【数分解説】離散フーリエ変換: 離散的周期的な時間領域と周波数領域の間を双方に変換. 周波数とその強さを求める. コンピュータでの計算を可能にする手法【高速フーリエ変換3/4】

離散フーリエ変換は、離散的周期的な時間領域と周波数領域を双方に変換できるようにする計算です. 実際にコンピュータ上の計算で音楽などにおける周波数の波の表現を得ることができます.
フーリエ級数展開をオイラーの公式で整理することで複素フーリエ級数展開へと書き換え、されにその周期Tを無限にすることで、フーリエ変換を導出することができます. しかし、このフーリエ変換は時間領域も周波数領域もともに連続値であることが前提でした. 飛び飛びの値を使ってしまうことを前提としておらず、通常のコンピュータでは扱えません.
離散値になったことで、データをサンプリングした際に思ったような周波数が得られないことがあります. これはサンプリング定理または標本化定理と呼び、サンプリングする頻度、サンプリング周波数の半分の頻度までしか検出できないことに起因します. そのため、周波数は基本周波数からナイキスト周波数までの間の値のみを取ることとなります.
その概念の理解を含めた解説を行います.
高速フーリエ変換をわかりやすく解説するためのpart 3の動画になります.
複素フーリエ級数展開やフーリエ変換を抑えた上でご視聴ください.
今回は高速フーリエ変換を11分で紹介します.
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参考:
【数分解説】フーリエ変換: 時間領域と周波数領域の間を双方に変換. 周波数とその強さを求める. 複素フーリエ級数展開の導出から【高速フーリエ変換2/4】
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抜粋:
今日は離散フーリエ変換についてです.それでは早速始めましょう.
フーリエ変換は連続値の時間と周波数を前提とした方法です.
しかしこれでは、必ず値が飛び飛びになるコンピュータで扱うことができません.
そこで離散フーリエ変換によって両方を離散値で扱います.
N個のデータ点を与えられるとNこの周波数がもとまります.
フーリエ級数展開ではサインとcosで関数を表現していました.
時間は連続で周期的な関数でしたが、周波数は離散値でした.
これをオイラーの公式ですっきりとした形に直したのが、複素フーリエ級数展開でした.
しかしまで区間に制限があるので、区間を無限にすることでフーリエ変換、並びに逆フーリエ変換を得ます.
この時、時間も周波数も連続した関数として表現されます.
しかし、前述の通りこれでは連続値となっていることを前提とするため、コンピュータでは扱えません.
どうやっても一点一点のデータは時間的にも連続しません. 周波数も同じです.
そのため離散フーリエ変換が必要になります.
この方法では、時間も周波数も周期的で離散的になります.
この離散フーリエ変換を高速に計算できる工夫をしたアルゴリズムが高速フーリエ変換です.
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波が持っている周波数の2倍の周波数でサンプルが取れれば、元の波が復元できることがわかっています. サンプリングをする頻度をサンプリング周波数と呼びます. ここではΔtがその周期になるので、1/Δtが周波数です.
復元できることを標本化定理といい、もしそれ以上に高い周波数が入力されると低い周波数としてつまり意図しないノイズとして誤検知されてしまいます. この現象をエイリアシングと言います.
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厳密な導出ではデータ点の飛び飛びを表現するデルタ関数を使って証明しますが、ここでは簡易的な導出にとどめます.
フーリエ変換からではなく、複素フーリエ級数展開から離散フーリエ変換へいきます.
複素フーリエ級数展開では入力が連続のため、このような関数を与えますが、今回は離散的な点を考え、点ごとに幅を持った短冊で近似するものとします.
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ナイキスト周波数、エイリアシング、ノイズ、折り返し周波数、回転因子などを含めたわかりやすい解説を行います.