مقدمة النهايات

تعريف :-
إذا كان لدينا دالة ص - د ( س ) وكان أعددا حقيقيا لا يشترط أن يكون في
مجال تعريف الدالة فإن التعبير :
نهاد (س ) - ل يعنى أن د ( س ) تقترب من العدد ل كلما اقتربت من من العدد أ بحيث يمكن جعل الفرق المطلق | د ( س ) - ل | صغيرا كيفما نشاء بجعل الفرق المطلق اس - 1 | صغير صغرا كافيا .
تقترب من أ لا دخل له بالقيمة د ( أ ) . ففى المثال التمهيدي السابق كان للنهاية قيمة حقيقية تساوى ٧ بينما الدالة نفسها غير معرفة عند س = ٢ . فهناك حالات تكون فيها د ( أ ) غير معرفة ولكن نهاد ( س ) موجودة بينما هنالك حالات فيها د (أ) معرفة ولكن نها د (س) غير موجودة أو إن وجدت لا تساوى د ( أ ) . وفي بعض الحالات تكون د ( أ ) موجودة وتساوى نها د(س)
ما وجود النهاية نهاد ( س ) يقتضى أن تساوى عددا حقيقيا معينا . أما إذا كانت هذه النهاية لها أكثر من قيمة مختلفة أو كانت أكبر من أي عدد يمكن أن نتصوره فإننا نقول إن النهاية ليس لها وجود . وقد اتفق على كتابتها على النحو التالي :
00
نهاد (س)
إذا كانت ليس لها قيمة محدودة
مثال (۱) :
إذا كان :
)د (س
فإن :
س + ۱ ، س ۱۷
۲ س + ٥ ، س 15
نها د ( س ) غير موجودة
وذلك لأنه إذا اقتربت من من ١ من جهة اليمين فإن قيمة الدالة تقترب من 7 أما إذا اقتربت س من ١ من جهة اليسار فإن قيمة الدالة تقترب من ٢ .
( لاحظ أن قيمة د ( ۱ ) - ۷ معرفة ) .
مثال (۲) :
إذا كانت
د (س) - س ۲
00
س + ۲ فإن
أي غير موجودة وذلك لأنه كلما اقتربت سن من ۲ شيئا فشيئا تزداد قيمة
د ( س ) عدديا بصورة غير محدودة .
من الأمثلة التمهيدية السابقة يتضح لنا . أنه ليس هنالك علاقة بين قيمة الدالة د ( س ) عند أوبين نهاد ( س ) ، فقد تكون الدالة معرفة عند أ
وليس لها نهاية عندما تؤول س إلى أ ، كما قد تكون الدالة غير معرفة عند | بينما تؤول فيها إلى نهاية محددة عند اقتراب من من أ .
ويمكننا التوصل إلى بعض النظريات أو القواعد التي تساعدنا على إيجاد النهاية بصورة سريعة دون أن نلجأ إلى طريقة الرسم أو تكوين الجداول . فالدالة الثابتة د ( س ) - ٣ مثلا لا تتغير قيمة د ( س ) بتغير قيم من وهذا
يعنى أن :
نهاد ( س ) - ٣ لأي عند حقيقي