Pascalsches, Sierpinski- und noch mehr Dreiecke
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 26 ก.ย. 2024
- Wenn man das Pascalsche Dreieck modulo 2 graphisch darstellt, entdeckt man das Sierpinski-Dreieck als fraktale Struktur und es verbergen sich auch noch viele andere Muster bei weiterer Suche.
Python3-Skript, was direkt im Browser ausgeführt werden kann: repl.it/Fuxz/24
Wer weiter denken will:
Pascalsches Dreieck: de.m.wikipedia...
Sierpinski-Dreieck de.m.wikipedia...
DorFuchs T-Shirts: www.DorFuchs.de...
DorFuchs auf Facebook: / dorfuchs
DorFuchs auf TH-cam: / dorfuchs
DorFuchs auf Twitter: / dorfuchs
Website: www.DorFuchs.de/
Playlist mit all meinen Mathe-Songs:
• Mathe-Songs
... und für noch mehr Mathe-Songs einfach abonnieren.
Dieses Video wurde für die private, nicht-kommerzielle Nutzung produziert und veröffentlicht und ist in diesem Rahmen ohne Rücksprache oder schriftlicher Genehmigung für private Zwecke kostenfrei zu verwenden. Bitte beachten Sie jedoch, dass das Video weder inhaltlich noch grafisch verändert werden darf. Geben Sie bei einer Verwendung bitte stets den TH-cam-Kanal DorFuchs als Quelle an. Für die kommerzielle Nutzung sowie die Nutzung zu zustimmungspflichtigen Nutzungshandlungen zu Bildungszwecken, wie öffentliche Filmvorführungen, öffentliche Zugänglichmachungen über Bildungsserver, Lernplattformen oder Bildungsclouds, usw. ist eine Lizenzierung erforderlich. Lizenzen erhalten Sie bei unserem Vertriebspartner www.filmsortime.... Dieses Video ist für schulische Unterrichtszwecke geeignet und bestimmt und daher ein geschütztes Werk gemäß §60a und §60b UrhG.
bitte ne 10 stunden version wie das sierpinski dreieck rauszoomt :D
Oh ja das seht sehr interssant aus, bitte DorFuchs.
Gh0st
Reinzoomen ist besser
Ja bitte
Google mal mandelbrot 😁
Du zeichnest ein Dreieck und halbierst jede der 3 Seiten. Diese Punkte miteinander verbinden, schon hast du 4 Dreiecke. Das mittlere Dreieck fällt weg. Jetzt nimmst du dir jedes der 3 Dreiecke vor und halbierst wieder die Seiten. Wieder die Punkte verbinden, schon hast du 12 Dreiecke, wobei wiederum das mittlere wegfällt. Das kannst du gaaaanz oft wiederholen. Wurde schon in der Kunst und in der Architektur eingesetzt.
Beim längeren Betrachten sind mir noch ein paar Zusammenhänge aufgefallen:
Bei jeder Primzahl p ergibt sich ein regelmäßiges Muster, wo jedes schwarze Dreieck aus p Reihen mit schwarzen Dreiecken besteht, die wiederum aus p Reihen mit noch kleineren schwarzen Dreiecken besteht usw.
Bei Primzahlpotenzen p^k wiederholt sich das Muster von p noch k-mal innerhalb der weißen Dreiecke. (z.B. 4=2² ist das Muster von 2 ineinander geschachtelt, bei 8=2³ kommt noch eine Stufe dazu)
Bei zusammengesetzen Zahlen überlagern sich die Muster aus den Primfaktoren bzw Primfaktorpotenzen. (z.B. 6=2*3 und es liegen die Muster von 2 und 3 übereinander.) Das liegt daran, dass alle schwarzen Punkte bei den Primfaktoren Zahlen entsprechen, die nicht durch diesen Primfaktor teilbar sind, sodass sie auch nicht durch die zusammengesetze Zahl teilbar sind, also auch wieder ein schwarzer Punkt werden.
DorFuchs Misst, mir ist das mit den Primzahlen auch aufgefallen und wollte eigentlich der erste sein dem es auffällt, aber naja, pech gehabt^^
DorFuchs ist mir auch aufgefallen 😂👍🏼
Man das wollte ich dazu schreiben :D Das es bei Primzahlen regelmäßig wird hab mir so gedacht hä 7 11 13 dann noch mal die ersten angeguckt jo das muss doch was mit den Primzahlen zutun habe
Man könnte sich mit der Rechenregel, auf der der Frobeniushomomorphismus basiert, herleiten, warum in regelmäßigen Abständen außer an den äußeren Positionen nur Nullen stehen. Von den äußeren Positionen, die gleich eins sind, muss es nach der Regel, wie ein Pascalsches Dreieck aufgebaut ist, wieder genauso losgehen wie zu Beginn, bloß an zwei Stellen. Ja, diese Bilder sind schon sehr sinnvoll.
Dass die regelmäßigen Strukturen genau bei den Primzahlen auftauchen, scheint auch sinnvoll, denn das sind die analogen Pascalschen Dreiecke zu den Zahlenkörpern Fp für eine Primzahl p. Wäre p keine Primzahl, wäre Fp kein Körper. Andererseits gab es doch auch Körper, die eine Primzahlpotenz als eine Anzahl der Elemente haben.
Lol, wollte ich auch erwähnen. Bei der 13 wurde ich dann langsam stutzig und die 17 hat die Hypothese dann bestätigt :-)
Sehr schönes Viedeo, finde auch selber solche Zusammenhänge immer sehr spannend :D
In solchen Momenten tun mir alle Menschen leid, die Mathe seit der Grundschule als Hassfach abgestempelt haben und die Faszination eines Mathematikers deshalb nie erleben werden.
Wirklich schön erklärt und gestaltet. Ich würde mir wünschen, dass mehr Leute auf deine Videos aufmerksam werden, aber mein gesamtes Umfeld kennt dich sowieso schon. ^^
Mir tun alle Menschen leid die Schulmathe für echte Mathematik halten und es deshalb als Hassfach abstempeln. Das Schulfach sollte lieber "Rechnen" genannt werden.
matt_9908 Ganz meine Meinung!
ich bin sowas von dafür!
Ich ebenfalls
Ich nicht, denn in der Schule wird nicht nur gerechnet, sondern tatsächlich auch mathematische Inhalte vermittelt. So einseitig wie ihr das darstellt ist es gar nicht.
Die Nerd Momente in dennen man soetwas entdeckt und sich total freut, gibt kaum was besseres :D
JysN dieser Kommentar hat 42 Likes ! Ich will ihn auch liken aber ich will die Zahl nicht zerstören !
Habe ich schon getan ;) Soll ich ihn wieder entliken, um die Symbolik aufrecht zu erhalten?
Die Letzte Graphik sieht so aus, als würden sich verschiedene Ebenen überlappen. Quasi: Hintergrund und Vordergrund.
Supergeil gemacht!
Das Triforce aus The Legend of Zelda! XDD
Das war mal ein spontanes Video ohne Skript. Lasst mir gern Feedback da!
Fandet ihr es langwierig? Habt ihr alles verstanden? Hätte ich manches schneller oder langsamer erklären sollen?
Ich fand das Video super! Es wurde für mich persönlich nicht langweilig und es hat bei mir das Interesse an Mathematik wieder ein wenig geweckt. Ich studiere momentan Informatik und kämpfe ein wenig mit Analysis... Deine Songs haben mir aber übrigens auch schon geholfen! ^^ Super auch, dass du das Skript hochgeladen hast, das werde ich gleich mal mit auch Zweierpotenzen überprüfen, ich glaube, das könnte auch etwas Interessantes bei herauskommen. In diesem Sinne, vielen Dank und bis dann!
triforce dreieck
DorFuchs wie viele stufen hast du da dann immer genommen?
bei primzahlen (zumindest 7,11,13,19, die ich am ende vom video gesehen habe) ist auch ein regelmäßiges muster zu erkennen. :D
klasse video!
JBFFSK18 Hab ich auch gesehen. Immer bei Primzahlen ergibt sich so ein vollständig regelmäßiges Muster.
Und desto mehr Teiler die Zahl hat (z. B. 12) desto komplexer werden die Muster.
DorFuchs Kann man da auch irgendwas mit den komplexen Zahlen machen? Ich hatte das letztens in der Mathevorlesung und damit waren ja viele Sachen deutlich einfacher.
Das ist irgendwie wunderschön.
Sehr nice! Genau diese Art von Entdeckungen macht mich auch in der Physik total glücklich! Anscheinend wird das Dreieck zum "echten" Fraktal, wenn man F_x mit x Primzahl verwendet, was im Nachhinein, natürlich logisch erscheint.
Schön nicht der einzige zu sein der Mathematik nicht mit Schule und Stress assoziiert, sondern mit vor paar tausend Jahren mit ein paar Griechen Wein trinkend unter einem Pflaumenbaum sitzend über die Mechanismen der Natur schwadronierend :D
das sähe bestimmt auf einem tshirt oder Pullover cool aus :)
Für Sierpinski-Dreiecke und andere fraktalen Strukturen gibt es eine interessante praktische Anwendung, die fast jeder in den Händen hält. Das Smartphone.
Erst vor wenigen Jahren erfand man ein fraktales Antennendesign. Der Sinn dahinter ist, dass ein Smartphone von heute auf verschiedensten Frequenzen von z.B. 800 MHz bis 6 GHz senden und empfangen muss. Dazu braucht man breitbandige Antennen auf kleinem Raum. Und dies bekommt man eben leicht hin mithilfe von fraktalen Leitungsstrukturen, die man auf die Leiterplatte aufbringt.
Einfach Mal recherschieren zu "Fraktal Antennen". Echt interessant.
Und tolles Video!
Faszination pur. In solchen Momenten kann ich gar nicht glauben, dass es keinen Gott geben könnte. Das ist doch einfach nur wunderbar! Zum hilflosen Staunen... ;)
Du bist ein Genie. Schön, dass Du auf der Welt bist. Margret
Danke für das Python Skript! Ist eine große Bereicherung.
Gutes Video!
Ist dir aufgefallen, das alle sehr regelmäßigen aus Primzahlen entstanden sind?
Ja ich finde die Primzahlen auch am schönsten, ist ja auch logisch^^
Das liegt daran, dass du bei Primzahlen keine Überlagerungen von sierpinski Dreiecken mit anderen Dreiecken hast. Bspw. Hast du bei 6=2*3 die Überlagerung der Dreiecke von 2 und 3. Ebenso fällt auf das primzahlpotenzen auch noch relativ gleichmäßig aussehen. Siehe zum Beispiel 2,4,8 usw.
Ja wollte ich auch gerade schreiben
Danke für diese faszinierenden Videos!
es gibt momente, da packts einen einfach...
Ich finde es sehr schön, dass dir Mathematik so viel Spaß machst, dass du einfach um die Ecke denkst und sowas z.B. erkennst ^^
Finde ich sehr interessant, hätte ich nie herausgefunden (9. Klasse Gymnasium).
Lob, weiter so! :D
Nice :)
Artus Weichert Artus^^
Dreiecke sind halt einfach nice.
Für Primzahlen scheint es immer sehr regelmäßig zu sein, für Potenzen von Primzahlen auch noch halbwegs und für Zahlen mit verschiedenen Primfaktoren ziemlich undurchsichtig.
Das ist richtig cool
Immer acht Zählzeiten bis zum neuen Dreieck. Gefällt mir.
Junge wie gehyped du bist 👍
Sehr interessant 👍🏻
Interessant ist es, dass es bei den Primzahlen am "schönstens" aussieht
Wieder mal ein super Video! :D
Ich habe deinen Kanal zwar "nur" über deine Mathesongs kennengelernt, doch ich muss sagen, dieser deiner kleinen genialen Forscherexkurse halber weiß ich ihn noch viel mehr zu schätzen ... deine Begeisterung für die Sache ist einfach unglaublich, auch wie du dafür neben der sicherlich anstrengenden Uni noch die Zeit findest! Mein Kompliment! :-)
Ich kenne mich mit Python leider nicht aus und habe dein Script daher noch nicht zum Laufen bekommen, aber ich bin schon gespannt, ob ich neben den Primzahlmustern vielleicht noch weitere spannende Regeln daran herausfinden kann ... 😍
ein dorfuchs video während man krank im bett liegt :) awesome
Ich habe eigentlich nicht mehr so viel mit der Mathematik zu tun, finde es aber sehr faszinierend, besonders wenn jemand anders so begeistert dabei ist. Ich habe es als Laie sehr gut verstanden und hätte gerne mehr davon :)
Die besonders
schöne Geometrie bei Primzahlen hat es zwar nicht ins Video geschafft, doch macht das Sinn da bei Primzahlen das ganze ja ein Integrationsbereich ist.
Schön mal wieder coole Animationen gut erklärt zu bekommen, Danke dafür! :D
also ich kannte das pascalsche dreieck bereits, wusste aber noch gar nicht, dass man da die binomialkoeffizienten ablesen kann. Danke und auch sonst ein sehr interessantes video!!
Wofür hast du es dann verwendet?
gar nicht so wirklich verwendet glaub ich, ich kann mich aber erinnern, dass ich es mal gesehn habe
ach ja ich hab es mal gesehen, wo dann prim-, quadrats-, dreiecks- oder fibonacci-zahlen da eingefärbt wurden.
Das sah auch interessant aus
Endlich neues Video! Danke
Die Stufen die auch eine Primzahl sind, sehen irgendwie ordentlicher aus als der Rest 😄
Das hättet ihr in PASCAL schreiben müssen ^^
wow die nummer 17 hat ein ganz eigenes muster, ich finde es unterscheidet sich schon stark von den anderen.
Ganz Toll. Mach mal eine Sierpinski Pyramide!
Wenn man früh da ist , dann antwortet Dorfuchs :)
Zumindest ist die Wahrscheinlichkeit kurz nach dem Upload noch recht hoch, während sie mit der Zeit nahezu exponentiell abfällt. ;)
DorFuchs Wusste ich's doch xD
Eher so 1/x^x (tetration)
Das erinnert sehr an Zellularautomaten
kannst du dass python Script veröffentlichen wäre super
Habs in der Videobeschreibung verlinkt. Ist aber einfach nur soweit rumgetüftelt, bis es irgendwie funktioniert hat. Nicht besonders gut strukturiert oder kommentiert. ;)
@Johnann Vielen Dank für das Script, wie kann ich das ausführen? Kriege immer einen Fehler von wegen fehlender png-Lib :(
genau wie bei mir
Es ist ein gutes Video und ich habe alles verstanden. Danke dafür
Ich habe den Freistunde andere Sachen gemacht.
Trotzdem interessant, danke.
ich glaube auch das bei noch weiteren Primzahlen so regelmäßige Muster kommen
kannte das mit dem ungerade gerade zwar schon aber war nochmal ziemlich interessant es in verschiedenen mod zu sehen 👌
Mir ist aufgefallen das je weniger Teiler Die Zahl hat desto "aufgeräumter" ist das Dreieck. Besonders fällt das also bei 7,11,17 auf.
Es war wie immer perfekt ❤
genial das mit dem Zusammenhang zwischen pascalscehn und sierpinski Dreieck hab ich schon in der 10. gelernt
Danke!
Danke für das Video. Man müsste mal eine repräsentative Umfrage bei Menschen an Universitäten und Schulen durchführen. Die allerwenigsten werden sich in einer Freistunde an eine Mathematikaufgabe setzen, bei der Lösung etwas (für sie) spannendes entdecken, das programmieren, um weitere Fragestellungen erweitern, das noch spannender finden und dann auch noch voller Enthusiasmus wie Du erzählen. Die meisten daddeln höchstens auf ihren Handys herum, lesen ein Buch oder unterhalten sich mit Freunden über Gott und die Welt ohne Mathematik.
Das Ganze steht und fällt mit den Primzahlen. Man könnte mal bei z.B. 15 die Bilder für die 3 und die 5 übereinander legen und schauen, was raus kommt. Mir kam es vor, als ob die zusammengesetzten Zahlen eine Überlagerung verschiedener Bilder sind.
Das Sirpinkski Dreieck hat keine Fläche.
Das bedeutet doch folgendes: Der Anteil der Zahlen im Pascalschen Zahlendreieck, die durch n teilbar sind, bis zu einer Reihe m nähert sich der eins, wenn m gegen unendlich läuft. Dies gilt für jede natürliche Zahl n.
Im Grenzwert von m gehen unendlich sind somit (fast) 100% der Zahlen im Pascalschen Dreieck durch jede natürliche Zahl teilbar.
Versteh ich das so richtig?
2:02 Zeldaaaaaa !
Bei Primzahlen (und deren Quadratzahlen) ist das Muster regelmässig und wiederholt sich, alle anderen entstehen wenn man die Muster der Teiler übereinander legt.
Also bei ungeraden zahlen gibt es ein Symmetrie, nämlich sind die Kantrnlängen der Quadrate ommergleich viele wie die Module zahl
Faszinierend!
Hammer geil danke für das Video und super interessant
#mathsrocks
was hattest du gehofft zu finden, eine Abfolge in den Primzahlen or what?! ^^
Als Kind habe ich ganze Blätter voller Sierpinski Dreiecke bemalt
Bei allen nicht primen Zahlen / Stufen gibt es eine art überlagerung der vorherigen Muster.
Hey, ich würde mir sehr freuen wenn du erklären könntest wie man Brüche multipliziert.
Hey DorFuchs, schau dir doch mal die Gouldsche Folge an und der Zusammenhang zwischen Fraktalen und dem Pascalschen Dreieck wird noch deutlicher... ;)
Ich weiß, ich bin schön. Kannst du bitte bei meinen alten Bildern nicht soweit reinzoomen? Danke!
wie cool ^^
Es scheint so, als würde es bei jeder Primzahl ab 7 die Regel geben, dass ein großes dreieck immer genau unter n Stufen kleinerer Dreiecke entsteht. n ist hierbei die Zahl selbst, also bei 7 immer nach 7 Stufen, bei 11 nach 11, bei 13 nach 13 usw.
Kommt das irgendwann als Thema vor? Vielleicht in Info oder Mathe? Wenn ja, hab ich die 1 sicher! Danke! :D
Bis jetzt war Mathe ja fast immer langweilig, aber das finde sogar ich faszinierend!
Sebastey ich habe in der 9ten in info in logo so ein dreieck per rekursion erstellt
Phil Pri Wir haben soetwas in der 11 mit Java erstellt. :D
Wahrscheinlich nicht oder höchstens, wenn Du binomische Formeln im Unterricht besprichst. Dann hat der Lehrer aber gegen den Unwillen der Klasse zu kämpfen und empfiehlt daher das Pascal'sche Dreieck als Hilfe für die binomischen Formeln. In einer Facharbeit der Oberstufe lässt sich das aber umwandeln. Dazu gehört dann auch die Programmierung und genauere Ausformulierung.
Das hatten wir in der 9. Klasse in Mathe-Informatik mit Einfärbung in Excel. Habe die Datei auch noch
Aber trotzdem gut erkannt. Den Grund dafür weißt du dann allerdings :D
Spannend ist, dass die Strukturen von Modulo mit Primzahlen vergleichsweise strukturiert aussehen
(Ausnahme ist allerdings 4 🤔)
6:23 ... und auf TH-cam hochladet, damit man seine Begeisterung mit der Welt teilt. Danke für den Impuls!
Das Mathe-Triforce... :O
nices video :D
interessant ist auch die ähnlichkeit der DorFuchs-Dreiecke bei Primmoduln :)
Bei 3:14 sehen die ersten 17 Stufen wie ein Triforce aus der ,, The Legend of Zelda'' Reihe aus.
LoL in dem Moment als mein Handy anzeigte dass dieses Video rausgekommen ist, haben wir gerade im Matheunterricht über das Pascal'sche Dreieck geredet!
Ist doch interessant, dass die Fraktalstrucktur im einem paskalschen Dreieck bei der Berechnung von Modulo einer Primzahl besonders symmetrisch aussieht, obwohl man bei der Reihenfolge der Primzahlen an sich bis heute keine allgemeine Strucktur erkennen kann....
Spannend ist wie ähnlich und skaliert Primzahlen aussehen!
Interessant ist je mehr Faktoren, desto unscheinbarer das Muster. Zum Beispiel die perfekte Zahl 6 gegen alle Primzahlen die danach kommen.
Also ich muss sagen, nach einer Theo Vorlesung in einer Freistunde hab ich anderes zu tuen als noch hochbegeistert Übungen zu lösen (bevorzugt schlafen) :D
Aber cooles Video!
Respekt an dich 😲👏👏👏👏👏👏
Ich mag das
Bei den eingeblendeten Dreiecken am Ende hast du die Zahlen oben links rein editiert. Schon bemerkt, dass die Dreiecke gleichmäßig sind, wenn da oben eine Primzahl steht?
Rein optisch sieht es immer so aus, als wenn das Muster bei Primzahlen nur exakt übereinander passt (schwarze scharfe Konturen) und bei anderen Zahlen überlappt (Grauschleier, unscharfe Konturen). Je mehr Teiler eine Zahl hat, desto größer die Überlappung. Interessant wäre es, wenn du RGB als Farben verwenden könntest um zu sehen, wie sie sich mischen.
Ist es nicht einfach die Mandelbrotmenge Rückwärts? Ist ht nen Fraktal. Dazu ist mir aufgefallen, dass im Blumenkohl Fraktale zu sehen sind.
Kann man den Flächeninhalt des Sierpinski-Dreiecks eigentlich auch als Reihe darstellen? Haben das als Übungsaufgabe, aber ich komm nicht dahinter. Ich schaffe nur eine Folge, aber keine Reihe.
Realer Anwendungsfall wäre eventuell in Quantencomputern. PS: bei Primzahlen ist das Muster am regelmäßigsten, was aber nicht verwunderlich ist.
du bist krass !!
bei den ganzen primzahlen sieht es deutlich regelmäßiger aus... interessant
Habt ihr schon versucht bei größeren Zahlen die dadurch teilbaren Zahlen auch/ in einer anderen Farbe zu färben? dadurch würden vielleicht einige der "verschobenen" Muster sinniger?
mega spannend:) bist du noch unter 21? JugendForschtProjekt:D
Cooles Video! Ich hab gehört, dass man mit dem Pascalschen Dreieck alle möglichen Kombinationen, die es beim Lotto gibt herauslesen kann... Stimmt das? Ich kann mir nicht vorstellen wie das funktionieren soll, wäre cool wenn du das eventuell erklären könntest :)
Täusche ich mich, oder gibt sich immer nur bei einer Primzahl so ein ganz regelmäßiges Muster?
Ich fands mega interessant. 👍
wie immer super video!
Hey..., ist dir aufgefallen, dass das Muster bei Primzahlen jeweils langweilig aussieht, resp. keine Verschachtelung aufweist...?
Ist es bei jeder Primyahl ein regelmäßiges Muster?
Wat? Du hast es mit Python gemacht? Wie lange hat das Programm gebraucht? Ich habe es nie hingekriegt in Matplotlib über 10 Ebenen zu kommen, ohne dass mein Laptop sehr laut wird...
Könntest du mal ein Video über 3D Koordinatensysteme machen? Würde uns in Mathe sehr weiterhelfen.
Kann es sein, dass das Dreieck für 6 eine Überlappung der 3 und 2 Dreiecke ist? Es sieht ein bisschen so aus und 6 ist immerhin die erste Zahl, die keine Primzahlpotenz ist. Passt dann auch mit den weiteren Zahlen.
Hi gefällt mir super gut was du für Videos machst.
Könntest du auch was zur Mandelbrot-Menge vorstellen.
kann es sein das sich bei primzahlen diese "cleanen" strukturen ergeben?
Ich mag die Dreiecke mit Modulo(Primzahl) die haben keine komischen Überlappungen
Übrigens, Python- Code zur Erzeugung eines Hanfblatts ^^
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def get_radius(angle):
radius = 1
radius *= (1 + 0.9 * np.cos(8 * angle))
radius *= (1 + 0.1 * np.cos(24 * angle))
radius *= (0.9 + 0.1 * np.cos(200 * angle))
radius *= (1 + np.sin(angle))
return radius
phi = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100, endpoint=True)
r = [get_radius(angle) for angle in phi]
x = r * np.cos(phi)
y = r * np.sin(phi)
plt.plot(x, y)
plt.title("Blatt")
plt.show()
ich war ziemlich fasziniert davon, dass s'(t) = v(t) ist also quasi die erste Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung ist :D
Die Gleichung passt nicht zu den Worten.