Перше дробово-раціональне рівняння зроблено неоптимальним і довгими способом. Ще й при піднесенні до квадрату рівнянь-коренів допущена неточність, рівняння sqrt(...)="щось" справедливе лише коли "щось">=0 і тоді його піднесення до квадрату буде рівносильними перетворенням/ У нас: sqrt(a^2-16)=10-a справедливе при 10-a>=0 -sqrt(a^2-16)=10-a справедливе при 10-a
Про друге показникове рівняння: там після заміни в квадратному рівнянні на t^2-15t-4a^2+30a=0 є теорема Вієта! Не так вже очевидно, але якщо її побачити, набагато можна прискорити розвязок. добуток коренів має бути 30a-4a^2 а сума -(-15)=15. Як 30a-4a^2 подати у вигляді добутку? Та винести 2a за дужки: 30a-4a^2=2a(15-2a). В сумі ці множники 2a+15-2a=15. Отже 2a і 15-2a є коренями рівняння. Далі до логарифмів можна було й не переходити, а врахувати, що для показникової функції 2^x щоб x>0 був, треба щоб 2^x>1 було. Правда тут є сумніви в коректності умови "усі корені є додатніми", бо може бути, що для двох коренів t=2^x буде t11 (дасть x>0), або навпаки t1>1 і t1
Скажу ще цікаве спостереження про те, що деякі учні питають, чи можна вгадати відповідь в завданнях з параметром? Я скажу: не завжди, далеко не в усіх типах завдань - але можна! Наприклад, якщо питають "Кількість усіх цілих значень парметра з проміжку [-5, 10]..." А скільки взагалі цілих чисел на проміжку [-5, 10]? Всього 16! Кількість - це натуральне число (є ймовірність, що 0, але навряд чи на НМТ датуть завдання на параметр з відповіддю 0), а на проміжку [-5, 10] - це натуральне число не більше 16 (але швидше за все меше 16)! Натуральне число менше 16. Не така вже висока ймовірність вгадати - але вона є, ймовірність відмінна від нуля! Можете порахувати, оцінити, чому дорівнює. В іншому завданні кількість з проміжку (-4, 10) (кінці проміжку не включно!) Тут в проміжку всього 13 цілих чисел, то відповіддю буде натуральне число точно не більше, а швидше за все менше 13! Ймовірність вгадати не дуже висока, але є! Правда, є ще один момент, не факт, що такі завдання "знайти кількість цілих значень параметра з проміжку" взагалі будуть на НМТ-2025, укладачі завдань теж не сплять, аналізують все, і можливо помітять цей приколо і приберуть такий тип завдань з НМТ.
Перше дробово-раціональне рівняння зроблено неоптимальним і довгими способом. Ще й при піднесенні до квадрату рівнянь-коренів допущена неточність, рівняння sqrt(...)="щось" справедливе лише коли "щось">=0 і тоді його піднесення до квадрату буде рівносильними перетворенням/ У нас:
sqrt(a^2-16)=10-a справедливе при 10-a>=0
-sqrt(a^2-16)=10-a справедливе при 10-a
Про друге показникове рівняння: там після заміни в квадратному рівнянні на
t^2-15t-4a^2+30a=0
є теорема Вієта! Не так вже очевидно, але якщо її побачити, набагато можна прискорити розвязок. добуток коренів має бути 30a-4a^2 а сума -(-15)=15. Як 30a-4a^2 подати у вигляді добутку? Та винести 2a за дужки: 30a-4a^2=2a(15-2a). В сумі ці множники 2a+15-2a=15. Отже 2a і 15-2a є коренями рівняння.
Далі до логарифмів можна було й не переходити, а врахувати, що для показникової функції 2^x щоб x>0 був, треба щоб 2^x>1 було.
Правда тут є сумніви в коректності умови "усі корені є додатніми", бо може бути, що для двох коренів t=2^x буде t11 (дасть x>0), або навпаки t1>1 і t1
Скажу ще цікаве спостереження про те, що деякі учні питають, чи можна вгадати відповідь в завданнях з параметром? Я скажу: не завжди, далеко не в усіх типах завдань - але можна! Наприклад, якщо питають "Кількість усіх цілих значень парметра з проміжку [-5, 10]..." А скільки взагалі цілих чисел на проміжку [-5, 10]? Всього 16! Кількість - це натуральне число (є ймовірність, що 0, але навряд чи на НМТ датуть завдання на параметр з відповіддю 0), а на проміжку [-5, 10] - це натуральне число не більше 16 (але швидше за все меше 16)! Натуральне число менше 16. Не така вже висока ймовірність вгадати - але вона є, ймовірність відмінна від нуля! Можете порахувати, оцінити, чому дорівнює. В іншому завданні кількість з проміжку (-4, 10) (кінці проміжку не включно!) Тут в проміжку всього 13 цілих чисел, то відповіддю буде натуральне число точно не більше, а швидше за все менше 13! Ймовірність вгадати не дуже висока, але є!
Правда, є ще один момент, не факт, що такі завдання "знайти кількість цілих значень параметра з проміжку" взагалі будуть на НМТ-2025, укладачі завдань теж не сплять, аналізують все, і можливо помітять цей приколо і приберуть такий тип завдань з НМТ.