On attaque aujourd'hui un exo posé à l'X mais totalement faisable en sup, à condition de savoir ce que c'est qu'un anneau. L'exercice est assez astucieux.
Bonne idée l'approche heuristique! C'est toujours agaçant dans les solutions d'exo de voir une solution sortie du chapeau sans indication sur la façon dont elle a été trouvée.
Il me semble que lorsqu'on a c(1-ab) = 1 il est naturel pour faire apparaître ba de multiplier à gauche par b et à droite par a. Du coup ça fait bc(a-aba)=ba soit en factorisant a à gauche bca(1-ba)=ba ensuite on écrit bca(1-ba)=ba-1+1 et en passant ba-1 à gauche on a (bca+1)(1-ba)=1 CQFD
Super vidéo merci ! Question : sur un problème de CAPES qui demande de retrouver les propriétés d'un logarithme "quelconque", peut-on selon vous considérer comme admises les propriétés du logarithme néperien ln ?? à savoir ln(x^b) = b*ln(x) et cie
Très bonne vidéo, très claire ! Petite question : si a et b commutent, a-t-on nécessairement c=1+bca ? À priori on n’utilise nul part le fait que a et b ne commutent pas dans la preuve présentée.. Après je ne suis pas hyper à l’aise sur les anneaux donc je ne sais pas si les éléments inverses sont uniques. J’attend la prochaine avec impatience
Ahhh il est là ! Je me suis fait engueuler par Esther j'ai dû chercher ton commentaire partout 😂 Oui oui tu as bien l'unicité de l'inverse dans un anneau quelconque (si y et z sont deux inverses de x, tu écris y = y(xz) = (yx)z = z), donc dans le cas commutatif tu as bien c = 1+ bca Mais en fait, dans le cas où a et b commutent, c'est pas difficile de voir que c commute aussi avec b et a, et donc ton équation c = 1+bca se re-arrange en c(1-ab) = 1 qui est la définition de c
Bonjour, je sais bien que c’est dans la partie non rigoureuse de l’exercice mais je ne comprend pas l’egalité a 2:21 pourquoi 1(1-ba) serait égal a une somme
L'existence de l'inverse, l'écriture de l'inverse, pourquoi la somme à droite est licite, le fait de factoriser des termes dans une somme infinie, le fait qu'on a pas de quoi définir une limite dans notre anneau là en sont des exemples j'imagine
C'est l'existence de l'opposé pour la loi + qui permet de définir le -. En fait, comme (A,+) est un groupe, on définit -a comme l'inverse (unique !) de a pour la loi +.
Justement il a dit que c'était pas rigoureux, c'est pour "avoir une idée de à quoi ressemble l'inverse " et le calcul qui fait avec les sommes c'est quelque chose qui ce fait au brouillon donc pas besoin de justifier
Justement, non ! Dans un anneau, la valeur absolue ne veut rien dire. Le calcul avec des séries entières n'est là que pour motiver l'introduction de 1+bca qui vient après. Le calcul avec des séries géométrique ne démontre rien du tout, il aide juste à deviner que la solution EST 1+bca.
Tout le début du raisonnement n’est pas vraiment rigoureux, on se sert plutôt de ce que l’on sait sur les réels pour intuiter le résultat. On ne suppose pas qu’il y ait une norme définie sur l’anneau donc |ab| n’a pas de sens a priori. Cela étant dit, dans R, pour que le debut ait un sens, il faut effectivement |ba| < 1.
a et b ne sont pas de nombres, du coup le calcul de la série est formel (comme tout opération en algèbre). De plus il est même pas rigoureux, il d'agit d'une heuristique pour "deviner "le résultat.
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Bonne idée l'approche heuristique!
C'est toujours agaçant dans les solutions d'exo de voir une solution sortie du chapeau sans indication sur la façon dont elle a été trouvée.
Comme la vidéo précédente : clair, net , précis. Toujours un plaisir ce format
Il me semble que lorsqu'on a c(1-ab) = 1 il est naturel pour faire apparaître ba de multiplier à gauche par b et à droite par a. Du coup ça fait bc(a-aba)=ba soit en factorisant a à gauche
bca(1-ba)=ba ensuite on écrit bca(1-ba)=ba-1+1 et en passant ba-1 à gauche on a (bca+1)(1-ba)=1 CQFD
Excellente vidéo! Très bel exercice! A la minute 4:43 il me semble qu'il manque un + avant la parenthèse
Je crois que c'est une des plus belles astuces que j'ai vues !
Styler la démarche, j'aime beaucoup !
J'aime bien cette manipulation .puisque les anneaux sont un peut abstrait .bravo
Oh je l'ai eu en colle l'année dernière !
Pour "intuiter" le résultat on peut aussi traîter le cas ba nilpotent (ou ab nilpotent comme c'est équivalent)
Effectivement, dans ce cas la somme infinie devient finie et la partie "motivation" devient rigoureuse !
Même astuce, exercice différent :
Concours Général 1992 :
Chiffre des unités de la partie entière de 10^1992/(10^83 + 7) ?
Super vidéo merci ! Question : sur un problème de CAPES qui demande de retrouver les propriétés d'un logarithme "quelconque", peut-on selon vous considérer comme admises les propriétés du logarithme néperien ln ?? à savoir ln(x^b) = b*ln(x) et cie
Comment vous définissez la convergence dans un anneau qlq
X24 !
Alors
Très bonne vidéo, très claire ! Petite question : si a et b commutent, a-t-on nécessairement c=1+bca ? À priori on n’utilise nul part le fait que a et b ne commutent pas dans la preuve présentée.. Après je ne suis pas hyper à l’aise sur les anneaux donc je ne sais pas si les éléments inverses sont uniques. J’attend la prochaine avec impatience
Ahhh il est là ! Je me suis fait engueuler par Esther j'ai dû chercher ton commentaire partout 😂
Oui oui tu as bien l'unicité de l'inverse dans un anneau quelconque (si y et z sont deux inverses de x, tu écris y = y(xz) = (yx)z = z), donc dans le cas commutatif tu as bien c = 1+ bca
Mais en fait, dans le cas où a et b commutent, c'est pas difficile de voir que c commute aussi avec b et a, et donc ton équation c = 1+bca se re-arrange en c(1-ab) = 1 qui est la définition de c
Bonjour je n’ai pas compris pourquoi et comment on écrit 1/1-ba comme une somme infinie merci
Bonjour, je sais bien que c’est dans la partie non rigoureuse de l’exercice mais je ne comprend pas l’egalité a 2:21 pourquoi 1(1-ba) serait égal a une somme
Regarde les formules sur les séries géométrique, tu vas comprendre le lien (car le terme de droite est une série géométrique)
Merci ! Auriez-vous un bon site de référence en Mathématiques pour la préparation au concours du CAPES, avec les formulaires utiles à connaitre SVP ??
Le site Bibmath est pas mal :)
@@vegetossgss1114 yes merci :)
Je ne comprends pas ce qu'il y a de non rigoureux dans l'approche heuristique.
L'existence de l'inverse, l'écriture de l'inverse, pourquoi la somme à droite est licite, le fait de factoriser des termes dans une somme infinie, le fait qu'on a pas de quoi définir une limite dans notre anneau là en sont des exemples j'imagine
Bonsoir, je n ai jamais compris comment on peut définir le - dans un anneaux composé des deux seuls lci + et × ?
C'est l'existence de l'opposé pour la loi + qui permet de définir le -. En fait, comme (A,+) est un groupe, on définit -a comme l'inverse (unique !) de a pour la loi +.
Ne faudrait-il pas justifier que |ba|
Justement il a dit que c'était pas rigoureux, c'est pour "avoir une idée de à quoi ressemble l'inverse " et le calcul qui fait avec les sommes c'est quelque chose qui ce fait au brouillon donc pas besoin de justifier
Justement, non ! Dans un anneau, la valeur absolue ne veut rien dire. Le calcul avec des séries entières n'est là que pour motiver l'introduction de 1+bca qui vient après. Le calcul avec des séries géométrique ne démontre rien du tout, il aide juste à deviner que la solution EST 1+bca.
Tout le début du raisonnement n’est pas vraiment rigoureux, on se sert plutôt de ce que l’on sait sur les réels pour intuiter le résultat.
On ne suppose pas qu’il y ait une norme définie sur l’anneau donc |ab| n’a pas de sens a priori. Cela étant dit, dans R, pour que le debut ait un sens, il faut effectivement |ba| < 1.
a et b ne sont pas de nombres, du coup le calcul de la série est formel (comme tout opération en algèbre). De plus il est même pas rigoureux, il d'agit d'une heuristique pour "deviner "le résultat.
@@MathsEtoile En fait vous avez eu de la chance que ça fonctionne du coup ?
Je déteste cet exercice...