Schönes Video! :) Ich denke man könnte es alternativ auch so erklären: "OBDA" bedeutet dasselbe wie "Es reicht zu zeigen". Stattt, dass wir die Implikation A->B zeigen, zeigen wir nur A# -> B, wobei A# ein Spezialfall der Aussage A ist. Jetzt könnte man erstmal denken, dass wir mit der Einschränkung von A auf A# nur einen echten Spezialfall der Implikation beweisen und nicht die gesamte Implikation. Also man könnte denken, dass es für den Beweis von A->B *nicht ausreicht* nur A# -> B zu zeigen. Mit den Worten "OBDA" behauptet der Autor allerdings, dass die Aussage A# -> B die ursprüngliche Aussage A -> B bereits *impliziert* - durch ein paar zusätzliche Überlegungen, die der Autor oft weglässt, weil sie meistens einfach sind. Wir reduzieren also Beweis von A->B auf den Beweis von A#->B, aber da die beiden Implikationen *äquivalent* sind verlieren wir dabei keine Allgemeinheit! Als Beispiel: In Beispiel 3) reicht es zu zeigen, dass die Aussage für Funktionen gilt, für die f(a) < 0 und f(b) > 0 gilt, weil dieser Spezialfall die ursprüngliche Aussage bereits impliziert. *Beweis:* Wenn wir ein stetiges f haben, für welches f(a) > 0 und f(b) < 0 gilt, dann ist (-f) ebenfalls stetig und erfüllt (-f)(a) < 0 und (-f)(b) > 0. Nun wenden wir auf (-f) unsere bewiesene Spezial-Implikation an und erhalten, dass es eine Nullstelle besitzt. Diese Nullstelle ist aber natürlich auch eine Nullstelle von f, womit gezeigt ist, dass f eine Nullstelle besitzt.
Ein Beispiel zu apriori aus der Numerik: oft gibt es dort annäherungen mit einer iteration a_n an etwas exaktes (z.b. exakte funktionswerte f(x)) und die differenz daraus ist der „fehler“, dieser wird abgeschätzt, wie groß er werden kann. Dazu gibt es meist eine apriori-formel, die abhängig von einem startwert a_0 (ggf auch a_1) und recht grob im vergleich zu einer aposteri-schätzung ist, welche von den letzten iterationsschritten a_n (ggf a_(n-1)) abhängig und genauer ist. Also apriori sinngemäß „von anfang / im vorfeld“.
Hey, bei mir wird O.E. auch benutzt, wenn der andere Fall nicht analog geht, sondern klar ist. Dem entsprechend hätte man auch kurz sagen können: o.B.d.A. bedeutet: "alle anderen Fälle sind klar oder funktionieren analog". Ansonsten hätte ich es auch gut gefunden, wenn du ein Beispiel gebracht hättest, wo man denkt, dass man o.B.d.A. schreiben kann aber der 2. Fall nicht ganz genauso funktioniert, sondern nur auf den ersten Blick. LG
Danke für die Erklärung des Begriffs. Mir ist aber aufgefallen, dass der Ton nur aus dem linken Kopfhörer kommt, also linkslastig ist. Sonst super Video👍🏻
Habs danach leider auch gemerkt …. Ab dem nächsten video wieder alles normal. Oder kennt jmd ne Möglichkeit, das bei yt nachträglich zu ändern (ohne neu hochzuladen)?
Ich hätte gern ein Video zu "beliebig". Bedeutet das letztlich das Gleiche wie "alle" oder "jeder"? Ich weiß nämlich, dass wenn man etwas für ein "beliebiges x" beweisen kann, dann kann man es "für alle x" beweisen. Falls das Video zu kurz wird, dann einfach noch "beliebig, aber fest" dranhängen. Weiteres Bsp. "fast" zB bei "fast unmögliches Ereignis". Das klingt ja erstmal selbstwidersprüchlich für eine formale Wissenschaft, wo etwas entweder unmöglich ist oder nicht unmöglich...und mE meint man damit auch: nicht unmöglich, will aber mit dem "fast unmöglich" deutlich machen, dass es in jeder Praxis unmöglich sein wird.
Zu der Formulierung "fast unmöglich": Was diese Definition _bedeutet_ haben wir formal in der Mathematik festgelegt, nämlich, dass das Ereignis A die Eigenschaft P(A) = 0 erfüllt. Jetzt geben wir solchen Ereignissen noch einen Namen. Diese Namen haben aber nichts mit der Mathematik zutun, es sind nur Namen, nur Bezeichnungen damit wir uns darüber unterhalten können. Wir könnten so ein Ereignis "fast unmöglich" nennen. Wir könnten es aber auch "unmöglich" nennen. Wir könnten es aber auch ganz anders bezeichnen. Man kann sich natürlich fragen, welche Namen "sinnvoll" sind. Aber es ist wichtig zu verstehen, dass diese Bezeichnungen nur Bezeichnungen sind und für die Mathematik an sich _völlig irrelevant_ . Für die Mathematik relevant ist nur die formale Definition - darin steckt die gesamte Bedeutung.
@@LukasKoletzko Ich sehe das bisher so, korrigiere mich, wenn ich falsch liege. Es gibt zwei Fälle: P(A) = 0 und P(A) = 0*. P(A) = 0 bedeutet, dass A nie eintreten kann (= unmögliches Ereignis), P(A) = 0* bedeutet, dass A trotz der zugewiesenen Maßzahl 0 eintreten kann (= fast unmögliches Ereignis). Bsp.: eine Urne mit allen natürlichen Zahlen, Gleichverteilung. Sei A = 1.5, dann ist P(A) = 0. Sei A = 56. Was jetzt? Wir können nicht, wie üblich, 1/|IN| rechnen, weil das nicht definiert ist, aber wir könnten das Grenzwertmodell benutzen und den Grenzwert als Wahrscheinlichkeit nehmen. Ok, machen wir. Dieser Grenzwert wäre 0, also P(A) = 0. Aber dieses Modell ist natürlich blind dafür, dass wir die 56 doch ziehen könnten und wir sehen das. Die Maßzahl 0 sagt _hier_ nicht mehr das, was sie üblicherweise aussagt. Deshalb müssen wir kenntlich machen, dass das P(A) = 0 im Grenzwertmodell nicht das Gleiche bedeutet wie das "übliche" P(A) = 0.
@@mathintuition Ich will mir bald deine Analysis 1 & 2 Kurse ansehen. Meine Schulzeit ist schon ziemlich lange her. Kannst du irgendwas empfehlen, wo/wie man einsteigen soll, um dann deine Kurse gewinnbringend zu nutzen? (Mich interessiert Mathe eigentlich nur iFv Logik, Mengenlehre und Stochastik, da kenne ich mich ganz gut aus, der Rest interessierte mich bisher nie - nur als Kontext)
@@ostihpem Ich glaube ich verstehe Dein grundsätzliches Problem. Vielleicht helfen Dir folgende Gedanken dazu: Zunächst: Die Aussage P(A) = 0 bedeutet weder, dass A nie eintreten kann noch, dass A eintreten kann. Das sind nur _Interpretationen_ , welche wir dieser mathematischen Aussage zuweisen können. Die Aussage P(A) = 0 besitzt aber an und für sich _keine Bedeutung_ ! Es ist eine rein strukturelle Aussage. Das gilt im Übrigen für die gesamte Mathematik und nicht nur für diesen Spezialfall: Mathematik ist bedeutungslos. Wir können Mathematik nur interpretieren - und das wie auch immer wir wollen, da gibt es keine Regeln. Sobald man für eine mathematische Aussage eine bestimmte Interpretation gewählt hat, kann man sich natürlich fragen wie "sinnvoll" diese Interpretation ist. Ich möchte aber betonen, dass diese Fragestellung nichts mehr mit der Mathematik an sich zu tun hat, sondern allenfalls etwas mit dessen Anwendung auf die Realität. Wenn wir die Aussage P(A) = 0 zum Beispiel _interpretieren_ als "A tritt niemals ein", dann würde ich Dir zustimmen, dass das ein bisschen widersprüchlich ist, denn es kann schon sein, dass eine Zufallsvariable Werte in der Menge A annimmt (und in diesem Sinne kann A schon "eintreten"), aber trotzdem gilt P(A) = 0 und wir würden das interpretieren als "A tritt niemals ein". Aber dieser Widerspruch tritt nur in unserer Interpretation auf - unsere Interpretation ist in diesem Fall vlt. nicht so gut. Die Mathematik bleibt davon aber unberührt!
Erstmal gedacht meine Kopfhörer wärem kaputt gegangen 😳
überzeugend, bringt es auf den Punkt. Sehr hilfreich. Danke.
Schönes Video! :) Ich denke man könnte es alternativ auch so erklären: "OBDA" bedeutet dasselbe wie "Es reicht zu zeigen". Stattt, dass wir die Implikation A->B zeigen, zeigen wir nur A# -> B, wobei A# ein Spezialfall der Aussage A ist. Jetzt könnte man erstmal denken, dass wir mit der Einschränkung von A auf A# nur einen echten Spezialfall der Implikation beweisen und nicht die gesamte Implikation. Also man könnte denken, dass es für den Beweis von A->B *nicht ausreicht* nur A# -> B zu zeigen.
Mit den Worten "OBDA" behauptet der Autor allerdings, dass die Aussage A# -> B die ursprüngliche Aussage A -> B bereits *impliziert* - durch ein paar zusätzliche Überlegungen, die der Autor oft weglässt, weil sie meistens einfach sind. Wir reduzieren also Beweis von A->B auf den Beweis von A#->B, aber da die beiden Implikationen *äquivalent* sind verlieren wir dabei keine Allgemeinheit!
Als Beispiel: In Beispiel 3) reicht es zu zeigen, dass die Aussage für Funktionen gilt, für die f(a) < 0 und f(b) > 0 gilt, weil dieser Spezialfall die ursprüngliche Aussage bereits impliziert. *Beweis:* Wenn wir ein stetiges f haben, für welches f(a) > 0 und f(b) < 0 gilt, dann ist (-f) ebenfalls stetig und erfüllt (-f)(a) < 0 und (-f)(b) > 0. Nun wenden wir auf (-f) unsere bewiesene Spezial-Implikation an und erhalten, dass es eine Nullstelle besitzt. Diese Nullstelle ist aber natürlich auch eine Nullstelle von f, womit gezeigt ist, dass f eine Nullstelle besitzt.
Perfekt!
Schöne Anmerkung
Yaaay !! Neues Video🎉 sehr gut erklärt wie immer danke❤️
Davon kann es nicht genug geben, danke 🤩
vielen Dank!
Der Ton ist etwas Linkslastig :D Cooles Video
Danke für den hinweis, mein fehler. Ab dem nächsten video alles normal :)
Echt einfach erklärt. Super! Nebenbei die Frage: Was heißt eigentlich „apriori“? Mein Prof benutzt es sehr oft.
Ein Beispiel zu apriori aus der Numerik: oft gibt es dort annäherungen mit einer iteration a_n an etwas exaktes (z.b. exakte funktionswerte f(x)) und die differenz daraus ist der „fehler“, dieser wird abgeschätzt, wie groß er werden kann. Dazu gibt es meist eine apriori-formel, die abhängig von einem startwert a_0 (ggf auch a_1) und recht grob im vergleich zu einer aposteri-schätzung ist, welche von den letzten iterationsschritten a_n (ggf a_(n-1)) abhängig und genauer ist.
Also apriori sinngemäß „von anfang / im vorfeld“.
Hey, bei mir wird O.E. auch benutzt, wenn der andere Fall nicht analog geht, sondern klar ist. Dem entsprechend hätte man auch kurz sagen können: o.B.d.A. bedeutet: "alle anderen Fälle sind klar oder funktionieren analog". Ansonsten hätte ich es auch gut gefunden, wenn du ein Beispiel gebracht hättest, wo man denkt, dass man o.B.d.A. schreiben kann aber der 2. Fall nicht ganz genauso funktioniert, sondern nur auf den ersten Blick. LG
Danke! Ja, das war bei meinen profs auch manchmal so, guter Hinweis.
Danke für die Erklärung des Begriffs. Mir ist aber aufgefallen, dass der Ton nur aus dem linken Kopfhörer kommt, also linkslastig ist. Sonst super Video👍🏻
Habs danach leider auch gemerkt …. Ab dem nächsten video wieder alles normal. Oder kennt jmd ne Möglichkeit, das bei yt nachträglich zu ändern (ohne neu hochzuladen)?
Ich hätte gern ein Video zu "beliebig". Bedeutet das letztlich das Gleiche wie "alle" oder "jeder"? Ich weiß nämlich, dass wenn man etwas für ein "beliebiges x" beweisen kann, dann kann man es "für alle x" beweisen. Falls das Video zu kurz wird, dann einfach noch "beliebig, aber fest" dranhängen. Weiteres Bsp. "fast" zB bei "fast unmögliches Ereignis". Das klingt ja erstmal selbstwidersprüchlich für eine formale Wissenschaft, wo etwas entweder unmöglich ist oder nicht unmöglich...und mE meint man damit auch: nicht unmöglich, will aber mit dem "fast unmöglich" deutlich machen, dass es in jeder Praxis unmöglich sein wird.
Zu der Formulierung "fast unmöglich": Was diese Definition _bedeutet_ haben wir formal in der Mathematik festgelegt, nämlich, dass das Ereignis A die Eigenschaft P(A) = 0 erfüllt. Jetzt geben wir solchen Ereignissen noch einen Namen. Diese Namen haben aber nichts mit der Mathematik zutun, es sind nur Namen, nur Bezeichnungen damit wir uns darüber unterhalten können. Wir könnten so ein Ereignis "fast unmöglich" nennen. Wir könnten es aber auch "unmöglich" nennen. Wir könnten es aber auch ganz anders bezeichnen. Man kann sich natürlich fragen, welche Namen "sinnvoll" sind. Aber es ist wichtig zu verstehen, dass diese Bezeichnungen nur Bezeichnungen sind und für die Mathematik an sich _völlig irrelevant_ . Für die Mathematik relevant ist nur die formale Definition - darin steckt die gesamte Bedeutung.
Video zu beliebig nehm ich mir vor! Danke!
@@LukasKoletzko Ich sehe das bisher so, korrigiere mich, wenn ich falsch liege.
Es gibt zwei Fälle: P(A) = 0 und P(A) = 0*. P(A) = 0 bedeutet, dass A nie eintreten kann (= unmögliches Ereignis), P(A) = 0* bedeutet, dass A trotz der zugewiesenen Maßzahl 0 eintreten kann (= fast unmögliches Ereignis).
Bsp.: eine Urne mit allen natürlichen Zahlen, Gleichverteilung. Sei A = 1.5, dann ist P(A) = 0. Sei A = 56. Was jetzt? Wir können nicht, wie üblich, 1/|IN| rechnen, weil das nicht definiert ist, aber wir könnten das Grenzwertmodell benutzen und den Grenzwert als Wahrscheinlichkeit nehmen. Ok, machen wir. Dieser Grenzwert wäre 0, also P(A) = 0. Aber dieses Modell ist natürlich blind dafür, dass wir die 56 doch ziehen könnten und wir sehen das. Die Maßzahl 0 sagt _hier_ nicht mehr das, was sie üblicherweise aussagt. Deshalb müssen wir kenntlich machen, dass das P(A) = 0 im Grenzwertmodell nicht das Gleiche bedeutet wie das "übliche" P(A) = 0.
@@mathintuition Ich will mir bald deine Analysis 1 & 2 Kurse ansehen. Meine Schulzeit ist schon ziemlich lange her. Kannst du irgendwas empfehlen, wo/wie man einsteigen soll, um dann deine Kurse gewinnbringend zu nutzen? (Mich interessiert Mathe eigentlich nur iFv Logik, Mengenlehre und Stochastik, da kenne ich mich ganz gut aus, der Rest interessierte mich bisher nie - nur als Kontext)
@@ostihpem
Ich glaube ich verstehe Dein grundsätzliches Problem. Vielleicht helfen Dir folgende Gedanken dazu:
Zunächst: Die Aussage P(A) = 0 bedeutet weder, dass A nie eintreten kann noch, dass A eintreten kann. Das sind nur _Interpretationen_ , welche wir dieser mathematischen Aussage zuweisen können. Die Aussage P(A) = 0 besitzt aber an und für sich _keine Bedeutung_ ! Es ist eine rein strukturelle Aussage. Das gilt im Übrigen für die gesamte Mathematik und nicht nur für diesen Spezialfall: Mathematik ist bedeutungslos. Wir können Mathematik nur interpretieren - und das wie auch immer wir wollen, da gibt es keine Regeln.
Sobald man für eine mathematische Aussage eine bestimmte Interpretation gewählt hat, kann man sich natürlich fragen wie "sinnvoll" diese Interpretation ist. Ich möchte aber betonen, dass diese Fragestellung nichts mehr mit der Mathematik an sich zu tun hat, sondern allenfalls etwas mit dessen Anwendung auf die Realität.
Wenn wir die Aussage P(A) = 0 zum Beispiel _interpretieren_ als "A tritt niemals ein", dann würde ich Dir zustimmen, dass das ein bisschen widersprüchlich ist, denn es kann schon sein, dass eine Zufallsvariable Werte in der Menge A annimmt (und in diesem Sinne kann A schon "eintreten"), aber trotzdem gilt P(A) = 0 und wir würden das interpretieren als "A tritt niemals ein".
Aber dieser Widerspruch tritt nur in unserer Interpretation auf - unsere Interpretation ist in diesem Fall vlt. nicht so gut. Die Mathematik bleibt davon aber unberührt!
Wohldefiniert wäre da noch interessant.
Danke, mach ich als nächstes video :)
o.B.d.A…. Schon viel zu oft falsch benutzt oder nicht verstanden, warum der Prof. es gerade benutzt :D damit ist jetzt Schluss!