任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって ① m+0=m ② m+s(n)=s(m+n) である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して ③ 0+n=n である。さらに少々面倒な計算の後 ④ s(m)+n=s(m+n) も導ける。これら①から④によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち
【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。
（証明）上記①から④によるが、少々長くなるので文献におまかせ。
[13]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0 ４．「１＋１＝２」の証明 上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、 （＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』 ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。
6:09
0:30 さりげなく通行止めチャーシュー
0:30しゅう一瞬の葛藤
6:09 ﾂﾗﾗｶﾞｸﾙﾏｴﾆ､ﾇﾊﾊﾊﾊｧｧｧ!!!
1:33栄光のタクティクス
6:10
ツララガクルマエニ、ヌハハハハ！！
1:35 チャーシュー型snowで草
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地面幸せ
0:31さらって行われるえげつない行為
1:34しゅう SNOWわかるんだ…
6:09 草
1:17しゅう結婚フラグ
1:06 ここまじですき
0:31
さらっと閉じ込めていくのほんまワロタwww
0:30疲れから来た意地悪
0:40マリオカート
6:14 疑惑の判定
毎日投稿感謝
0:58 短期間で何があったwww
0:40 マリオカートって行ってるの草w
1:33栄光のたくてぃっ可愛いw
2:01こんなことある?ww
6:09 氷柱が来る前に！ヌハハハハァ！
マジ草
1:09ここの編集好き
6:08 早くも100万人まとめ行きの場面
6:07、100万人まとめ確定でしょww
0:29 ここさりげなく害悪プレーしてて草
0:28でもしゅうタコパする友達おらんやん
しゅうさん今日もありがとう
0:30
しれっと卑劣な行為してて草
この時間のしゅうは激エブだね
0:30 どうどうとするしゅう
さすがw
0:41「クリティカルジャスファイトー」を思い出した
0:39 マリオカートじゃなくて草
6:11しゅうってこういうの多いよな笑(奇跡的な)
今日ずっとしゅうのWii Partyみてたから動画アップしててうれしっっ
0:31しれっといかりをぶつけるしゅうかわいい
0:57のガッキー5つ子妊娠、石原さとみブチギレて新型スイッチ破壊でめっちゃ笑ったww
同じ笑笑
最初ガッキーをワッキーと聞き間違えて腹死んだ
この動画で1番笑ったw
1:28 壮大なフラグ
1:33 栄光の T A K U T Iッッッ すこ
きたぞやばすぎるコース
3:30
ここでマリオキノコ取ってないから早く行けて
4:28
ここでブロック壊せなくて詰んだからギブアップしたんじゃね？
1:01 ここマジでおもしろい
7:08
「x＝2って言われるくらいすごい」
これを理解するのが我々の仕事
@増田 コメ欄には毎日いるんだけどなぁ
動画に出てこねぇなぁ
０．記号の説明
n∈Nは「nは集合Nの元」または「nは集合Nに含まれる」ことを意味し、X⊂Yは集合の包含関係、すなわち「XはYの部分集合」であることを表す。またf○gは「写像fと写像gの合成」を意味する。s(N)は「写像sによるNの像」を表す。
１．自然数の体系
まず、自然数とは何かと突き詰めていくと、次の公理を満たすものであることが分かる。
集合N、その中の一つの元0（今は便宜上集合Nにゼロを含めて考える。そうしたところで「１＋１＝２」の証明には何ら差し支えない）、および写像 s：N→N の組 (N,0,s) が次の公理を満たすとき、Nの元を自然数と呼ぶ：
(P1) s：N→Nは単射である。
(P2) 0はs(N)に含まれない。つまり任意のn∈Nに対してs(n)≠0
(P3) S⊂Nで、0∈Sかつs(S)⊂S（すなわちn∈Sである任意のnに対してs(n)∈S）ならば、S=Nである。
これを「Peanoの公理」という。これから先の話はこれを前提として話を進める。
新しい用語として、n∈Nに対してs(n)はその「後継者」、写像sは「後継者写像」と呼ぶことにする。
[12]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
２．帰納的定義の原理
以下に述べる定理が、これからの全てのキーとなる。この証明のよりどころは上記Peanoの公理のみである。
【定理１】Xをひとつの集合とし、Xの一つの元xと写像t：X→Xとが与えられたとする。その時次の性質（１）（２）を持つような写像f：N→Xがただ一つ存在する：
（１） f(0)=x
（２） 全てのn∈Nに対して f(s(n))=t(f(n))
（証明）本来これが全てのよりどころなので、証明すべきであろうが、あまりにも長く難解なので、証明はfiubengaさんの言うとおり本に譲りましょう。
この定理から特に、Peanoの公理の完全性、すなわち公理を満たすべき体系は一意的であることも示される。
３．自然数の加法
定理１を用いると、自然数の体系に加法を定義することが出来る。
【定理２】mを与えられた自然数とするとき、
(A1) f_m(0)=m
(A2) f_m○s=s○f_m
を満たす写像f_m：N→Nが一意に存在する。
（証明）定理１においてX,x,tをN,m,sとして適用すればよい。（終）
任意のm,n∈Nに対してf_m(n)をm,nの「和」とよび、「m+n」と書く（この時点では我々のなかの「当たり前」、例えばm+n=n+mのような法則が成り立つかどうかはまだ未知である。それをこれから確認していく）。条件(A1)(A2)によって
① m+0=m
② m+s(n)=s(m+n)
である。またNの恒等写像も明らかに(A1)(A2)を満たすから、全てのnに対して
③ 0+n=n
である。さらに少々面倒な計算の後
④ s(m)+n=s(m+n)
も導ける。これら①から④によって、我々の「当たり前」すなわち「交換律」m+n=n+m、「結合律」(l+m)+n=l+(m+n)という、自然数に於けるもっとも基本的な法則を導くことが出来る。すなわち
【定理３】自然数の加法は交換律、結合律を満たす。
（証明）上記①から④によるが、少々長くなるので文献におまかせ。
[13]Siegel zero 02/07/31 12:30 ppA4JJpLCWK0
４．「１＋１＝２」の証明
上記のような予備知識を経て、我々はやっと本題にたどり着くことが出来る。まずその前に「１＋１＝２」の何を示したいのかを考えておく。それは、
（＊）『「１」の後継者が集合Nのなかに存在する』
ということである。「２」という記号はあくまで「記号」であって、重要なのはその「２」という「記号」によって表される数が、きちんとPeanoの公理に基づき、集合Nのなかに存在するかどうかである。
さて、s(0)、つまり「0の後継者」を「１」という記号で表せば、①②によって
⑤ s(n)=n+1
である。すなわち『後継者写像sは、“「１」を「加える」写像”n→n+1 に他ならない』のである。
ここまでくれば「１＋１＝２」を示すことが出来る。
s(1)、つまり「１の後継者」を「２」という記号で表せば⑤より
s(1)=1+1
∴ 2=1+1 （証明終）
よってしゅうはすごくすごい
QED
@@佐藤たけらない 写像？なんすか写像って
@@作風の変わったカオナシ それ書こうとしたらあった
@@作風の変わったカオナシ いや草
チャイルドサイトをシリーズ化しよう
6:59 サムネ
6:09 100万人まとめ動画決定㊗️🎉
0:31 何げに害悪プレイしてて草
話すことないとか言いつつ無限に話し続けてくれるし何回も撮り直してくれるしネタ切れでも毎日投稿してくれるしゅうが大好き
TH-camrの鑑
まあこれでご飯食べてるし動画投稿しないと生きていけないからね
そんな優しいこというあなたも大好き✨✨✨✨✨✨
そういう良かれと思って言うことがプレッシャーへと繋がるんやぞ
6:09 ここ100％100万人記念動画いき
0:30 流れるように妨害してて草
0:31 殴り書きのような早口で話しながら何気なくイタズラしちゃうところ好きよ
「殴り書きのような早口」っていう表現的確すぎる。。
あれって壊せるようになったんじゃないんですか？
@@愛鷹-c1f 壊せるようになったのはビルダーマリオで生み出した箱だけですよ〜
勢いがすごいこの動画
1:00 まったく明るくない笑
6:55 これで皆も数検3級
1:40 「TH-camrに勝つ」と「TH-camに勝つ」じゃ規模が違いすぎるんよwwww
9:36 4人ニョキニョキ出てくるの草
1:09 今年初めてのしゅうの編しゅう
2:03 みんな大好き「負けたと思って無言」
3:29
多分マリオはここのキノコを取り損ねたから
4:27
このエリアで詰んでしまい、
4:37でギブアップしたような気がする
既視感しかないタイトル
初っ端やばいプレイしてて草
3:07 デリケートゾーン、イケるときとイケないときのあれが激しい()
エッ
1:00 普通に気になるニュースで草
6:09 100万人のまとめに入るの待ってるね😂
7:08 、、？
2年前「数学ができるコースがやばい」
現在「マリオで数学ができちゃうコースがヤバすぎる」
進歩してなくて草
既視感あるなって思ったらそういうことかww
もう2年も経ってることに驚きw
ネタ無かったら、ずっとマリメして下さい(切実)
0:31のしゅう草
6:09 なんかしゅうが楽しそうで嬉しいww
0:30 さりげなく置いてて草
しゅうネタないって言ってるけどちゃんと取り直したりしてるのえらいな
途中で早送りしたりするのもそういうことだろうね
チャンネル名が草
しょうた不足だからアイコンだけで助かる
こう、ﾍｲｯが頭から離れる
0:45 それはまとまりすぎてて草
6:16 逆再生してたら完璧()
90万人おめでとうございます！
新作動画ありがとうございます
1:00石原さとみブチギレて新型Switch破壊は流石に笑う
こんなネタ瞬時に出てくるの天才w
(⌒,_ゝ⌒)
(⌒,_ゝ⌒)
懐かしきタイトル
この前もなんかそういうのあったよね
どんな事があっても毎日投稿だけは絶対にするしゅう尊敬する
わぎゃっとさんが作ったコースやって欲しい！
マリオメーカーは激アツファンタスティックエブリデイ
ボツになったマリカーも見たい笑笑
0:30しれっと、最低な事してて草。
石原さとみブチギレて新型Switch破壊見たすぎるw
TH-camrに勝つからTH-camに勝つは規模飛躍しすぎてお腹痛い
さっき90万人の動画見てたから今日の動画見てた感じがしてた
7:00
超壮大な音楽の中で小学生レベルの計算問題4人がかりで必死にやってるの笑う
0:31しれっと閉じ込めるのガチで草
9:35テストの裏面の話懐かしいw
倍速になってるかと思って確認しちゃったww
計算系のコースに₄C₃とか出してキッズを困らせたい
密室からの脱出してほしいー
Wiiのマリオスポーツミックスやってみて欲しい
石原さとみ新型スイッチ破壊は草
○○と思って無言シリーズが自分のなかで激アツファンタスティックエブリデイ
0:32 さらっと害悪プレイかましてて草
いやこのサムネとタイトル前も見たわ
0:41 うるさすぎるwww
1:01 想像したらめっちゃ面白いわwww