假設 x ≧ y ≧ z，則 (x + y + z)^2 ≦ (3x)^2 = 9x^2，又如果此時 (x + y + z)^2 = x^3 + y^3 + z^3 成立，則代表 9x^2 ≧ x^3 + y^3 + z^3 -> x^2(9-x) ≧ y^3 + z^3 > 0，可知 x 的上界是9 接下來... . . . . . 我寫了程式一個一個爆破xDDDDDDDD(程式我放下面) 得出在 x ≧ y ≧ z 下，(x, y, z) = (3, 2, 1) or (3, 3, 3)，也就是所有的 (x, y, z) 的解是 (1, 2, 3) 所有的排列組合以及 (3, 3, 3) # 程式(Python) import math def isEqual(x, y, z): left = pow(x + y + z, 2) right = pow(x, 3) + pow(y, 3) + pow(z, 3) return left == right def find(max): combination = [] for x in range(1, max + 1): for y in range(1, x + 1): for z in range(1, y + 1): if isEqual(x, y, z): combination.append((x, y, z)) return combination solution = find(9) print(solution) Output: [(3, 2, 1), (3, 3, 3)]
假設 x ≧ y ≧ z，則 (x + y + z)^2 ≦ (3x)^2 = 9x^2，又如果此時 (x + y + z)^2 = x^3 + y^3 + z^3 成立，則代表
9x^2 ≧ x^3 + y^3 + z^3 -> x^2(9-x) ≧ y^3 + z^3 > 0，可知 x 的上界是9
接下來...
.
.
.
.
.
我寫了程式一個一個爆破xDDDDDDDD(程式我放下面)
得出在 x ≧ y ≧ z 下，(x, y, z) = (3, 2, 1) or (3, 3, 3)，也就是所有的 (x, y, z) 的解是 (1, 2, 3) 所有的排列組合以及 (3, 3, 3)
# 程式(Python)
import math
def isEqual(x, y, z):
left = pow(x + y + z, 2)
right = pow(x, 3) + pow(y, 3) + pow(z, 3)
return left == right
def find(max):
combination = []
for x in range(1, max + 1):
for y in range(1, x + 1):
for z in range(1, y + 1):
if isEqual(x, y, z):
combination.append((x, y, z))
return combination
solution = find(9)
print(solution)
Output: [(3, 2, 1), (3, 3, 3)]
python的力量！🤣
太強了！
可是這只有格子點？ 🤔
@@jeffkevin3 不是耶，所有的 9 ≧ x ≧ y ≧ z 的可能都遍歷過了
find(max) 函數我是這樣寫的：
最外層 for 要求 x 從 1 試到 max，第二層 for 要求 y 從 1 試到 x ，最內層要求 z 從 1 試到 y，再由 isEqual(x, y, z) 函數比較兩個 expression 是否算出的值相等
最後我用 max = 9 去 call 函數 find(max)，也就是說，他試的所有排列組合會是
(x, y, z) = {
(1, 1, 1),
(2, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 2),
(3, 1, 1), (3, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3),
...
(9, 1, 1), (9, 2, 1), (9, 2, 2), ... (9, 9, 9)
}
這些組合我都用程式算過了
@@jeffkevin3 噢等等我看懂你的問題了，你所謂的格子點是 x, y, z 都是整數的情況，所以你想要找非格子點的答案是吧？
如果沒有限制 x, y, z 是整數，只要求都是正數的話，那我可以很有信心地跟你說，這會有無限多個解。
原因很簡單，(x + y + z)^2 = x^3 + y^3 + z^3 有三個未知數，但是我們只有一條方程式。你可以把等式左邊搬到等式右邊，把 y 和 z 看成常數，整理成 x 的多項式得：
x^3 - x^2 - 2(y + z)x + (y^3 + z^3 - y^2 - z^2 - 2yz) = 0
我們知道任何一個三次實係數多項式必至少有一個實數解，但是我們同時又有 y 和 z 兩個自由度可以安排，舉例來說，我隨便假設 y = 1/2，z = 1/4，那麼 x 有正數解:
x = 1/24 * (8 + (6884 - 36 * 2913^(1/2))^(1/3) + (6884 + 36 * 2913^(1/2))^(1/3)) ≒ 1.9041
我甚至可以隨便假設 y = 2^(1/7)，z = 5^(1/13)，那麼 x 有正數解 ≒ 2.84445
所以其實老師說找 all positive number，我覺得老師是少說了 positive integer
完蛋，數學歸納法會不會考這個
那個證明叫做數學歸納法，高一有學過
其實看老師那麼用力的用中文教數學，如果我是學生真不敢放棄數學，太感動了，⌓‿⌓
6:18 開始我突然一臉懵逼🤣
我也是 笑死
我們已知對m 成立，所以我們也要證明對m+1也成立
感謝曹老師的影片 正巧昨天看了英文版的 然後今天的奧數比賽居然出了差不多的題目：
Find 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 100^3
如果沒有老師的影片我應該就不會做了😆😆😆
（雖然還是很多題不會啦…）
看起來應該是國中的奧數來著，上了高中求和公式基本上都會背到三次方了
話說其實用二項式也是可以證明的，還可以求出n次方的求和公式。
(雖然可以到n次拉，不過4次之後公式都不怎麼好看就是了)
@@starain_ 很可惜的是我其實算是高中生… 不過我不是台灣人（我是馬來西亞的） 所以應該是我國家的syllabus落後很多 其實連求和公式這些算基本的東西都是我自己上網學的 學校也沒有任何教奧數的課程或社團（有也只是幫忙報名各種比賽 做題什麼的連管都沒管）
（1+2+3）²我之前算法是直接先算1+2+3再去算平方2，看這影片終於懂了
(((m+1)*(m+1+1))/2)^2 = (1+...+(ｍ+1))^2, 請問老師最後一歩是不是就這樣變回去呢？
哈哈哈英文反而也很清楚意思
6:23 「我們需要證明歸納假設中的m換成m+1也會成立」之類的嗎？
對！ 謝謝 😄
M2 學的mi竟然會有用
MI證明本來就很有用，不過是在知道結果的情況下進行證明
下一場都是數學歸納法，當然有用
我今天剛去圖書館借的書剛好就有這道題
高一下的數學歸納法
對了上次忘記問：x, y, z 有都要是格子點嗎？ 😮
不用
desmos 跟 wolframalpha 給我了太多的恐懼，我發覺自己的代數真的不夠用 😢
我只有觀察到，
0
@@bprptw前面的片段有非數學歸納法的證明方式嗎？
寫成Sigma大概就知道了
再不到兩天我要分科我竟然在這看這深奧的東西，所以可以出個矩陣嗎
這高一的東西😂
分科生+1
話說 這深奧嘛😂
@@yanyuchen5027 現在變高2了（連三角函數也是
lo unico malo es que no entiendo chino.