Selectividad Murcia - Junio 2018 - Matemáticas II - Bloque de Geometría - Plano perpendicular recta

Resolución de la cuestión B4.
Considere el punto P = (0, 1, 2) y la recta r dada por la ecuación:
r : 2x + y − z = −1, x − y + z = 3;
a) Calcule la ecuación (en cualquiera de sus formas) del plano π que es perpendicular a la recta r y pasa por el punto P.
b) Calcule la distancia del punto P al plano x + y + z = 5.
Solución:
La recta viene dada como intersección de planos, vamos a buscar un vector dirección:
AB ∧ AC = 0i −3j −3k;
un vector director de r es pues: v = (0, 1, 1), puesto que solamente nos interesa la dirección y no el tamaño del vector, además sirve como vector ortogonal del plano perpendicular.
Por tanto, π : y + z + D = 0
hacemos que pase por P = (0, 1, 2): 1 + 2 + D = 0, entonces D = -3.
EL plano π que es perpendicular a la recta r y pasa por el punto P resulta ser: π : y + z − 3 = 0
b) La distancia de un punto al plano es inmediato aplicando la fórmula:
d(P, π′) = (|Ax0 + By0 + Cz0 + D|) / (√A^2 + B^2 + C^2) =
(|0 + 1 + 2 − 5|) / (√1^2 + 1^2 + 1^2) = |−2| / √3 = 2/√3 = (2·√3)/3 u.
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