【高校数学】東北大学 2021 問3【382 ★★☆☆☆

[@みふゆもあ]

解けました〜😊
八角形の頂点をP1,P2,...,P8と名づける。
(1)
直角がどこにできるかで8通り。
P1で直角であれば考えられる直角三角形は
P1-P2-P6,
P1-P4-P8,
P1-P3-P7
の3通りだから、全部で
8×3=24個。
(2)
二等辺三角形がいくつできるか考える。
ただし直角二等辺三角形は(1)でカウントしているので除外する。
二等辺三角形の頂角の選び方でP1からP8の8通り。
P1が頂角であれば直角二等辺三角形以外の二等辺三角形は
P1-P2-P8,
P1-P4-P6
の2通りできるわけだから、全部で
8×2=16個。
考えられる三角形の総数は
C(8,3)=56個
だから求める個数は
56-24-16=16個。
(3)
動画と同じく余事象を考えました。
四角形の辺や対角線が正八角形の中心を通るとアウト。四角形の頂点として
P1とP5、P2とP6、P3とP7、P4とP8を同時に選んでしまうとダメだけど、4点選ぶためにはこの4組で要素をどちらか必ず選ぶしかなく、ダメな組み合わせは
2^4=16個。
四角形の総数がC(8,4)=70個
だから求める個数は
70-16=54個。

[@kosei-kshmt]

(3)別解に一票。
m(_ _)m

[@vacuumcarexpo]

めんどくさいわ❗
暗算チャレンジ失敗‼️
全部16通りにしちゃったわ。最初のは数え忘れ。最後のは、余事象引き忘れ。