約数の個数とその総和 2024明大中野
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- เผยแพร่เมื่อ 1 ม.ค. 2025
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約数が3つという時点で、1と素数とその自乗だなとわかりました。その後の解き方がスマートでさすがと思いました。
29²を(30-1)²の展開で計算しないの意外でした。てっきり900-60+1するんだろうなぁと
3:13 因みにこのまま整理して解の公式使うと√3481=59とかいう超デカい数字を使う羽目になる
同じこと考えました！同志がいてくれて嬉しいです😂
ここでは『互いに素』という関係も出てきますね。
東京大学の整数の問題で出てきたカテゴリでもあります。
同じ方程式を立てて解きました。
a=29で求める数はa^2だから
a^2+a=870⇒a^2=841でもいいですね。
a(a+1)=29×30と分かったところで左辺=0にして因数分解で解けばより数学的かと思います。
川端先生と同じ解き方でした。うれしいです。
a(a＋1)＝870を2次方程式として解くとしても、展開して移項するとa^2＋a－870＝0になるので、足して1、掛けて－870になる2つの数を探して因数分解で解けば良さそうです（870を2×3×5×29に素因数分解すると、比較的大きな素因数29を持つので、29とそれ以外に分ければ差が小さくなるんじゃね？と考えれば、(－29)×30が見つかりそう）。
最後、29の2乗を計算するときに、約数の総和の式1＋a＋a^2＝871よりa^2＝871－1－aで計算する方法も思いつきましたが、それば検算用に取っといて、筆算で2乗を計算しました。
871をどう処理するのかと思いましたが…やはり問題って「そう」なるようできてるんですね
約数が3つだけある数を探すのは1つの形ですね。a(a+1)=870に式変形して、a=29を見つけ出すところで時間的な差がつくと思います。
一度その数が約数とはわかったけどその数が素数の事情というのは分からなかった
最悪その数が平方数だと気付けばパワーで解けました
1と素数の2乗と求める値の数の3つということはわかったんですが後はひたすら該当する数を見つけて計算しました。
これ記述式なら難しい問題です。
記述式の答案としても。
aが正なればa^2+a+1は単調増加
ということを書いていれば
なんとかなりそう
a²+a+1=871でaは素数であるので、30未満の30に近い素数29(29の次に近い素数23だと小さすぎる)であると確信して、求められる自然数29²を計算して検算して終了ですね。
約数３つを持つが素数の二乗とまず気づかないと進まない。社会人になると、ことなの定義も忘れているし国語力がなくて気づかないので、問題の意味すら理解できなかった。
同じ解き方で解きましたが、約数29がわかれば総和が871とわかってるので実際の試験なら871-29-1=841と計算した方が簡便だったかなと思いました。余力があれば検算した方がいいでしょうが。
約数の個数を求めるのは高校数学の範囲だが、たった3つだと手を動かすうちにわかるだろうね。素数の平方数だと。
あとは解くだけ。
試行錯誤が問われる。
難しくはないが、この問題を何分で解くよう想定されてるのかが気になる
ナイトキャンプってどんな問題があるんでしょうか？
1996から2023年の入試問題から厳選してひとりひとりにプリントを作成します。東大寺学園の因数分解20題！みたいな。
次回の問題
高校１年生はできなきゃマズいけど、これを中学生が解けるのか？記述式ならaの範囲によって5つに場合分けする必要がある。
@user-qr5ys2uc4bさん
５つの場合分けは、どのようにするんですか？
次回の問題は記述式です。
川端先生の動画で類題があったなと思って探したら、結構最近でした☟
th-cam.com/video/GLoyFRCzDiU/w-d-xo.html
あと、専大松戸の問題で「約数の個数が３個」を基本から解説している動画もありましたね☟
th-cam.com/video/T1TyPNNST4w/w-d-xo.html
この動画の問題と一緒に解きたいですね。
正の約数を3個だけもつ自然数は素数の平方である。
これはほぼ自明だから、これを証明するのは非常に難しい。
試験では、ここの証明はスルーして
約数をa^2,a,1と置いて
方程式で解くのと試行錯誤と、どちらが速いか？
aは正なので単調増加だから試行錯誤で解いてもそれが唯一解ではある
証明を行うなら約数の数から簡単に証明できるのでは？(本問では証明を行う必要はないと思いますが)
証明例:
ある数aがp^m*q^n*…(p, q…は素数)と表される時、aの約数の個数は(m+1)*(n+1)*…と表される。
本問では、約数の個数が3(素数)であるから、求める数は複数の素因数を持たない。
よって求める数は、p^m(pは素数)と表される。約数の個数はm+1=3であるから、m=2である。
つまり、本問で求める数は、素数pの平方数として表される。
解く時、↑みたいな考察をして、素数の平方数しかありえないな、と考えたので、動画のように一つ一つ確かめていくというのは新鮮でした。
@@赤野速雄
たしかにあえて証明を書く必要はなさそうですね。
30の2乗が900だから29じゃね？って思ったら当たった。
９までは２乗になってる数字だなとわかったが16で？ってなった。
素数の2乗だったんか。
一応この知識は高一で習うことになってる
目から鱗です。（35歳男性）
問題の意味すら分かりませんでした。これ、高校入試の問題ですか。信じられないです。大学入試の問題でもおかしくないのではないかと思いました。
約数の個数を求める、とか、約数の総和の求めかたは高校の数学で学ぶことになっているみたいなのですが、川端先生の動画を見ていると、どうも高校入試で出題されることが多々あるようです。
公立の中学はともかく、私立の中学や塾、予備校では教えるのでしょうねぇ。
わたしゃ、中学どころか高校でも習った覚えがないのだけど、素因数分解とか確率の問題とかのどっかで習ったのだろうなぁー。😅
素数の2乗まではスッとでる
「正の約数が3つ」という状況を解釈し式にできるか、がポイントでしたね。
高校入試でこの問題は結構難しいのでは？
次、
y=0になるのはx=0の時だけ。a-6 ~ aで0を含む。
あとはy = (x^2)/3のグラフの形を考えてx=aかx=a-6のいずれかで最大値9になるaを求める。
暗算でできたー(*ºчº*)
次の問題のヒント
・二次関数の式から、y=9の時のxの値を求める
・グラフを書き、0≦y≦9の時の、xの変域を求める
・求めた変域と、aを用いて表された変域を比較して、aの値の範囲を定める