J'adore cet exo je trouve ça super élégant ! Petite question par contre j'essaie de trouver un exo similaire en remplaçant le caractère antisymétrique par le caractère symétrique positif. J'arrive alors à montrer que la norme des solutions est nécessairement croissante. En revanche, j'ai rien trouvé concernant la réciproque... Auriez-vous alors une idée ???
Bonjour. Y a pas plus simple pour le sens direct ? En écrivant le carré de la norme comme un produit scalaire de dérivée nulle ? J’arrive à T X (T A + A) X =0 . Avec T pour transposée bien sûr
en se ramenant à une norme quelconque par équivalence en dimension finie, ça ne me paraît effectivement pas être une mauvaise idée (sous réserve bien sûr d'être capable de calculer correctement la différentielle du produit scalaire sans erreur xD)
Cette equation en dimension 3 en peux interprété physiquement La vitesse de point en rotation Est egal a omega vectoriel X= MX M est une matrice antisymétrique Chaque matrice antisymétrique symétrique en dimension 3 peux c écrire comme un produit vectoriel
On ne pourrait pas faire plus simple, sans faire appel à l'exponentielle ? On a (||X||²)' = 2(X',X) = 2(AX,X) Donc si A est antisymétrique, toutes les solutions on une norme constante car (AX,X) = (X, A^T X) = -(AX,X). (et car R est un intervalle donc dérivée nulle = fonction constante) Réciproquement, pour tout vecteur v, il existe une solution qui vaut v à t=0 (Cauchy-Lipschitz) donc si (AX,X) = 0 pour toute solution, (Av,v) = 0 pour tout v donc (v,(A + A^T)v) = 0 pour tout v donc A +A^T = 0 d'après le theorème spectral.
J'ai fait pareil. Par contre, je n'ai pas l'impression qu'il soit nécessaire d'invoquer le thm spectral à la toute fin. (Av;v)=0 suffit déjà pour conclure quant à l'Antisymétrie de A (en calculant (A(u+v);u+v) )
Pour la fin du i => Ii est ce qu'on pouvait justifier par la définie positivité du produit scalaire ? En fait, puisque qu'on a que pour tout Xo, (Xo|BXo) = 0 donc BXo = 0 non ?
pas vraiment ! le fait que le produit scalaire est défini fait que si = 0, alors X = 0, ici on a la matrice B qui vient perturber ! un bon exemple pour se convaincre que ça marchera pas serait de prendre B une matrice de rotation de 90° dans R² et le p.s euclidien, dans ce cas BX sera toujours orthogonal à X (il formera un angle de 90° avec ce dernier), donc leur p.s est nul, pour autant BX n'est pas nécessairement nul ! (en fait on est même sur qu'il ne l'est pas du moment que X ne l'est pas non plus)
Fellicitations professeur. Je voulais juste dire pour conclure que A+A^t est nulle vous auriez pu mettre à la place de xo une somme qq x+y . Ainsi vous obtiendrez x^t B y=0 . Cela implique que B y=0 . y ętant qq on deduit que B est nulle. Une autre chose vous auriez pu deriver la norme au carrė. Le development que vous avez effectue n est qu une derivation en 0 en fin de compte. Le thm spectral que vous avez utilise c est une artillerie sophistiquee. En tt Cas merci bcp pour pour ce que vous faites dans votre chaìne. BRAVO. Mes salutations du Marrakech ❤
@@chivodesumsumuert je suis pas sur justement car je suis en PC on n'a pas vu les exponentielles de matrice, l'exercice reste compréhensible mais du coup j'imagine plutot MP
Hello ! Merci beaucoup pour le tip, déjà ! Tu peux me contacter de deux manières : Via le server discord, ici : discord.gg/6QhHpzx7 Par mail, là : f.mathsstar@gmail.com :)
[SPOILER]: En dimension fini si P est un projecteur alors tr(P)=rg(P) en effet on peut le voir lorsqu' on diagonalise P. P est semblable à une matrice diagonale formée de 1 et de 0 et le nombre de 1 qui est égal au rang et aussi égal à la trace. Or le rang d une matrice est un entier naturel et sqrt(2) et sqrt(3) sont des irrationnels et lé je bloque un peu mais j'imagine que c est l'idée
Tu as alors n = L×√2 + R×√3 Avec n, L et R des entiers. Le fait que √2 et √3 soient irrationnels et surtout incommensurables impose que n'importe quelle combinaison linéaire à coefficient rationnel reste un nombre irrationnel. Très bon début d'idée Edit: tu as évidemment n=rg(p) L=rg(q) R=rg(v)
ensuite il suffit de montrer qu'il n'existe pas de combinaisons linéaire à coefficient entier (non nuls) de sqrt(2) et sqrt(3) qui est égale à un entier, ce n'est pas trop dur
Peut être un raisonnement par l absurde sur tr(p). Supposons par l absurde tr(p) diffèrent de 0, alors tr(p) est égal à un irrationnel ce qui est absurde car c'est un entier, donc tr(p)=0 (l argument a l air vrai mais je n est pas de justification pour tr(r)sqrt(2)+tr(q)sqrt(3) irrationnel
mais est ce que ce type de théorème se comprend intuitivement ? Parce que souvent dans ces exos on fait des calculs et tout se passe bien, mais on comprends pas vraiment pourquoi le résultat est vrai
@@chivodesumsumuert Pourquoi pas en dimension 3 pour l'intuition géométrique ? Et je ne pense pas qu'intuiter doit se restreindre à l'intuition géométrique. On peut intuiter certaines choses lorsque l'on maîtrise bien le cadre de l'énoncé, à force d'habitude. Pour moi l'intuition se construit et est importante, même si c'est peut-être pas le plus efficace.
Ici il se cache un truc plus profond. e(A) est une rotation, et A est en fait une rotation infinitésimale. Cf en.m.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_rotation_matrix Il y a un gros lien avec la théorie de Lie. Les matrices antisymétriques sont des rotations infinitésimales et les rotations préservent les normes. C’est ça l’intuition géométrique derrière l’exo
@@kakarikonlebg2405 peut-etre plus explicite encore sur cette page: en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group#Lie_algebra et la section suivante sur l'exponential map, qui en pratique prouve le resultat de l'exo: en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group#Exponential_map . En dimension quelconque: en.m.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_group#Lie_algebra
Continue ce niveau (centrale-mines) d'oral je trouve ça super intéressant !
Top premier comm merci t'es formidable ! Salut depuis le Maroc on te suit!
J'adore cet exo je trouve ça super élégant ! Petite question par contre j'essaie de trouver un exo similaire en remplaçant le caractère antisymétrique par le caractère symétrique positif. J'arrive alors à montrer que la norme des solutions est nécessairement croissante. En revanche, j'ai rien trouvé concernant la réciproque... Auriez-vous alors une idée ???
From Morocco ❤
Bonjour. Y a pas plus simple pour le sens direct ? En écrivant le carré de la norme comme un produit scalaire de dérivée nulle ? J’arrive à T X (T A + A) X =0 . Avec T pour transposée bien sûr
en se ramenant à une norme quelconque par équivalence en dimension finie, ça ne me paraît effectivement pas être une mauvaise idée (sous réserve bien sûr d'être capable de calculer correctement la différentielle du produit scalaire sans erreur xD)
Oui carrément, on peut faire ça, ça évite de faire intervenir les exponentielles
Très intéressant comme vidéo.
Cette equation en dimension 3 en peux interprété physiquement
La vitesse de point en rotation
Est egal a omega vectoriel X= MX M est une matrice antisymétrique
Chaque matrice antisymétrique symétrique en dimension 3 peux c écrire comme un produit vectoriel
On ne pourrait pas faire plus simple, sans faire appel à l'exponentielle ?
On a (||X||²)' = 2(X',X) = 2(AX,X)
Donc si A est antisymétrique, toutes les solutions on une norme constante car (AX,X) = (X, A^T X) = -(AX,X). (et car R est un intervalle donc dérivée nulle = fonction constante)
Réciproquement, pour tout vecteur v, il existe une solution qui vaut v à t=0 (Cauchy-Lipschitz) donc si (AX,X) = 0 pour toute solution, (Av,v) = 0 pour tout v donc (v,(A + A^T)v) = 0 pour tout v donc A +A^T = 0 d'après le theorème spectral.
Merci pour toutes ces vidéos je dois dire dans un premier temps !
C'est comme ça que j'ai fait aussi, par contre le calcul de la dérivé, il faut pas diviser par la norme de X pour la formule soit juste ?
Ah nan pardon tu dérives la norme au carré
J'ai fait pareil. Par contre, je n'ai pas l'impression qu'il soit nécessaire d'invoquer le thm spectral à la toute fin.
(Av;v)=0 suffit déjà pour conclure quant à l'Antisymétrie de A (en calculant (A(u+v);u+v) )
@@coursmaths138Oui jai pensé aussi à evaluer en (ei + ej) et (ei - ej) mais c'était plus court d'écrire thm spectral 😂
Pour la fin du i => Ii est ce qu'on pouvait justifier par la définie positivité du produit scalaire ? En fait, puisque qu'on a que pour tout Xo,
(Xo|BXo) = 0 donc BXo = 0 non ?
pas vraiment ! le fait que le produit scalaire est défini fait que si = 0, alors X = 0, ici on a la matrice B qui vient perturber ! un bon exemple pour se convaincre que ça marchera pas serait de prendre B une matrice de rotation de 90° dans R² et le p.s euclidien, dans ce cas BX sera toujours orthogonal à X (il formera un angle de 90° avec ce dernier), donc leur p.s est nul, pour autant BX n'est pas nécessairement nul ! (en fait on est même sur qu'il ne l'est pas du moment que X ne l'est pas non plus)
Fellicitations professeur. Je voulais juste dire pour conclure que A+A^t est nulle vous auriez pu mettre à la place de xo une somme qq x+y . Ainsi vous obtiendrez x^t B y=0 . Cela implique que B y=0 . y ętant qq on deduit que B est nulle.
Une autre chose vous auriez pu deriver la norme au carrė. Le development que vous avez effectue n est qu une derivation en 0 en fin de compte.
Le thm spectral que vous avez utilise c est une artillerie sophistiquee. En tt Cas merci bcp pour pour ce que vous faites dans votre chaìne. BRAVO. Mes salutations du Marrakech ❤
Je suis d'accord, le théorème spectral était un peu excessif ! Merci beaucoup pour votre retour ! :)
@@MathsEtoile Excellente chaîne Bravo
Merci pour la vidéo
Ce sont des exercices d'oraux qui s'adressent particulièrement à quels filières de CPGE ?
MP
MP mais son exo est faisable avec les outils PSI PC
@@chivodesumsumuert je suis pas sur justement car je suis en PC on n'a pas vu les exponentielles de matrice, l'exercice reste compréhensible mais du coup j'imagine plutot MP
J'ai une idée de concept sympa : prend un problème simple niveau collège lycée et résoud le avec des outils de maths sup
Merci pour la vidéo !
Est ce que ça serait possible de te contacter sur les réseaux à propos d’un exercice d’arithmétique, qui me paraît intéressant.
Hello ! Merci beaucoup pour le tip, déjà !
Tu peux me contacter de deux manières :
Via le server discord, ici : discord.gg/6QhHpzx7
Par mail, là : f.mathsstar@gmail.com
:)
[SPOILER]:
En dimension fini si P est un projecteur alors tr(P)=rg(P) en effet on peut le voir lorsqu' on diagonalise P. P est semblable à une matrice diagonale formée de 1 et de 0 et le nombre de 1 qui est égal au rang et aussi égal à la trace.
Or le rang d une matrice est un entier naturel et sqrt(2) et sqrt(3) sont des irrationnels et lé je bloque un peu mais j'imagine que c est l'idée
Jpense si tu poses l'égalité des rangs/traces que tu mets tout au carré tu peux avoir qqchose
Tu as alors n = L×√2 + R×√3
Avec n, L et R des entiers.
Le fait que √2 et √3 soient irrationnels et surtout incommensurables impose que n'importe quelle combinaison linéaire à coefficient rationnel reste un nombre irrationnel.
Très bon début d'idée
Edit: tu as évidemment n=rg(p)
L=rg(q)
R=rg(v)
ensuite il suffit de montrer qu'il n'existe pas de combinaisons linéaire à coefficient entier (non nuls) de sqrt(2) et sqrt(3) qui est égale à un entier, ce n'est pas trop dur
Peut être un raisonnement par l absurde sur tr(p).
Supposons par l absurde tr(p) diffèrent de 0, alors tr(p) est égal à un irrationnel ce qui est absurde car c'est un entier, donc tr(p)=0 (l argument a l air vrai mais je n est pas de justification pour tr(r)sqrt(2)+tr(q)sqrt(3) irrationnel
@@olivie2chekarglas707 pourquoi ton "impose" serait vrai
A 6 min30 on peut tout diviser par t ce qui donne un petit o(1) c'est plus simple je trouve.
Salut, je rappelle que Ginette pisse sur Hoche.
Bisous.
👍👍
mais est ce que ce type de théorème se comprend intuitivement ? Parce que souvent dans ces exos on fait des calculs et tout se passe bien, mais on comprends pas vraiment pourquoi le résultat est vrai
c'est des maths pas de la physique l'intuition tu l'as en dimension 2 pas plus mdrr
@@chivodesumsumuert Pourquoi pas en dimension 3 pour l'intuition géométrique ?
Et je ne pense pas qu'intuiter doit se restreindre à l'intuition géométrique. On peut intuiter certaines choses lorsque l'on maîtrise bien le cadre de l'énoncé, à force d'habitude. Pour moi l'intuition se construit et est importante, même si c'est peut-être pas le plus efficace.
Ici il se cache un truc plus profond. e(A) est une rotation, et A est en fait une rotation infinitésimale. Cf en.m.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_rotation_matrix
Il y a un gros lien avec la théorie de Lie.
Les matrices antisymétriques sont des rotations infinitésimales et les rotations préservent les normes. C’est ça l’intuition géométrique derrière l’exo
@@TheDjArt incroyable, merci !
@@kakarikonlebg2405 peut-etre plus explicite encore sur cette page: en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group#Lie_algebra et la section suivante sur l'exponential map, qui en pratique prouve le resultat de l'exo: en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group#Exponential_map . En dimension quelconque: en.m.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_group#Lie_algebra
Pour montrer que AT+A=0 on aurait pas pû juste évaluer l'égalité X0T(AT+A)X0=0 avec XO=(1,1,1,...,1) ? Vu que c'est vrai pour tout X0
oui je pensais pareil, enfin plutot on peut le décomposer sur tous les vecteurs de la base canonique Rn et je crois que ça marche
@@verneydelhez305 tu obtiens seulement que les termes diagonaux sont nuls, ce qui revient donc à son idée sur les valeurs propres dans la bonne base
Une matrice B telle que b11=1, b12=-1 et les autres coefficients sont nuls vérifie l'égalité pour ton X0 sans être la matrice nulle
@@abcdef71167 c'est vrai my bad