In dem Phasenraum bei Minute 4:00 sind glaube ich gar nicht alle Trajektorien so möglich, wie sie da eingezeichnet sind. Wenn ich bei t0 starte und q kleiner wird, muss doch entsprechend die Geschwindigkeit negativ sein. Wenn q dann wieder größer wird muss die Geschwindigkeit positiv sein. Das erfüllen 2 der 4 gezeigten Kurven aber nicht. Sollte mein Gedankengang falsch sein, würde ich mich über eine entsprechende Erklärung sehr freuen
Da hast du sehr gut aufgepasst, beim erstellen der Graphik hatte ich auch eher im Sinn zu illustrieren, dass es verschiedene Trajektorien gibt und man die richtige finden möchte. Für ein Teilchen in 1D (2D Phasenraum) ohne Zwangsbedingung und in kartesischen Koordinaten würde ich dir erstmal zustimmen. Pauschal möchte ich dir aber nicht Recht geben, da mit Zwangsbedingungen (bspw. das Teilchen bewegt sich entlang einer vorgegebenen Route (Kugel an einem Faden)) durchaus verrückte Trajektorien im Phasenraum möglich sind. Bedenke auch, dass hier verallgemeinerte Koordinaten verwendet werden. Je nach Definition erlaubt das möglicherweise ebenfalls unübliche Trajektorien (Bsp.: Winkel phi bei dem 2 pi = 0 = 4 pi). Zusammengefasst: Ohne zusätzliche Verwirrung verursachen zu wollen: Es stimmt was du sagst. Ich möchte aber nicht vollkommen ausschließen, dass solche Trajektorien möglich sind, auch wenn mir jetzt kein konkretes Beispiel einfällt, dass diese explizit gezeigten Trajektorien erlaubt.
Eine sehr gute Frage: Das Hamilton'sche Prinzip der kleinsten Wirkung hat diesen Namen und ist in den meisten Fällen auch das Minimum, jedoch allgemein betrachtet, gilt, dass die Wirkung Extremal sein muss, was wir durch Ableiten und Nullsetzen hergeleitet haben. Es kann also auch das Maximum sein, oder noch allgemeiner: Es muss ein stationärer Zustand sein.
Zum ersten Mal das Wirkungsfunktional verstanden, danke dir.
In dem Phasenraum bei Minute 4:00 sind glaube ich gar nicht alle Trajektorien so möglich, wie sie da eingezeichnet sind. Wenn ich bei t0 starte und q kleiner wird, muss doch entsprechend die Geschwindigkeit negativ sein. Wenn q dann wieder größer wird muss die Geschwindigkeit positiv sein. Das erfüllen 2 der 4 gezeigten Kurven aber nicht. Sollte mein Gedankengang falsch sein, würde ich mich über eine entsprechende Erklärung sehr freuen
Da hast du sehr gut aufgepasst, beim erstellen der Graphik hatte ich auch eher im Sinn zu illustrieren, dass es verschiedene Trajektorien gibt und man die richtige finden möchte. Für ein Teilchen in 1D (2D Phasenraum) ohne Zwangsbedingung und in kartesischen Koordinaten würde ich dir erstmal zustimmen. Pauschal möchte ich dir aber nicht Recht geben, da mit Zwangsbedingungen (bspw. das Teilchen bewegt sich entlang einer vorgegebenen Route (Kugel an einem Faden)) durchaus verrückte Trajektorien im Phasenraum möglich sind. Bedenke auch, dass hier verallgemeinerte Koordinaten verwendet werden. Je nach Definition erlaubt das möglicherweise ebenfalls unübliche Trajektorien (Bsp.: Winkel phi bei dem 2 pi = 0 = 4 pi).
Zusammengefasst: Ohne zusätzliche Verwirrung verursachen zu wollen: Es stimmt was du sagst.
Ich möchte aber nicht vollkommen ausschließen, dass solche Trajektorien möglich sind, auch wenn mir jetzt kein konkretes Beispiel einfällt, dass diese explizit gezeigten Trajektorien erlaubt.
Warum folgt dass S ein Minimum der Trajektorie ist?
Eine sehr gute Frage: Das Hamilton'sche Prinzip der kleinsten Wirkung hat diesen Namen und ist in den meisten Fällen auch das Minimum, jedoch allgemein betrachtet, gilt, dass die Wirkung Extremal sein muss, was wir durch Ableiten und Nullsetzen hergeleitet haben. Es kann also auch das Maximum sein, oder noch allgemeiner: Es muss ein stationärer Zustand sein.