt. Und das sorgt für die interessante algebraische Struktur.
Bei Grad 4 oder größer gibt es neben den beiden Ausgangspunkten noch mindestens zwei weitere Schnittpunkte, die aber im Allgemeinen nicht mehr rational sind.
Also die Gruppenstruktur, die elliptische Kurven so interessant macht, gibt es in der Form einfach bei Grad ≥ 4 nicht mehr.
Statt "kubisch" (also "Grad 3") kann man äquivalent auch "Genus 1" fordern. Ohne hier jetzt zu erläutern, was Genus ist, mag das ("1" als Sonderfall statt "3" als Sonderfall) vielleicht etwas natürlicher sein. Aber auch das läuft darauf hinaus, dass Genus 0 zu trivial ist und Genus 2 oder mehr kein Additionsgesetz liefert. (Und im Format dieses Videos ist die Definition über "kubisch" definitiv viel eher angebracht)
@@DorFuchs Ahhh verstehe das macht sinn, danke.
Mache doch mal ein Video für den Zusammenhang zwischen Cryptografie und ECDSA.
Der TH-cam Algorithmus denkt ich verstehe mehr als ich wirklich tu
Visualisiert mit Geobra?
Was ein Übergang oha
Wow!
⭐⭐⭐⭐⭐
Ist dorfuchs der Mazdak der Mathematik
Aber Rang 29 ist doch nur eine Vermutung, oder liege ich da falsch?
Was ist eine Ebne?
Ich bin 50, habe vor über 30 Jahren Mathe-LK gehabt, und schaue mir immer gerne irgendwelche Mathesachen auf TH-cam an. Aber hier wird m.E. Wissen vorausgesetzt, bei dem ich vermute, dass es nur Mathestudenten haben können. Vielleicht wieder ein bisschen populärwissenschaftlicher? Vor allem: was zum Geier soll ein Rang einer elliptischen Kurve sein? Bis Minute 12 keine Erklärung.
Weckt mich wenn Rang 30 gefunden wurde 🥱😅
Was ist eigentlich die größte Zahl die man mit den Ziffern von 0 bis 9 darstellen kann?
Ich weiß warum ich keine Mathematik studiere.
Dabei hatte ich schon gedacht, Du hättest keine Ahnung von Arithmetik.
Solche Kurven sind unter anderem in der Verschlüsselung der Telematikinfrastruktur vorhanden. Die ist für unsere Gesundheitsdaten verantwortlich.
Elliptische Kurven werden überall, ganz allgemein in der asymmetrischen Verschlüsselung (zb. Verbindungsaufbau) und für Signaturen verwendet
Schade, dass du nicht in die Algebra gegangen bist:(
Was ist eine elliptische Kurve 😂
egal, aber sie haben eine mit mindestens rang 29 gefunden‼️
Damn
Irre
na dann können wir ja alle beruhigt schlafen gehen