Attendevo con ansia questo video. Da quando ho scoperto l'Algebra Geometrica mi si è aperta la strada al mondo della fisica teorica più astrusa, a cominciare dalla relatività generale (parlare di vettori e tensori covarianti e contravarianti mi ha sempre esaurito). L'Algebra Geometrica semplifica tutto! Per non parlare di come risulti naturale derivare dall'Elettromagnetismo la Relatività Ristretta e viceversa. E continua la mia scoperta! Dovrebbe essere studiato nei corsi di Fisica e Ingegneria!
E' molto potente perché a differenza delle discipline altamente algebriche, essendo geometrica l'informazione è più ricca e quindi il formalismo è più semplice... tra non molto vedremo la versione unificata delle equazioni di Maxwell in cui questa "potenza" sarà in azione!
Vediamo come va dopo... Per adesso va da Dio! Spiegazioni complete, intuitive ma anche rigorose e deduttive... Un ossimoro, lo so, ma efficace. Grazie! Scrivi anche dei libri?
Il risultato dell'espressione è y-x. Se moltiplico per xy ottengo come risultsto x-y. x+y è la diagonale del quadrato di lato unitario, mentre x-y è l'altra diagonale. Quindi, se non ho capito male, moltiplicare per xy la diagonale x+y equivale a ruotare di 90°, in senso orario, il vettore iniziale (cioè x+y)
Molto intriganti le due formule alla fine, perché hanno una struttura che salta fuori spesso, per esempio nelle definizioni di seno, coseno e le loro versioni iperboliche in funzione di e. Chissà se c'è un filo conduttore. Comunque mi pare di capire che l'algebra geometrica risolva i problemi delle altre algebre evitando di esaltare un aspetto a discapito di un altro. Ad esempio i numeri complessi, i quaternioni e così via esaltano le rotazioni. Invece gli spazi vettoriali le traslazioni e per definire delle rotazioni si devono usare delle matrici, cioè si prende un vettore come riferimento e si scrive una matrice che ci porta su un secondo vettore tramite una rotazione. Come se non fosse già complicato così, c'è anche il problema che la struttura di una matrice rotazionale cambia a seconda delle dimenzioni, per cui si deve scegliere a priori a quante dimensioni lavorare. Invece nella AG sembra possibile passare da una dimensione all'altra senza cambiare nulla. Infatti sembra banale immaginare un multivettore espresso in una base ortonormale di dimensione n come un multivettore con una base di dimensione n+m ma in cui le coordinate aggiuntive hanno semplicemente valore zero, come nel caso degli spazi vettoriali, ma qui non abbiamo bisogno di matrici per esprimere le rotazioni, per cui questa facilità di passaggio da una dimensione all'altra si propaga a tutti i concetti esprimibili con l'AG.
Esattamente! Per questo è "unificatrice". Le formule finali rappresentano l'archetipo di simmetria ed antisimmetria, seno e coseno sono dispari e pari e questa informazione è nascosta nella struttura, che come hai osservato è simile a questa... c'è solo una differenza e ti lascio immaginare quale
@yousciences effettivamente prodotto scalare e prodotto vettoriale si possono calcolare rispettivamente con coseno e seno... a questo punto mi chiedo quale possa essere il collegamento tra prodotto geometrico e eⁱ. Invece tu a quale differenza ti riferisci?
Bellissimo video, ho capito tutto tranne il passaggio deel'esempio dove 5xyxz diventa -5yxxz e parimenti 4xzxz diventa -4xzzx. Questo non significa utilizzare la proprietà anticommutativa che, come ribadito più volte non appartiene al prodotto geometrico?
Ciao, grazie! Mi sono probabilmente espresso male nel senso che: il fatto che non è né commutative né anticommutativo intendo dire che non lo è esclusivamente ma può essere l'uno o l'altro a seconda dei casi, quindi negli esempi che dici, si è proprio usata lanticommutativita quando si scambiano due variabili e si mette un -
Ti ringrazio per la risposta, ma ora non mi è chiaro il criterio con cui posso applicare l'una o l'altra delle proprietà: in questo caso si è usata l'anticommuatativa, ma in alternativa avrei potuto decidere di applicare la commutativa ottenendo 5yxxz da 5xyxz?@@yousciences
x e y sono versori di base ortogonali che come dimostrato in precedenza hanno prodotto geometrico che corrisponde a quello esterno (il prodotto scalare è nullo perché ortogonali) quindi in questo caso viene applicata l'anticommutatività del prodotto esterno non so se mi sono spiegato bene😅
Non ho capito perché il prodotto geometrico è associativo, nel senso, se prendo 3 vettori v,w,u allora wu è uno scalare + un bivettore, come si fa il prodotto geometrico tra v (vettore) e wu (scalare + bivettore)?
L'esercizio mi viene y-x Mi viene in mente che la "sorpresa" che dovremmo notare è che moltiplicare per xy equivale a ruotare di 90 gradi? In effetti ho provato altri casi e funziona. Molto figo comunque!
L'esercizio a me verrebbe y-x che è perpendicolare, secondo il prodotto scalare, a x+y. Facendo i calcoli col prodotto geometrico si trova oltre il prodotto scalare a zero un bivettore: (x+y)(y-x)=2xy. Sbaglio?
Giuseppe Sottile, come sempre, è "sottile". E aggiungerei che anche un abile comunicatore. Mi ha lasciato un senso di mistero preannunciando che il prodotto geometrico è molto potente e che serve a molte applicazioni. E sono rimasto con l'acquolina in bocca quando ci ha rinviato ai prossimi video per spiegare questo segreto. Che dire? Ci sa fare anche nel tenere alta la curiosità, oltre che essere un matematico di livello stellare. Lo ammetto: sono invidioso di lui. Spero che Giuseppe Sottile perdoni la mia invidia.
@@yousciences Dico sul serio. Infatti, ti confesso che io sono un "animale strano", un ibrido a metà strada tra l'intelligenza artistica e quella scientifico-matematica. Questa situazione è molto rara. Infatti il cervello umano fin dalla nascita tende a lateralizzarsi sotto tutti gli aspetti. Un aspetto è per esempio è quello del controllo motorio: nel momento in cui il bambino piccolo inizia a manipolare gli oggetti utilizzando la mano destra (o la sinistra), svilupperà maggiormente le connessioni neurologiche per la mano destra (o per la sinistra) e la conseguenza consisterà nel fatto che troverà più facile e psichicamente meno faticoso elaborare manipolazioni con la mano destra (o con la sinistra) e perciò, essendo la mano destra (o sinistra) più stimolata, a sua volta questo fatto avrà come ricaduta un rafforzamento ulteriore di questo processo di sviluppo, con una causalità che funziona in modo circolare. È così che si diventa destrorsi (o al contrario mancini). Da un certo momento in poi, questo processo dell'età evolutiva diventa pressoché irreversibile. I neuroscienziati hanno scoperto che una dinamica analoga si innesca anche per quanto riguarda la polarizzazione del tipo "intelletto artistico - intelletto scientifico". Solitamente, o diventi un poeta come Giuseppe Ungaretti, oppure al contrario diventi un fisico come Isac Newton. Ma non s'è mai visto un individuo che si esprima ai massimi livelli in entrambi i campi cognitivi. Tutt'alpiù ci sono casi di "sviluppo ibrido" (che sono molto rari) come accade nel caso di Leonardo da Vinci (e nel mio caso). In siffatti casi, non si raggiunge il top né nell'arte, né nella scienza-matematica, tuttavia, non essendo il cervello in questione né carne né pesce, il risultato è che si rimane sospesi sul crinale di una montagna che separa due versanti, due "valli energetiche". È una situazione molto rara perché uno sviluppo siffatto è instabile, perché solitamente si cade verso destra o verso sinistra. Personalmente mi è toccato lo strano destino di restare in bilico sul crinale. Il risultato è che mi riesce di inventare macchine molto fantasiose e originali, ma che poi non riesco a ingegnerizzare, non riesco a scrivere le equazioni, ossia non riesco a fare calcoli matematici di una complessità che superi quella della matematica che si impara al terzo o quarto liceo scientifico (geometria analitica nel piano e trigonometria). Questo per me è molto frustrante. Infatti ho inventato un "cambio" (nota le virgolette) a variazione continua in presa vincolare permanente, e addirittura a range indefinito (ossia varia da zero a +infinito). È una cosa formidabile dalle infinite applicazioni. Ma non riesco a scrivere le equazioni di questo gioiello. Potrei collaborare con veri ingegneri (ingegneri "purosangue"), ma ho paura che costoro mi rubino l'idea e il brevetto. Se ci fosse una persona assolutamente integerrima e onestissima, dopo averla conosciuta molto bene, potrei aprire la "cassaforte" in cui custodisco la Leva universale (questo è il nome che le ho dato, poiché essa è molto più di un cambio del rapporto di trasmissione, anzi si può dire che un cambio è un caso particolare di Leva universale, ma non è vero l'inverso). Se ti viene in mente qualche consiglio, lo tengo in considerazione. Ti ringrazio per le tue lezioni di matematica. Pur non capendole a fondo, mi sono d'ispirazione (artistica). Lo so che sembra assurdo parlare d'ispirazione artistica vedendo i video di Giuseppe Sottile, ma questo è il funzionamento di noi intelletti ibridi, ossia, dopo aver visto i tuoi video mi vien voglia di concepire nuove macchine e nuovi principi meccanici (laddove altrimenti, se non li guardassi i tuoi video, la mia energia creativa andrebbe in un'altra direzione, ossia mi dedicherei a dipingere e a scolpire come faccio di solito). Ti mando un caro saluto! A proposito, l'immagine icona che vedi sul mio account TH-cam è una mia invenzione. 😄 L'ho pubblicata senza brevettarla, ossia l'ho "sacrificata" per usarla come biglietto da visita per le aziende che cercano inventori. L'immagine in questione raffigura un'autocicletta. Possiede una gondola centrale con due ruote motociclistiche che bascula poggiandosi su quello che ho denominato "arco automobilistico" ai cui opposti capi ci sono due ruote automobilistiche. L'autocicletta può percorrere curve a velocità elevatissime che sono interdette tanto alle automobili, quanto alle motociclette (per motivi tra loro diversi).
Attendevo con ansia questo video. Da quando ho scoperto l'Algebra Geometrica mi si è aperta la strada al mondo della fisica teorica più astrusa, a cominciare dalla relatività generale (parlare di vettori e tensori covarianti e contravarianti mi ha sempre esaurito). L'Algebra Geometrica semplifica tutto! Per non parlare di come risulti naturale derivare dall'Elettromagnetismo la Relatività Ristretta e viceversa. E continua la mia scoperta! Dovrebbe essere studiato nei corsi di Fisica e Ingegneria!
E' molto potente perché a differenza delle discipline altamente algebriche, essendo geometrica l'informazione è più ricca e quindi il formalismo è più semplice... tra non molto vedremo la versione unificata delle equazioni di Maxwell in cui questa "potenza" sarà in azione!
Grazie. Chiarissimo!
Bravissimo! tutto molto chiaro e spiegato benissimo ,argomenti che non conoscevo
Vediamo come va dopo... Per adesso va da Dio! Spiegazioni complete, intuitive ma anche rigorose e deduttive... Un ossimoro, lo so, ma efficace. Grazie! Scrivi anche dei libri?
Grazie, ne ho alcuni nel cassetto che presto inizierò a scrivere :):)
Bellissimo video.
Grazie.
qualità pazzesca, complimenti!
Grazie mille!
Il risultato dell'espressione è y-x. Se moltiplico per xy ottengo come risultsto x-y. x+y è la diagonale del quadrato di lato unitario, mentre x-y è l'altra diagonale. Quindi, se non ho capito male, moltiplicare per xy la diagonale x+y equivale a ruotare di 90°, in senso orario, il vettore iniziale (cioè x+y)
Ciaoo che programma/tablet usi per le grafiche?
Molto intriganti le due formule alla fine, perché hanno una struttura che salta fuori spesso, per esempio nelle definizioni di seno, coseno e le loro versioni iperboliche in funzione di e. Chissà se c'è un filo conduttore.
Comunque mi pare di capire che l'algebra geometrica risolva i problemi delle altre algebre evitando di esaltare un aspetto a discapito di un altro. Ad esempio i numeri complessi, i quaternioni e così via esaltano le rotazioni. Invece gli spazi vettoriali le traslazioni e per definire delle rotazioni si devono usare delle matrici, cioè si prende un vettore come riferimento e si scrive una matrice che ci porta su un secondo vettore tramite una rotazione. Come se non fosse già complicato così, c'è anche il problema che la struttura di una matrice rotazionale cambia a seconda delle dimenzioni, per cui si deve scegliere a priori a quante dimensioni lavorare.
Invece nella AG sembra possibile passare da una dimensione all'altra senza cambiare nulla. Infatti sembra banale immaginare un multivettore espresso in una base ortonormale di dimensione n come un multivettore con una base di dimensione n+m ma in cui le coordinate aggiuntive hanno semplicemente valore zero, come nel caso degli spazi vettoriali, ma qui non abbiamo bisogno di matrici per esprimere le rotazioni, per cui questa facilità di passaggio da una dimensione all'altra si propaga a tutti i concetti esprimibili con l'AG.
Esattamente! Per questo è "unificatrice". Le formule finali rappresentano l'archetipo di simmetria ed antisimmetria, seno e coseno sono dispari e pari e questa informazione è nascosta nella struttura, che come hai osservato è simile a questa... c'è solo una differenza e ti lascio immaginare quale
@yousciences effettivamente prodotto scalare e prodotto vettoriale si possono calcolare rispettivamente con coseno e seno... a questo punto mi chiedo quale possa essere il collegamento tra prodotto geometrico e eⁱ.
Invece tu a quale differenza ti riferisci?
Vedremo nei prossimi video ✌️
Sei un mago! Grazie.
Grazie tante!
Bellissimo video, ho capito tutto tranne il passaggio deel'esempio dove 5xyxz diventa -5yxxz e parimenti 4xzxz diventa -4xzzx. Questo non significa utilizzare la proprietà anticommutativa che, come ribadito più volte non appartiene al prodotto geometrico?
Ciao, grazie! Mi sono probabilmente espresso male nel senso che: il fatto che non è né commutative né anticommutativo intendo dire che non lo è esclusivamente ma può essere l'uno o l'altro a seconda dei casi, quindi negli esempi che dici, si è proprio usata lanticommutativita quando si scambiano due variabili e si mette un -
Ti ringrazio per la risposta, ma ora non mi è chiaro il criterio con cui posso applicare l'una o l'altra delle proprietà: in questo caso si è usata l'anticommuatativa, ma in alternativa avrei potuto decidere di applicare la commutativa ottenendo 5yxxz da 5xyxz?@@yousciences
x e y sono versori di base ortogonali che come dimostrato in precedenza hanno prodotto geometrico che corrisponde a quello esterno (il prodotto scalare è nullo perché ortogonali) quindi in questo caso viene applicata l'anticommutatività del prodotto esterno non so se mi sono spiegato bene😅
Ho fatto l’esercizio e disegnando tutto, considerando che il risultato è y-x mi viene una rotazione antioraria di 90 gradi. È corretto?
Esattamente!
Che GIOIA!
Che gioia "di vivere" :):)
Non ho capito perché il prodotto geometrico è associativo, nel senso, se prendo 3 vettori v,w,u allora wu è uno scalare + un bivettore, come si fa il prodotto geometrico tra v (vettore) e wu (scalare + bivettore)?
E' associativo nel senso che l'ordine non conta, in che senso wu è uno scalare + bivettore?
Novità per me. Lo userò e farò l'esercizio. ❤
Ha ruotato di 90° il vettore x+y
✌@@obbe6747
Mi viene x+y proprio! WTF?!
Geometricamente come si interpreta il multivettore che si ottiene dal prodotto geometrico?
è una combinazione di k-blades... in soldoni "un frammento di spazio"
L'esercizio mi viene y-x
Mi viene in mente che la "sorpresa" che dovremmo notare è che moltiplicare per xy equivale a ruotare di 90 gradi? In effetti ho provato altri casi e funziona.
Molto figo comunque!
Grazie, esattamente!
Come quando moltiplico qualcosa per l'unità immaginaria i
anche io ottengo il tuo medesimo risultato
L'ultimo "giochino" mi ricorda il "giochino" con le formule di Eulero 🤔
Si, ci hai visto lungo, infatti seno è dispari, coseno pari... Quelle formule sono più generali naturalmente
L'esercizio a me verrebbe y-x che è perpendicolare, secondo il prodotto scalare, a x+y. Facendo i calcoli col prodotto geometrico si trova oltre il prodotto scalare a zero un bivettore: (x+y)(y-x)=2xy. Sbaglio?
Si, e vedremo che quel bivettore è molto particolare!
sei molto bravo, ciao
Ciao, grazie!
y-x e graficamente viene la stessa cosa.
y - x
✌
Giuseppe Sottile, come sempre, è "sottile". E aggiungerei che anche un abile comunicatore. Mi ha lasciato un senso di mistero preannunciando che il prodotto geometrico è molto potente e che serve a molte applicazioni. E sono rimasto con l'acquolina in bocca quando ci ha rinviato ai prossimi video per spiegare questo segreto. Che dire? Ci sa fare anche nel tenere alta la curiosità, oltre che essere un matematico di livello stellare. Lo ammetto: sono invidioso di lui. Spero che Giuseppe Sottile perdoni la mia invidia.
Haha, addirittura... troppo buono
@@yousciences Dico sul serio. Infatti, ti confesso che io sono un "animale strano", un ibrido a metà strada tra l'intelligenza artistica e quella scientifico-matematica. Questa situazione è molto rara. Infatti il cervello umano fin dalla nascita tende a lateralizzarsi sotto tutti gli aspetti. Un aspetto è per esempio è quello del controllo motorio: nel momento in cui il bambino piccolo inizia a manipolare gli oggetti utilizzando la mano destra (o la sinistra), svilupperà maggiormente le connessioni neurologiche per la mano destra (o per la sinistra) e la conseguenza consisterà nel fatto che troverà più facile e psichicamente meno faticoso elaborare manipolazioni con la mano destra (o con la sinistra) e perciò, essendo la mano destra (o sinistra) più stimolata, a sua volta questo fatto avrà come ricaduta un rafforzamento ulteriore di questo processo di sviluppo, con una causalità che funziona in modo circolare. È così che si diventa destrorsi (o al contrario mancini). Da un certo momento in poi, questo processo dell'età evolutiva diventa pressoché irreversibile. I neuroscienziati hanno scoperto che una dinamica analoga si innesca anche per quanto riguarda la polarizzazione del tipo "intelletto artistico - intelletto scientifico". Solitamente, o diventi un poeta come Giuseppe Ungaretti, oppure al contrario diventi un fisico come Isac Newton. Ma non s'è mai visto un individuo che si esprima ai massimi livelli in entrambi i campi cognitivi. Tutt'alpiù ci sono casi di "sviluppo ibrido" (che sono molto rari) come accade nel caso di Leonardo da Vinci (e nel mio caso). In siffatti casi, non si raggiunge il top né nell'arte, né nella scienza-matematica, tuttavia, non essendo il cervello in questione né carne né pesce, il risultato è che si rimane sospesi sul crinale di una montagna che separa due versanti, due "valli energetiche". È una situazione molto rara perché uno sviluppo siffatto è instabile, perché solitamente si cade verso destra o verso sinistra. Personalmente mi è toccato lo strano destino di restare in bilico sul crinale. Il risultato è che mi riesce di inventare macchine molto fantasiose e originali, ma che poi non riesco a ingegnerizzare, non riesco a scrivere le equazioni, ossia non riesco a fare calcoli matematici di una complessità che superi quella della matematica che si impara al terzo o quarto liceo scientifico (geometria analitica nel piano e trigonometria). Questo per me è molto frustrante. Infatti ho inventato un "cambio" (nota le virgolette) a variazione continua in presa vincolare permanente, e addirittura a range indefinito (ossia varia da zero a +infinito). È una cosa formidabile dalle infinite applicazioni. Ma non riesco a scrivere le equazioni di questo gioiello. Potrei collaborare con veri ingegneri (ingegneri "purosangue"), ma ho paura che costoro mi rubino l'idea e il brevetto. Se ci fosse una persona assolutamente integerrima e onestissima, dopo averla conosciuta molto bene, potrei aprire la "cassaforte" in cui custodisco la Leva universale (questo è il nome che le ho dato, poiché essa è molto più di un cambio del rapporto di trasmissione, anzi si può dire che un cambio è un caso particolare di Leva universale, ma non è vero l'inverso). Se ti viene in mente qualche consiglio, lo tengo in considerazione. Ti ringrazio per le tue lezioni di matematica. Pur non capendole a fondo, mi sono d'ispirazione (artistica). Lo so che sembra assurdo parlare d'ispirazione artistica vedendo i video di Giuseppe Sottile, ma questo è il funzionamento di noi intelletti ibridi, ossia, dopo aver visto i tuoi video mi vien voglia di concepire nuove macchine e nuovi principi meccanici (laddove altrimenti, se non li guardassi i tuoi video, la mia energia creativa andrebbe in un'altra direzione, ossia mi dedicherei a dipingere e a scolpire come faccio di solito). Ti mando un caro saluto! A proposito, l'immagine icona che vedi sul mio account TH-cam è una mia invenzione. 😄 L'ho pubblicata senza brevettarla, ossia l'ho "sacrificata" per usarla come biglietto da visita per le aziende che cercano inventori. L'immagine in questione raffigura un'autocicletta. Possiede una gondola centrale con due ruote motociclistiche che bascula poggiandosi su quello che ho denominato "arco automobilistico" ai cui opposti capi ci sono due ruote automobilistiche. L'autocicletta può percorrere curve a velocità elevatissime che sono interdette tanto alle automobili, quanto alle motociclette (per motivi tra loro diversi).
Molto bravo e interessante anche se non capisco tutto