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- เผยแพร่เมื่อ 12 ม.ค. 2025
- 微積分極限題 the limit of the integral of x from -a to a as a goes to infinity.
Is this limit well-defined? If so, it is really 0?
英文版: • Is this a well-defined...
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祝你幸福
#黑筆紅筆 不是為了考試的數學頻道
試試這題 th-cam.com/video/byIz7Jfzez8/w-d-xo.htmlsi=z6YlfgAeQwAVcW7b
原來如此。簡單說 右邊積分的上邊界(正無窮)未必等於下邊界(負無窮)。
沒錯，因為代數a 確定同一物，但無限不是代數😂😂
謝謝老師的分享，覺得很有趣
學到無窮的觀念
1.定積分和不定積分的問題
2.無窮大在函數上有等級差別，但不能比大小。
3. 極限是用無窮小量來定義，和要給出這個無窮小量和函數自變數的關係...
因為左邊的上下界都是a 因此當 a跑到無限大的時候，積分和可以相抵銷。 但右邊乍看之下也是上下界跑到無限大，但問題是到底是誰先跑到無限大去會使得該積分是否收斂 or 發散，因為題目沒有給定a跟b之間的關係，只說 a b 都跑到無限大，因此像老師說的一邊發散另外一邊就不用做了就是發散。
因為無窮大不是一個數字，我個人的解讀他比較像是一個概念，像一個一直往前跑的概念，所以當有一個題目為2a/a 當a跑到無限大時，該題的極限為2，但意涵可以想成有兩台車子筆直的向前跑，兩台車子的速度差距剛好為2，然後兩台車子就一直往前行駛，沒有終點。
曹老师讲的真好，大陆把P.V.翻译成柯西主值😘
謝謝！
2:35 是 ∫ (0~a) 吧
或改成lim (a->∞)
Loving that x‘mas tree on the wall🥰
請問 2:30 處 不是a趨近於負無窮，積分a到0嗎？🧐雖然結果似乎沒差
不一樣吧，兩個趨於無限不一定相等，所以可以為任意值，所以極限不存在
對
簡單來說正無窮有太多個東西了 誰知道你的正無窮是10^98 10^64 10^100 哪一個
應該只是不小心寫錯而已
沒錯 小筆誤
看到Note這段我突然想到自己的原文書上很常能看到 "Note that ......"
然後這段通常都是重點
note 在這裡作動詞，指「特別去注意」。
所以Note that 後面就是需要特別去注意的地方了
9:00 那個note 其實我覺得舉得沒有很好，因為2x^2-x^2 在x趨近正無窮的極限也是無窮，但2x^2跟x^2差不多。一般較通用的方式是用相除的，例如 little o Notation 或是Big O Notation
Note that
Also note that
Further note that
By a stroke of insight, note that
@@pneujai That is very important ...
原來如此 我一開始忘記瑕積分兩邊都要收斂啦
老師您好，這是我第一次留言
可以麻煩您解看看這題嗎？（是否包含複雜代數等問題）
ʃ-2.5 to -0.5 √x^2+2(x+1)√-1-2x dx
（後面的根號被包在前面的根號裡面，意思最外面是一個很大的根號）
8:23的舉例沒有意義吧，e^x 跟x^2會不一樣是因為他們發散速度不同，但題目的a、b的極限式子都是一樣的形式，理論上它的發散速度也應該一樣不是嗎，這個舉例似乎不適合解釋這道題。
以上為個人見解，我很困惑，希望有人能說服我。
換個角度講，很多人會問一個問題，正整數跟所有整數哪個比較多？我們會說兩個一樣多，明明用一丟丟邏輯來想都會覺得所有整數包含正整數，應當比較大才對不是嗎？然而，由於無窮只是一個概念，不能把他們用在一般的加減乘除（正如同無限+1還是無限一樣），正整數跟所有整數一樣有無窮無盡那麼多個，根本無法去比較他們的大小，因此，我們所謂的一樣多是指他們一樣有無窮多個，無法比較
那如果是正整數與負整數比較呢？同理，正整數有無窮多個，負整數一樣有無窮多個，無法比較他們的大小（即使直覺告訴我們他們應當一樣）
回到題目，即使a b是同一個形式的極限，他們也無法比較大小，連誰大誰小都判斷不了，你怎麼知道相減後的結果呢？
把a和b看成两个“变量”，它们出现在积分符号上而不是积分式子中。问题是变量和可能也是一个“函数”，比如a=x；b=x^2。这样来说，即使x以相同的“速度”趋向无穷，a和b的速度也是有差异的，并不因为积分式中的表达式相同就可以推定积分上下界的趋向速度是一样的。
@@kaisalittlepig 你那個只是因為你所用的（偏）序（order，就是廣義的比大小，詳情請查詢"poset") 不同，當然有可能相同兩個集合在不同的序下大小關係不同。例如R^2上可以定義出兩種偏序，一種字典序( 如果a
@@19divide53 （他都聽不懂了你得用通俗一點的說法告訴他
其實這邊並沒有給定a,b的極限形式，有可能一樣，有可能不一樣。這個瑕積分要收斂，必須a,b是任意的極限形式時他都收斂到一樣的值，因為他其實也可以看成雙變數函數F(x,y)=（t dt從x到y積分) 取(x,y)->(負無窮，正無窮）的極限，但這不等於F(x,y)先對x (resp. y) 取極限再對y (resp. x) 取極限。如果(x,y)沿著不同的路徑逼近時，函數值的極限不一樣，瑕積分就不收斂。
聽不董 但是很好玩
可以理解為他沒有答案的原因是因為給的條件還不足夠嗎？ 所以Cauchy principle value是來賦予條件來讓我們能求出該條件下的解嗎
這個瑕積分其實也可以看成雙變數函數F(x,y)=（t dt從x到y積分) 取(x,y)->(負無窮，正無窮）的極限，但這不等於F(x,y)先對x (resp. y) 取極限再對y (resp. x) 取極限，一個原因是(x,y)沿著不同的路徑逼近時，函數值的極限可能會不一樣，就算個別看極限都存在。Cauchy principal value 就是取(x,y)=(t,t) 這條路徑
@@19divide53 懂了！感謝你
就像是lim(a-> ∞）（a-a) 跟 ∞-∞是不一樣的
😂
這個視頻是唬爛的，右式本來就不存在的話，憑什麼寫等號變成兩項的和？正確的論證是根據瑕積分的定義，這個不存在收斂的值。
瑕積分的定義就是對於負數a積到正數b的所有可能性，如果給定epsilon，都存在一個M，限定a, b的絕對值都大於某個數M的話，積分的結果會在C+-epsilon以內，這樣瑕積分值存在，結果為C。顯然這樣的C不存在。
為了更清楚說明，順便幫視頻主複習一下取極限的等號代表什麼意思。一個等號兩邊都有取極限的記號，代表左邊的極限存在（實數值，正無窮大，負無窮大）右邊的極限也存在，並且值一樣，反之亦然。左邊的極限不存在，右邊的極限也不存在，反之亦然。而將一個取極限值的項寫成等於兩個取極限值的項相加，也是要小心在以上等號定義的基礎上，判斷是不是有問題。
可以說是不嚴謹的，如果都以定義來講解我也不會想看，大學都這樣教，說他唬爛的就過分了，我相信他本人懂你想表達的，畢竟他在UC Berkeley
想必閣下是從小因為北爛被霸凌的那種人？
😂