Rubik's Cube theory - Why every sequence of moves has finite order [DE]

If you perform a sequence of moves on a twisty puzzle (such as the Rubik's cube) over and over again, you will eventually return to the original state. Here I show why this is the case and give a few examples.

[@vrzudq]

Da der Würfel nur endlich viele Zustände annehmen kann, kann eine zugfolge nicht beliebig viele Zustände generieren. Das reicht doch schon für die Endlichkeit der Ordnung, oder?

[@cuberaccoon]

Nein. Das zeigt lediglich dass es natürliche Zahlen n < m gibt sodass A^n = A^m. Denn dann sind die Wiederholungen halt 1,A,...,A^(m-1). Was hier behauptet wird ist dass man n=0 erreichen kann. Dafür braucht man eben die Kürzungseigenschaft wie im Video besprochen.

[@vrzudq]

Ich verstehe was du meinst, aber aus A^n=A^m mit m>n folgt 1=A^0=A^(m-n).
Oder anders ausgedrückt, wenn du an zwei Stellen die gleiche würfelkonfiguration hast, bist du zu beiden jeweils mit den gleichen zufolge gekommen, also sind deren Vorgänger gleich, die davor und so fort.
Wir haben eine endliche Gruppe, also haben alle Elemente endliche Ordnung.

[@vrzudq]

Du hast mit der kürzungseigenschaft ja recht und danke für das schöne Video, versteh mich bitte nicht falsch.

[@cuberaccoon]

@@vrzudq Ja schon klar.
Ich habe das Video so gemacht dass man keine Gruppen kennen muss. :)

[@vrzudq]

Okay, mal ganz ohne mathematische begriffe:
Mach ich eine zugfolge, so kann ich sie durch die rückwärts-umgekehrte auch wieder rückgängig machen. Somit sind zwei Würfel die nach Anwendung der gleichen zugfolge im gleichen Zustand landen, auch vorher schon gleich.
Wende ich nun bei einem Würfel eine zugfolge beliebig oft an, muss es aufgrund der Endlichkeit der Zustände eine dopplung geben. Unter allen dopllungen eine früheste. Besteht diese früheste nicht aus dem anfangszustand mit dopplung, so würde wäre der Vorgänger auch schon eine dopplung. Widerspruch. Also wiederholt sich der anfangszustand nach einer endlichen Anwendung der zugfolge.