Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
всё гораздо проще четырехугольники ADCO и EOFB подобны по 4-м углам (углы D и В прямые, угол ОAD = углу OFB, угол АОС = углу EOF, угол DCO = углу OEB). коэффициент подобия 1:2. следовательно площади соотносятся как 1:4.
В треугольнике ABC проведем третью медиану. Медианы разбивают треугольник ABC на 6 равновеликих треугольников, пусть площадь каждого равна x. Тогда Sadco=6x+2x=8x=12, откуда Seofb=2x=3
Жёлтый четырёхугольник подобен синему по четырём углам. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия Sж/Sс=4, откуда Sс=12/4=3. Спасибо за видео.
Из всех математиков в ЮТУБе вы лучший. Спасибо. Четко, ясно и понятно. Без всякой рисовки и кривляния в ущерб сути обьяснения, как большинство. Лишний раз убеждаюсь, что человек обьясняющий математику сам должен быть хорошим математиком.
@III kkk: Just to the same solution I have arrived for 5 min. Angles in ABCD correspond to the angles of OEBF but the linear scale is twice smaller in the second one. This means that the area is 12/2/2 = 3. (sorry that the answer is in English but I can not write in Russian despite that I understand it)
Вау. Первая задача что я с ходу решил. Четырехугольники тождественны по углам и сторонам. Стороны в 2 раза меньше. Значит площадь в 4 раза меньше итого Ответ: 3 Теперь посмотрим... Ну зачем разбивать на треугольники? Ээх.
Тождество это нечто другое. А тут подобие. Но что-то я не знаю признаков подобия четврехугольников это надо ещё доказать! Доказательство как всегда не тривиально. Решал через треульники. Соединил центр с углом. Площадь всех треугольников равны. И также очевидно что треугольник = четверти площади прямоугольника. Отсюда получаем площадь нашей фигуры
Четырехугольник с площадью 12 подобен искомому четырехугольнику с искомой неизвестной прощадью. А площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия сторон. Здесь коэффициент равен 2. Квадрат 2=4. Площадь Sx=12/4=3.
А если совсем просто то из подобия четырехугольников (оно видно так как угол DAF = BFA (как углы при паралельных прямых) аналогично DCO=OEB Четырехугольники AOCD подобен FOEB коэффициент подобия 2 тогда площади относятся как 1 к 4 все .12/4=3
В треугольнике АВС проведите третью медиану. Он разобьется на 6 равновеликих. В треугольникеАСД будет тоже 6 таких же . В желтом 8 . В с нем - 2. Площадь синего в 4 раза меньше желтого. 12:4=3.
Потому, что медиана делит треугольник на два равных по площади половине исходного и одна из таких половинок включает в себя синий, белый и желтый, а другая два желтых и белый, т.о. площади желтого и синего равны
@@огурецогурец-д7б Всё просто: 1. Площади белых треугольников равны, т.к. Sabf=Scbe, а синяя часть у них общая. 2. В треугольнике АВС медиана из вершины А, формирует треугольник из белого, желтого и синего треугольников (Б+Ж+С). Медиана из вершины С формирует треугольник из двух желтых и белого. Т.о. 2Ж+Б=Ж+Б+С, и Ж=С. Сорри за корявость изложения, но идея надеюсь понятна
Красивая задача. Не уверен, что моё решение более рационально, но решал в уме (а, что там творится и чего только нет),но при вершине D легко построить четырёхугольний равный, наличиствующему при вершине B. Не трудно видеть и легко показать, что полученный четырёхугольник подобен четырёхугольнику площадь которого известна. Всячески старался избежать слова: - "гомотетия".
Когда глянул на задачу, понял, что четырёхугольники подобны с очевидным коэффициентом подобия 2. И думаю, тут задача на 30 секунд, что можно там делать 5 минут) Но забыл что площади соотносятся, как квадраты, и ответил неверно(
Главное побольше восклицательных знаков. У Вас признак подобия четырёхугольников вызывает ликование на три восклицательных знака? Или же чувство ликования по поводу обладания этим нереальным знанием тянет на три восклицательных знака?
А можно предположить, что эти 4угольники подобны с коэффициентом 2(как минимум, по 2 сторонам, 2 углам) и понять, что площадь синего четырехугольника в 4 Раза меньше)
@@МаксимТкачёв-у7ю По 2 сторонам и 2 углам - это тоже сомнительно. Опять же, взять два произвольных прямоугольника - углы равны и противоположные стороны соотносятся одинаково, но подобия нет.
@@xXxOLISxXx Там видно что треугольники подобны, и стороны меньшего четырехугольника в 2 раза меньше сторон большего, следовательно его площадь в 4 раза меньше (2*2)
Валерий, добрый день! Спасибо за задачу. Я решал ее без дополнительных построений. П теореме Минелая нашел отношение СО/ОЕ = 2 , далее посчитал площади AOE и COF. Поскольку S(AFB) = 1/4 S(Прямоугольника), то S(AOE) = S(COF) = 1/2 * 2/3 * S(AFB) = 1/12 S(Прямоугольника). Далее вычел из площади прямоугольника S (AOCB = 1/12 + 1/4) = 2/3 S(Прямоугольника) = 12, тогда S(Прямоугольника) = 18 Далее Искомая площадь это 1/4 - 1/12 от S(Прямоугольника) получилось 1/6 от S(Прямоугольника) = 1/6 *18 = 3
Набросал два решения:1) Для дошкольников Известно,что три медианы делят треугольник на 6 равных по площади треугольника .Считаем исходная фигура содержит 8 треугольников. Ту которую надо найти содержит 2 треугольника. 12/4=3 . 2) известно,что точка пересечения медиан делит медиану в пропорции 1к 2.Если провести проекцию на прямую вы увидим что и она делит отрезок так же.эта проекция равна высоте маленького треугольника . Получается площадь треугольника 1/2 *1/3*1/2 от площади всей фигуры
подобие 4х угольников показывается через 2 противолежащих угла, площадь - через квадрат коэффициента подобия, который 1/2, все. Итого писанины на 3 строчки (2 строчки на каждый угол и 1 на вычисление площади)
Я вообще решил так: Провёл АС, рассмотрел АВС: медианы в треугольнике делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Итого получаем: АО/FO = CO/EO = AD/BF = CD/BE = 1/2 и четырёхугольники подобны по 4 сторонам. Ну и дальше коэф. подобия в квадрате равен 1/4, соответственно искомая площадь 12/4 = 3
Мои действия: 1. Лайк (однозначно). 2. Поставил на паузу. 3. Приступил к поиску способа решения. 4. Уже понял, что задача решаема. 5. Ёлки-палки, как жаль, что надо ещё и делами заниматься!
В школе недостаточно объясняют смысл подобия . Коэффициент подобия сторон и площадей: треугольников, прямоугольников, четырехугольников, кругов... Но ,то что много примеров задач , это правильно. Хорошо бы, чтобы это усвоили наши ребята. От этого зависит успех нашей страны, России, в мире.
Для планиметрии для наглядности стоит добавить графики в повествование. То есть выделять обозначаемые объекты рассмотрения. Материал будет значительно лучше восприниматься
Правило отношения площадей действует и для других подобных фигур. Поэтому сразу смотрим соотношение подобных сторон (1:2) в подобных четырехугольниках и находим искомую площадь как соотношение 1:4
Можно проще. Площадь искомого 4- угольника в 4 раза меньше площади жёлтого 4- х угольника, т.к. они подобны(все углы одного равны всем углам другого, и стороны одного вдвое больше сторон другого- по условию.Отсюда: коэффициент подобия =1/2;,а X:12= (1/2)^2; т.е., Х=12/4=3.
Решил в уме за минуту. Ответ 3. Решается просто через подобие 4-угольников. Сразу видно, что у них все соответствующие углы равны, значит прямоугольники подобны. Далее 2 соответствующие стороны отличаются в 2 раза, значит и остальные стороны тоже отличаются в 2 раза. Значит, площади отличаются в 4 раза. 12/4=3.
Шутки ради попробовал это решить одной логикой: Половина прямоугольника и какой то кусочек равно 12, поэтому предположил, что вся площадь равна 20 Треугольник ЕВС это четверть всей фигуры, так что равно 5 Этот треугольник делится на 2 части, нужный нам четырехугольник побольше и ненужный нам треугольник поменьше, если в ответе целое число, то можно предположить, что нужная нам площадь это 3 посмотрел решение с ответом сошлось)
А можно было сказать что желтый и синий четырехугольник подобны (гомотетичны), коэффициент подобия равен 1/2. Значит площадь синего в 4 раза меньше и равна 3.
Пишу в середине ролика, подобие было понятно изначально, но ведь одной площади мало, Нада знать хотяб ещё одну сторону или другой параметр, я думаю невозможно найти площадь зная один кусок из трёх, нужен угол или длина
отлично! очень понравилось. больше такой геометрии и можно еще одну-две задачи на "сушенные фрукты" например, эту: фрукты содержат 80% воды. сколько процентов воды должны содержать сушеные фрукты, если их масса должна составлять 45% от массы свежих?
масса воды =80/100 m=4/5m в свежих фруктах ... m55/100 исчезнувшая вода в сушеных фруктах... тогда масса оставшей воды в сушеных фруктах равна мводы=4/5m - 55/100m масса усохших фруктов равна М=m/4 + 4m/5 - 55m/100 процент х будет определяться тогда из уравнения М / 100 = мводы/ х
80% по массе или по объему? если по массе, то сухой остаток =100%-80%=20%, воды в сухих фруктах 45%-20%=25% от массы свежих или 25*100/(25+20)%=55.6% от массы сухих
Жёлтый четырёхугольник переходит в синий при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -1/2, поэтому площадь синего в 4 раза меньше, чем у жёлтого, т.е. 3.
Четырехугольник EOFB подобен ADCO и вписан в прямоугольник который в 4 раза меньше прямоугольника ABCD следовательно площадь искомого четырехугольника меньше известного в 4 раза и равна 3.
Очевидно, что все углы четырёхугольников равны: 90, противолежащий и два смежных. 2 прилежащих к прямому углу стороны в 2 раза меньше, значит площадь меньше в 4 раза. Ответ: 3
Устный счет. Площадь каждого из белых треугольников (1/2*1/3/2)*S=S/12; (S - площадь прямоугольника). Площади каждого из больших треугольников (1/2*1/2)*S=S/4. Далее: 12=S-(S/4+S/12)=2S/3; x=S/4-S/12=S/6. x:12=(S/6):(2S/3); x=3
Проведем обе диагонали прямоугольника. Получим маленькие треугольники. Все они равновелики по площади. Желтая область (если ее разрезать аналогичным образом) состоит из 8 маленьких треугольников. Отсюда площадь маленького треугольника равна 12/8 = 1.5 Искомая площадь равна 3.
У вас очень изящиный способ, я пошел намного сложнее, продлил АF, выразил площади через подобие и пришел к ответу, вычислений было много но ответ сошелся
Да, думаю, доп. построения- это лишнее.Очевидно, что 4-х угольники подобны, а коэфф. подобия=1/2(по усл.) Значит, площадь малого будет= 1/4 площ. большого...12: 4=3!
Обозначим белый треугольник за S. Можно доказать ,что AOE и CFO равны(значит наша фигура ,дальше через смежные треугольники показать ,что Sofbe-это сумма площадей двух белых треугольников ,а значит 2S.Проведём диагональ АС.AOE смежен с АОС ,их площадь будут относиться 2:1(медиана),также 2S.Площадь половины равна 6S или 12-2S=>S=3/2.Значит наша площадь равна 3.
Финал решения можно и по-проще сделать, ибо после доказательства подобия треугольников, сразу можно делать вывод о подобии четырёхугольников (с известной площадью и с неизвестной) - все углы попарно равны, стороны попарно пропорциональны (коэфф. 1/2)
есть ещё более сложный вариант решения, но из него следует целая теорема, не знаю, существует ли такая. Дело в том, что удивительным образом точка пересечения отрезков, соединяющих вершины и середины отрезков лежит точно на диагонали прямоугольника. Более того эта точка всегда будет лежать на диагонали, если соотношение точек, лежащих на сторонах прямоугольниках и делящих их на отрезки будут пропорциональны друг другу. В данном случае так и есть, точки эти делят стороны прямоугольника в одном соотношении 1:2. Используя это свойство можно решить задачу из подобия треугольников, которые составляют четырехугольник площадью 12 и искомого четырехугольника. Коэффициент подобия такой же как и писали другие, 1:4. Если на этом же чертеже соединять точки 1:3, 1:4 и 1:5 легко в этом убедиться даже без линейки, просто ручным построением. Есть подозрение что это справедливо не только для прямоугольника, но и для параллелограмма
Если соединить В и О, потом продлить это получим медиану в треугольнике АСВ (медианы пересекаются в одно точке) .Так как диогонали прямоугольника пересекаясь делятся пополам ,то медиана ВО есть часть диогонали ВD .Получаем две пары подобных треугольников AOD - FOB и EOB-COD. Коофициент подобия 2 (E и F делят пополам стороны ) Четырехугольник AOCD подобен EOFB с тем же коофициентом 2 .Значит площади фигур относятся как квадрат коофициента подобия .Поэтому площадь искомого четырехугольника в 4 раза меньше чем 12 ,т.е. равна 3 !
Искомый 4 - угольник подобен жёлтому 4 - х уг- ку, т.к. у них все углы равны.К тому же, их стороны относятся как 1÷2; отсюда коэфф. подобия=1/2×1/2=1/4. Значит, искомая площадь равна 12/4=3.
Triángulos AOE y OEB tienen misma base y altura, por lo tanto misma área (X). Del mismo modo, triángulos COF y OFB tienen misma área (Y). Triángulos ABF y CEB tienen misma area: la cuarta parte del área del rectángulo (Z/4). Área ABF =2X + Y. Área CBE = 2Y + X. Entonces 2X+Y=2Y+X. Entonces X=Y. Área del triángulo CEB es 3X, y es también una cuarta parte del rectángulo, entonces 3X=Z/4. Área del rectángulo Z=12 +4X = 12 + Z/3. Entonces (2/3)Z =12. Z=18.
Валерий, вы написали, что S четырехуг. BFOE равна ?, но как нам говорили, так писать нельзя, ибо вы показываете, что площадь равна вопросу, тогда зачем ее искать. Пишется S-?
Все проще гораздо. Четырехугольники подобны, так как они оба выпуклые и все углы у них равны, и пропорциональны стороны прямого угла. Так как стороны по условию отличаются в два раза, то коэф.подобия равен 2 (или 1/2). Отношение площадей равно квадрату к.подобия. отсюда искомая площадь равна 3.
Площадь треугольника ОЕВ равен площади треугольника АОЕ S_OEB = S_AOE, а S_OFB=S_OFC, отсюда следует S_EOFB = S_AOE + S_OFC, из равных по площади треугольников ACE и ЕСВ также получаем что S_ACO = S_EOFB ... то есть площадь половины прямоугольника равна S_ACB = 3× S_EOFB ... тогда S_ADCO = 4×S_EOFB =12 , а S_EOFB= 12/4=3
Писал кто или нет. но если к АС провести ЕЩЕ ОДНУ МЕДИАНУ. полученные 6 треугольников равны между собой. И мы узнаем что искомая площадь это 1/3 от ABC и ровна ACO. И если взять ACO=FBEO=X, то AOCD=4x, ну и как бы все... (используем свойство пересечения медиан в треуголнике, делят на 6 равных треугольника)
По-моему, можно проще решить. Рассмотрев треугольник ACB, можно увидеть, что AF и EC - это две его медианы, которые точкой O делятся в соотношении 1:2. Обозначим a сторону AD, и b сторону AB. Тогда пл. всего прямоугольника ab=12+S(AOE)+S(CEB). AOE - высота на сторону AE равна 1/3*a, а сама сторона AE=1/2b. Значит, S(AOE)=1/2*1/3a*1/2b=1/12*ab CEB - S(CEB)=1/2*1/2a*b=1/4ab. Выходит, что ab=12+1/12*ab+1/4*ab. Отсюда ab=18. S(EOFB)=ab-S(ADCO)-S(AOE)-S(COF). S(COF)=1/2*1/2a*1/3b=1/12ab. S(EOFB)=18*(1-1/12-1/12)-12=3. Спасибо за задачу!
Интересно посчитать, сколько комментаторов "проще решили" задачу через подобие 4-угольников по равенству углов. (Меня тоже можно посчитать, я тоже сначала по глупости написал такой комментарий, но потом удалил). Между прочим, хорошая тема для отдельного видео.
Я бы сразу подобие четырехугольниковдоказал, углы понятно что равны, стороны те что при прямом угле по условию, 1 к 2 а косые стороны, тоже такой же коэф подобия, так как являются частями медиан одглшл треугольника, а значит точке пересечения делятся тоже 1 к 2.
а я так решила. S1 =1/2 AD*DC. S4=1/2EB*DF, но так как катеты 4 треугольника вдвое меньше первого, то S4=1/4 AD*Dc. Поскольку треугольники подобны, то площадь первого четырехугольника в 4 раза больше четвертого. Значит 12:4=3
Все понятно Как я понял (еще даже не вспомнил про это): "средняя линия для любого треугольника равна половине противолежащей (и обязательно параллельной?) стороны"? Так? Есть ли видео у Валерия Волкова про это свойство? (это я себе скорее задаю вопрос и надо поискать)
Чому не розглянути подібність чотирикутників (відповідні кути рівні) з коефіцієнтом подібності 1/2.? Тоді площа визначається одразу s1/s2= (1/2)^2. S2= 3.
Почти как кувики и Минимум геометрии. Надо провести ОB и увидеть, что все оба тр-ка на АВ и оба тр-ка на СВ имеют равnую площадь. Затем увидеть, что Желтый чет-к (площади 12) = это чт-к АДСЕ - белый тр-к АОЕ = чт-к АСFВ - белый тр-к CОF. Далее чт-к АДСЕ = Весь пр-к - тр-к СЕВ = Весь пр-к - 1/4 (Всего пр-ка) и то же самое про чет-к АСFВ. Значит S(АДСЕ) = 3/4 ( S Всего пр-ка) = S(АСFВ) == > S ( белый тр-к АОЕ ) = S( белый тр-к CОF). Но так как S ( белый тр-к АОЕ ) = S ( Синий тр-к ЕОВ ) и S ( белый тр-к CОF ) = S ( Синий тр-к ВОF ), то все белые и синие тр-ки имеют равную площадь. тр-к AFВ - это сумма трёх тр-ков сравной площадью, значит площадь каждого = 1/4 (Всего пр-ка) / 3 = 1/12 (Всего пр-ка), а Желтый чет-к занимает 2/3 (площади Всего пр-ка) . Тогда площадь Всего пр-ка = 18, а ГОЛУБОЙ чет-к имеет площадь 18 * 2 * 1/12 = 3.
А я не понял, чего тут решать-то? Уже только глядя на заставочную картинку к этому видику видно, что синий 4угольник подобен желтому (это просто очевидно невооруженным глазом) и горизонтальная и вертикальная стороны у желтого в два раза короче, чем у синего. Площади подобных фигур пропорциональны квадрату их линейных размеров. Стало быть, желтый меньше в 4 раза. 12/4 = 3. Решение занимает 5 секунд.
Можно гораздо проще 4-угольники подобны по всем углам (хз, какие там подобия, но углы у них равны) И т.к. площади => k². Стороны пропорциональны друг другу и их отношение равно 2 => k² = 4 => Sб=4Sм. Отсюда Sм = 12/4=3
все верно... но нужно только уточнить что две стороны четырехугольников подобны по условию... а для двух остальных нужно доказывать.. из свойства медиан треугольника АВС делящихся в отношении 1:2
Помогите пожалуйста, сделайте видео, увидел задачу 4 в степени х + 10 в степени х = 25 в степени х .сразу ответ - логорифм ... Чё то там корень из 5 - 1 делить на 2 , точно не помню, вопрос в другом, пару лет назад было доказано что такое выражение только в степени2 может существовать, то есть 3 4 1000, степени не подойдут, но здесь степень в логарифма, объясните подробно что к чему, можно ли два логарифма возвести в любую степень и получить логарифм с такой же степенью?
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html
Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html со всеми
своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия.
Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
всё гораздо проще
четырехугольники ADCO и EOFB подобны по 4-м углам (углы D и В прямые, угол ОAD = углу OFB, угол АОС = углу EOF, угол DCO = углу OEB). коэффициент подобия 1:2. следовательно площади соотносятся как 1:4.
решил таким же образом
нет подобия по 4 углам....(тогда бы любые 2 прямоугольники были бы подобны)
@@zinlaggg они подобны. ибо ещё две перпендикулярные стороны подобны с одинаковым коэф. 1 к 2. Я через коэф. подобия решил. Ответы совпадают.
@@nikr9064 Да, но доказательство подобия в комментарии неверное
так же решил)
Красиво и изящно. Просто и доходчиво. Никаких высот, никакой тригонометрии. "Лепота!" (с).
В треугольнике ABC проведем третью медиану. Медианы разбивают треугольник ABC на 6 равновеликих треугольников, пусть площадь каждого равна x. Тогда Sadco=6x+2x=8x=12, откуда Seofb=2x=3
изящно
Одна проблема, надо доказать что медиана идет через точку О.
@@pepega3055 AF, CE - медианы + медианы пересекаются в одной точке
@@РафаэльГишваров Спасибо, я забил что три медиани треугольника пересекаються в одной точку.
Ага. Можно и третью медиану не проводить )).
Спасибо за красивое решение
Жёлтый четырёхугольник подобен синему по четырём углам. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия Sж/Sс=4, откуда Sс=12/4=3. Спасибо за видео.
Из всех математиков в ЮТУБе вы лучший. Спасибо. Четко, ясно и понятно. Без всякой рисовки и кривляния в ущерб сути обьяснения, как большинство. Лишний раз убеждаюсь, что человек обьясняющий математику сам должен быть хорошим математиком.
Все-таки какая красивая наука геометрия! Для её понятия нужно всё:логика, умение видеть, знание основ., умение применять теорию!
A beautiful geometric problem, with an elegant solution. Congratulations, professor!
Спасибо большое!
Всё просто и гениально. Ставлю лайк.
Что-то сложно коэфф.подобия вычисляли))), устный счет
12/4=3
@III kkk: Just to the same solution I have arrived for 5 min. Angles in ABCD correspond to the angles of OEBF but the linear scale is twice smaller in the second one. This means that the area is 12/2/2 = 3. (sorry that the answer is in English but I can not write in Russian despite that I understand it)
@@plamenpenchev262 watching mathematics in russian being an english speaker is a next level
No wonder if your native language is a 3rd one
@@ИванИванов-я9ы8н ? Български.
Спасибо за отличное объяснение.
Синий и жёлтый четырёхугольники подобны! Это можно почти сразу увидеть!
Это доказать надо, а не просто "увидеть".
Вау. Первая задача что я с ходу решил. Четырехугольники тождественны по углам и сторонам. Стороны в 2 раза меньше. Значит площадь в 4 раза меньше итого Ответ: 3
Теперь посмотрим...
Ну зачем разбивать на треугольники? Ээх.
Так же решила.
Тождество это нечто другое.
А тут подобие. Но что-то я не знаю признаков подобия четврехугольников это надо ещё доказать! Доказательство как всегда не тривиально.
Решал через треульники. Соединил центр с углом. Площадь всех треугольников равны. И также очевидно что треугольник = четверти площади прямоугольника. Отсюда получаем площадь нашей фигуры
Четырехугольник с площадью 12 подобен искомому четырехугольнику с искомой неизвестной прощадью. А площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия сторон. Здесь коэффициент равен 2. Квадрат 2=4. Площадь Sx=12/4=3.
фактически речь о подобии четырёхугольников - это неожиданно!)))
После проведения красных линий всё стало ло ясно визуально, что каждая соответствующая фигура отличается в 4 раза
А если совсем просто то из подобия четырехугольников (оно видно так как угол DAF = BFA (как углы при паралельных прямых) аналогично DCO=OEB Четырехугольники AOCD подобен FOEB коэффициент подобия 2 тогда площади относятся как 1 к 4 все .12/4=3
В треугольнике АВС проведите третью медиану. Он разобьется на 6 равновеликих. В треугольникеАСД будет тоже 6 таких же . В желтом 8 . В с нем - 2. Площадь синего в 4 раза меньше желтого. 12:4=3.
Площади белого и синего будут равны по стороне и высоте, а жёлтый почему им равен?
Потому, что медиана делит треугольник на два равных по площади половине исходного и одна из таких половинок включает в себя синий, белый и желтый, а другая два желтых и белый, т.о. площади желтого и синего равны
@@ДмитрийМешков-ъ4т жёлтая часть равна жёлтой, почему жёлтая равна белой и синей? В вашем комментарии нет ответа на вопрос.
@@огурецогурец-д7б Всё просто:
1. Площади белых треугольников равны, т.к. Sabf=Scbe, а синяя часть у них общая.
2. В треугольнике АВС медиана из вершины А, формирует треугольник из белого, желтого и синего треугольников (Б+Ж+С). Медиана из вершины С формирует треугольник из двух желтых и белого. Т.о. 2Ж+Б=Ж+Б+С, и Ж=С. Сорри за корявость изложения, но идея надеюсь понятна
Опечатка: Индиана из вершины В, а не из вершины А))
Красивая задача. Не уверен, что моё решение более рационально, но решал в уме (а, что там творится и чего только нет),но при вершине D легко построить четырёхугольний равный, наличиствующему при вершине B. Не трудно видеть и легко показать, что полученный четырёхугольник подобен четырёхугольнику площадь которого известна. Всячески старался избежать слова: - "гомотетия".
По свойству медиан в прямоугольном треугольнике , которые делят его на 6 равновеликих треугольников, решается проще.
Из всех таких мат.каналов ваш лучший
Построение дополнительных сторон, разбиение на треугольники, коэффициент подобия - целый набор геометрических приёмов для решения задач.
Когда глянул на задачу, понял, что четырёхугольники подобны с очевидным коэффициентом подобия 2. И думаю, тут задача на 30 секунд, что можно там делать 5 минут) Но забыл что площади соотносятся, как квадраты, и ответил неверно(
Красиво!
Класс!
Спасибо. ВСЕГДА интересно 🤔
уточняю !!!4-х угольники подобны по углам!!!
Главное побольше восклицательных знаков. У Вас признак подобия четырёхугольников вызывает ликование на три восклицательных знака? Или же чувство ликования по поводу обладания этим нереальным знанием тянет на три восклицательных знака?
Для 4- и более угольников из равенства углов не следует подобие.
Например, у всех прямоугольников углы по 90 градусов, но они нифига не подобны.
@@Uni-Coder +++
@@Uni-Coder , а если добавить что две стороны при прямом угле пропорциональны?
@@velodanc -Нет, контрпример легко рисуется- Вполне возможно, попробуйте доказать, будет интересно
Как хорошо решается через подобие треугольников. Спасибо
А можно предположить, что эти 4угольники подобны с коэффициентом 2(как минимум, по 2 сторонам, 2 углам) и понять, что площадь синего четырехугольника в 4 Раза меньше)
У 4-угольников подобие не работает. Например, у всех прямоугольников углы 90 градусов, но они же не подобны.
Подобие 4угольников возможно,если рассматривать из как два треугольника.
@@Uni-Coder а кто сказал, что четырехугольники подобны по 4 углам?
@@МаксимТкачёв-у7ю А разве нет? Ты споришь с утверждением или лишь хочешь чтобы было расписанное доказательство?
@@МаксимТкачёв-у7ю По 2 сторонам и 2 углам - это тоже сомнительно. Опять же, взять два произвольных прямоугольника - углы равны и противоположные стороны соотносятся одинаково, но подобия нет.
я в уме за 4 секунды решил)
Я так же, через свойство медиан треугольника
@@xXxOLISxXx Там видно что треугольники подобны, и стороны меньшего четырехугольника в 2 раза меньше сторон большего, следовательно его площадь в 4 раза меньше (2*2)
+
а я посмотрел и сразу дал ответ
Я вообще когда увидел, сразу ответ сказал, даже решать не пришлось.
Шикарное решение, изящное и легкое
Валерий, добрый день! Спасибо за задачу. Я решал ее без дополнительных построений. П теореме Минелая нашел отношение СО/ОЕ = 2 , далее посчитал площади AOE и COF. Поскольку S(AFB) = 1/4 S(Прямоугольника), то S(AOE) = S(COF) = 1/2 * 2/3 * S(AFB) = 1/12 S(Прямоугольника). Далее вычел из площади прямоугольника S (AOCB = 1/12 + 1/4) = 2/3 S(Прямоугольника) = 12, тогда S(Прямоугольника) = 18 Далее Искомая площадь это 1/4 - 1/12 от S(Прямоугольника) получилось 1/6 от S(Прямоугольника) = 1/6 *18 = 3
Красиво! Спасибо
А я знала, что эта задача решается через коэффициент гомотетии! Решила за минуту в уме.
Набросал два решения:1) Для дошкольников Известно,что три медианы делят треугольник на 6 равных по площади треугольника .Считаем исходная фигура содержит 8 треугольников. Ту которую надо найти содержит 2 треугольника. 12/4=3 . 2) известно,что точка пересечения медиан делит медиану в пропорции 1к 2.Если провести проекцию на прямую вы увидим что и она делит отрезок так же.эта проекция равна высоте маленького треугольника . Получается площадь треугольника 1/2 *1/3*1/2 от площади всей фигуры
подобие 4х угольников показывается через 2 противолежащих угла, площадь - через квадрат коэффициента подобия, который 1/2, все. Итого писанины на 3 строчки (2 строчки на каждый угол и 1 на вычисление площади)
Я вообще решил так:
Провёл АС, рассмотрел АВС: медианы в треугольнике делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Итого получаем:
АО/FO = CO/EO = AD/BF = CD/BE = 1/2 и четырёхугольники подобны по 4 сторонам.
Ну и дальше коэф. подобия в квадрате равен 1/4, соответственно искомая площадь 12/4 = 3
Мои действия:
1. Лайк (однозначно).
2. Поставил на паузу.
3. Приступил к поиску способа решения.
4. Уже понял, что задача решаема.
5. Ёлки-палки, как жаль, что надо ещё и делами заниматься!
В школе недостаточно объясняют смысл подобия . Коэффициент подобия сторон и площадей: треугольников, прямоугольников, четырехугольников, кругов... Но ,то что много примеров задач , это правильно. Хорошо бы, чтобы это усвоили наши ребята. От этого зависит успех нашей страны, России, в мире.
я еще не смотрел ответ, но будет 3.
я перепутал 12/4=4, но 12/4 будет 3.
Для планиметрии для наглядности стоит добавить графики в повествование. То есть выделять обозначаемые объекты рассмотрения.
Материал будет значительно лучше восприниматься
Красивая задачка
Правило отношения площадей действует и для других подобных фигур. Поэтому сразу смотрим соотношение подобных сторон (1:2) в подобных четырехугольниках и находим искомую площадь как соотношение 1:4
А где доказательство, что четырехугольники подобны?
@@mikaelhakobyan9363 по всем 4ем углам: 90град, напротив - вертикальные, остальная пара - как образованные секущими при параллельных линиях.
Здоровское решение и такое простое,обидно было,что я тоже провела эти два отрезка,но решение не увидела!
Можно проще. Площадь искомого 4- угольника в 4 раза меньше площади жёлтого 4- х угольника, т.к. они подобны(все углы одного равны всем углам другого, и стороны одного вдвое больше сторон другого- по условию.Отсюда: коэффициент подобия =1/2;,а X:12= (1/2)^2; т.е., Х=12/4=3.
Решил в уме за минуту. Ответ 3.
Решается просто через подобие 4-угольников. Сразу видно, что у них все соответствующие углы равны, значит прямоугольники подобны. Далее 2 соответствующие стороны отличаются в 2 раза, значит и остальные стороны тоже отличаются в 2 раза. Значит, площади отличаются в 4 раза. 12/4=3.
Четырехугольники подобны. Пропорция 1/2 по размерам сторон. Значит пропорция площади два в квадрате. Итого 12/4=3
Шутки ради попробовал это решить одной логикой:
Половина прямоугольника и какой то кусочек равно 12, поэтому предположил, что вся площадь равна 20
Треугольник ЕВС это четверть всей фигуры, так что равно 5
Этот треугольник делится на 2 части, нужный нам четырехугольник побольше и ненужный нам треугольник поменьше,
если в ответе целое число, то можно предположить, что нужная нам площадь это 3
посмотрел решение с ответом сошлось)
А можно было сказать что желтый и синий четырехугольник подобны (гомотетичны), коэффициент подобия равен 1/2. Значит площадь синего в 4 раза меньше и равна 3.
согласен. не зачем было развозить решение на лист
Пишу в середине ролика, подобие было понятно изначально, но ведь одной площади мало, Нада знать хотяб ещё одну сторону или другой параметр, я думаю невозможно найти площадь зная один кусок из трёх, нужен угол или длина
отлично! очень понравилось. больше такой геометрии и можно еще одну-две задачи на "сушенные фрукты" например, эту: фрукты содержат 80% воды. сколько процентов воды должны содержать сушеные фрукты, если их масса должна составлять 45% от массы свежих?
масса воды =80/100 m=4/5m в свежих фруктах ...
m55/100 исчезнувшая вода в сушеных фруктах... тогда масса оставшей воды в сушеных фруктах равна
мводы=4/5m - 55/100m
масса усохших фруктов равна М=m/4 + 4m/5 - 55m/100
процент х будет определяться тогда из уравнения
М / 100 = мводы/ х
80% по массе или по объему? если по массе, то сухой остаток =100%-80%=20%, воды в сухих фруктах 45%-20%=25% от массы свежих или 25*100/(25+20)%=55.6% от массы сухих
За 10 секунд решил, без бумажки. Но, наверное, порядок- это правильно.
Жёлтый четырёхугольник переходит в синий при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -1/2, поэтому площадь синего в 4 раза меньше, чем у жёлтого, т.е. 3.
Четырехугольник EOFB подобен ADCO и вписан в прямоугольник который в 4 раза меньше прямоугольника ABCD следовательно площадь искомого четырехугольника меньше известного в 4 раза и равна 3.
Очевидно, что все углы четырёхугольников равны: 90, противолежащий и два смежных. 2 прилежащих к прямому углу стороны в 2 раза меньше, значит площадь меньше в 4 раза. Ответ: 3
да там ответ 3. Стороны в 2 раза меньше, значит площадь меньше в 4 раза
Устный счет. Площадь каждого из белых треугольников (1/2*1/3/2)*S=S/12; (S - площадь прямоугольника). Площади каждого из больших треугольников (1/2*1/2)*S=S/4. Далее: 12=S-(S/4+S/12)=2S/3; x=S/4-S/12=S/6. x:12=(S/6):(2S/3);
x=3
Видно, что фыгуры в маштабе 1 : 2 по наружным размерам. тогда площадь менньшей фыгуры 2 ^ 2 = 4 раза меньше, тo есть 3.
я конечно ошибаюсь, но может можно было и проще, доказать подобие четырехугольников ABCO и EOFB и в ответе 12/4=3?
Проведем обе диагонали прямоугольника. Получим маленькие треугольники. Все они равновелики по площади.
Желтая область (если ее разрезать аналогичным образом) состоит из 8 маленьких треугольников.
Отсюда площадь маленького треугольника равна 12/8 = 1.5
Искомая площадь равна 3.
У вас очень изящиный способ, я пошел намного сложнее, продлил АF, выразил площади через подобие и пришел к ответу, вычислений было много но ответ сошелся
Да, думаю, доп. построения- это лишнее.Очевидно, что 4-х угольники подобны, а коэфф. подобия=1/2(по усл.) Значит, площадь малого будет= 1/4 площ. большого...12: 4=3!
Обозначим белый треугольник за S. Можно доказать ,что AOE и CFO равны(значит наша фигура ,дальше через смежные треугольники показать ,что Sofbe-это сумма площадей двух белых треугольников ,а значит 2S.Проведём диагональ АС.AOE смежен с АОС ,их площадь будут относиться 2:1(медиана),также 2S.Площадь половины равна 6S или 12-2S=>S=3/2.Значит наша площадь равна 3.
Финал решения можно и по-проще сделать, ибо после доказательства подобия треугольников, сразу можно делать вывод о подобии четырёхугольников (с известной площадью и с неизвестной) - все углы попарно равны, стороны попарно пропорциональны (коэфф. 1/2)
есть ещё более сложный вариант решения, но из него следует целая теорема, не знаю, существует ли такая. Дело в том, что удивительным образом точка пересечения отрезков, соединяющих вершины и середины отрезков лежит точно на диагонали прямоугольника. Более того эта точка всегда будет лежать на диагонали, если соотношение точек, лежащих на сторонах прямоугольниках и делящих их на отрезки будут пропорциональны друг другу. В данном случае так и есть, точки эти делят стороны прямоугольника в одном соотношении 1:2. Используя это свойство можно решить задачу из подобия треугольников, которые составляют четырехугольник площадью 12 и искомого четырехугольника. Коэффициент подобия такой же как и писали другие, 1:4. Если на этом же чертеже соединять точки 1:3, 1:4 и 1:5 легко в этом убедиться даже без линейки, просто ручным построением. Есть подозрение что это справедливо не только для прямоугольника, но и для параллелограмма
А общее решение для произвольных точек Е и F?
Если соединить В и О, потом продлить это получим медиану в треугольнике АСВ (медианы пересекаются в одно точке) .Так как диогонали прямоугольника пересекаясь делятся пополам ,то медиана ВО есть часть диогонали ВD .Получаем две пары подобных треугольников AOD - FOB и EOB-COD. Коофициент подобия 2 (E и F делят пополам стороны ) Четырехугольник AOCD подобен EOFB с тем же коофициентом 2 .Значит площади фигур относятся как квадрат коофициента подобия .Поэтому площадь искомого четырехугольника в 4 раза меньше чем 12 ,т.е. равна 3 !
Искомый 4 - угольник подобен жёлтому 4 - х уг- ку, т.к. у них все углы равны.К тому же, их стороны относятся как 1÷2; отсюда коэфф. подобия=1/2×1/2=1/4. Значит, искомая площадь равна 12/4=3.
Triángulos AOE y OEB tienen misma base y altura, por lo tanto misma área (X). Del mismo modo, triángulos COF y OFB tienen misma área (Y). Triángulos ABF y CEB tienen misma area: la cuarta parte del área del rectángulo (Z/4). Área ABF =2X + Y. Área CBE = 2Y + X. Entonces 2X+Y=2Y+X. Entonces X=Y. Área del triángulo CEB es 3X, y es también una cuarta parte del rectángulo, entonces 3X=Z/4. Área del rectángulo Z=12 +4X = 12 + Z/3. Entonces (2/3)Z =12. Z=18.
Тут можно применить теорему минелая BF/FC * CO/OE * AE/EB = 1. Задача быстрее решается
Валерий, вы написали, что S четырехуг. BFOE равна ?, но как нам говорили, так писать нельзя, ибо вы показываете, что площадь равна вопросу, тогда зачем ее искать. Пишется S-?
Чистая условность. А то что Вам говорили, это как "объяснять" ударение в слове "звонИт" используя слово "вОнь".
Все проще гораздо. Четырехугольники подобны, так как они оба выпуклые и все углы у них равны, и пропорциональны стороны прямого угла. Так как стороны по условию отличаются в два раза, то коэф.подобия равен 2 (или 1/2). Отношение площадей равно квадрату к.подобия. отсюда искомая площадь равна 3.
Только ответ 3. Блин, все не контролируют, что пишут или говорят. А остальное все верно.
Площадь треугольника ОЕВ равен площади треугольника АОЕ
S_OEB = S_AOE, а S_OFB=S_OFC, отсюда следует S_EOFB = S_AOE + S_OFC,
из равных по площади треугольников ACE и ЕСВ также получаем что S_ACO = S_EOFB ... то есть площадь половины прямоугольника равна S_ACB = 3× S_EOFB ... тогда S_ADCO = 4×S_EOFB =12 , а S_EOFB= 12/4=3
Точка О это точка пересечения медиан тр-каАСВ!Они делят тр-к на шесть равных!Площадь АОС =1/3 АДС или 12/4*1=3 А АОС и ЕОФВ равновеликие!
Прекрасное решение
@@АльбинаКрючкова-б3н Спасибо!Волков на меня злится,я позволяю себе его критиковать!Правда редко!
Не читала предыдущие.
Комменты. Но даже визуально видно, что искомая площадь составляет 1/4 часть 12. Т.е. 3
самое сложное - это провести нужные дополнительные линии! я не угадал)
Писал кто или нет. но если к АС провести ЕЩЕ ОДНУ МЕДИАНУ. полученные 6 треугольников равны между собой. И мы узнаем что искомая площадь это 1/3 от ABC и ровна ACO. И если взять ACO=FBEO=X, то AOCD=4x, ну и как бы все... (используем свойство пересечения медиан в треуголнике, делят на 6 равных треугольника)
По-моему, можно проще решить.
Рассмотрев треугольник ACB, можно увидеть, что AF и EC - это две его медианы, которые точкой O делятся в соотношении 1:2.
Обозначим a сторону AD, и b сторону AB. Тогда пл. всего прямоугольника ab=12+S(AOE)+S(CEB).
AOE - высота на сторону AE равна 1/3*a, а сама сторона AE=1/2b. Значит, S(AOE)=1/2*1/3a*1/2b=1/12*ab
CEB - S(CEB)=1/2*1/2a*b=1/4ab.
Выходит, что ab=12+1/12*ab+1/4*ab. Отсюда ab=18.
S(EOFB)=ab-S(ADCO)-S(AOE)-S(COF). S(COF)=1/2*1/2a*1/3b=1/12ab.
S(EOFB)=18*(1-1/12-1/12)-12=3.
Спасибо за задачу!
Когда говорите желательно показывать точки о которых Вы говорите,а то не успеваешь улавливать!Пожалуйста!Спасибо!
Стройно и изящно.
Почему нельзя было разделить медианами большой прямоугольник на 12 равных по площади треугольников
Интересно посчитать, сколько комментаторов "проще решили" задачу через подобие 4-угольников по равенству углов.
(Меня тоже можно посчитать, я тоже сначала по глупости написал такой комментарий, но потом удалил).
Между прочим, хорошая тема для отдельного видео.
Я бы сразу подобие четырехугольниковдоказал, углы понятно что равны, стороны те что при прямом угле по условию, 1 к 2 а косые стороны, тоже такой же коэф подобия, так как являются частями медиан одглшл треугольника, а значит точке пересечения делятся тоже 1 к 2.
а я так решила. S1 =1/2 AD*DC. S4=1/2EB*DF, но так как катеты 4 треугольника вдвое меньше первого, то S4=1/4 AD*Dc. Поскольку треугольники подобны, то площадь первого четырехугольника в 4 раза больше четвертого. Значит 12:4=3
Зачем так громоздко? Синий 4-угольник подобен жёлтому с коэф 1/2, соответственно площадь 1/4.
Все понятно Как я понял (еще даже не вспомнил про это): "средняя линия для любого треугольника равна половине противолежащей (и обязательно параллельной?) стороны"? Так? Есть ли видео у Валерия Волкова про это свойство? (это я себе скорее задаю вопрос и надо поискать)
Чому не розглянути подібність чотирикутників (відповідні кути рівні) з коефіцієнтом подібності 1/2.? Тоді площа визначається одразу s1/s2= (1/2)^2.
S2= 3.
Гениально!
Почти как кувики и Минимум геометрии.
Надо провести ОB и увидеть, что все оба тр-ка на АВ и оба тр-ка на СВ имеют равnую площадь.
Затем увидеть, что Желтый чет-к (площади 12) = это чт-к АДСЕ - белый тр-к АОЕ = чт-к АСFВ - белый тр-к CОF. Далее чт-к АДСЕ = Весь пр-к - тр-к СЕВ = Весь пр-к - 1/4 (Всего пр-ка) и то же самое про чет-к АСFВ. Значит S(АДСЕ) = 3/4 ( S Всего пр-ка) = S(АСFВ) == > S ( белый тр-к АОЕ ) = S( белый тр-к CОF). Но так как S ( белый тр-к АОЕ ) = S ( Синий тр-к ЕОВ ) и S ( белый тр-к CОF ) = S ( Синий тр-к ВОF ), то все белые и синие тр-ки имеют равную площадь. тр-к AFВ - это сумма трёх тр-ков сравной площадью, значит площадь каждого = 1/4 (Всего пр-ка) / 3 = 1/12 (Всего пр-ка), а Желтый чет-к занимает 2/3 (площади Всего пр-ка) . Тогда площадь Всего пр-ка = 18, а ГОЛУБОЙ чет-к имеет площадь 18 * 2 * 1/12 = 3.
Очень заумно....
А я не понял, чего тут решать-то? Уже только глядя на заставочную картинку к этому видику видно, что синий 4угольник подобен желтому (это просто очевидно невооруженным глазом) и горизонтальная и вертикальная стороны у желтого в два раза короче, чем у синего. Площади подобных фигур пропорциональны квадрату их линейных размеров. Стало быть, желтый меньше в 4 раза. 12/4 = 3. Решение занимает 5 секунд.
Можно ли их условий найти площадь четырёхугольника ABCD?
Можно гораздо проще
4-угольники подобны по всем углам (хз, какие там подобия, но углы у них равны)
И т.к. площади => k².
Стороны пропорциональны друг другу и их отношение равно 2
=> k² = 4
=> Sб=4Sм. Отсюда Sм = 12/4=3
все верно... но нужно только уточнить что две стороны четырехугольников подобны по условию... а для двух остальных нужно доказывать.. из свойства медиан треугольника АВС делящихся в отношении 1:2
Помогите пожалуйста, сделайте видео, увидел задачу 4 в степени х + 10 в степени х = 25 в степени х .сразу ответ - логорифм ... Чё то там корень из 5 - 1 делить на 2 , точно не помню, вопрос в другом, пару лет назад было доказано что такое выражение только в степени2 может существовать, то есть 3 4 1000, степени не подойдут, но здесь степень в логарифма, объясните подробно что к чему, можно ли два логарифма возвести в любую степень и получить логарифм с такой же степенью?
Подобные фигуры, коэф. 2.
S=12:2²=3.
Стороны меньшего четырёхугольника в 2 раза меньше сторон большего четырёхугольника, значит, 1/4 от 12.
Ничьо не понятно, но очень интересно
Ну, хоть с путем решения задачи я угадал.
Невнимательно посмотрел, все правильно, люблю задачи где известна одна переменная)))