L'inspiration toposique de la théorie de l'homotopie de Grothendieck [...] - Georges Maltsiniotis

𝗟𝗘𝗖𝗧𝗨𝗥𝗘𝗦 𝗚𝗥𝗢𝗧𝗛𝗘𝗡𝗗𝗜𝗘𝗖𝗞𝗜𝗘𝗡𝗡𝗘𝗦
𝐋'𝐢𝐧𝐬𝐩𝐢𝐫𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐭𝐨𝐩𝐨𝐬𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐭𝐡é𝐨𝐫𝐢𝐞 𝐝𝐞 𝐥'𝐡𝐨𝐦𝐨𝐭𝐨𝐩𝐢𝐞 𝐝𝐞 𝐆𝐫𝐨𝐭𝐡𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐜𝐤 𝐨𝐮 𝐜𝐨𝐦𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐬𝐞 𝐝é𝐛𝐚𝐫𝐫𝐚𝐬𝐬𝐞𝐫 𝐝𝐞𝐬 𝐞𝐧𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐬𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐚𝐮𝐱 - 𝐆. 𝐌𝐚𝐥𝐭𝐬𝐢𝐧𝐢𝐨𝐭𝐢𝐬
Dans "Pursuing Stacks", Grothendieck a émis la conjecture, connue aujourd'hui comme l'hypothèse de l'homotopie, affirmant que les ∞-groupoïdes faibles sont des modèles pour les types d'homotopie. Dans une démarche purement Grothendieckienne, il cherche à étudier toutes les catégories qui modélisent canoniquement les types d'homotopie. Sa catégorie de modèles préférée est celle des petites catégories, une petite catégorie représentant le type d'homotopie de son topos des préfaisceaux. Il effectue les constructions usuelles de la théorie de l'homotopie, comme par exemple celle de l'espace des lacets, à l'intérieur de cette catégorie. En s'inspirant des propriétés cohomologiques des morphismes propres ou lisses de schémas, il introduit les notions de foncteur propre ou lisse. Son aversion envers les ensembles simpliciaux le conduit à dégager la notion de catégorie test et plus généralement de topos modélisateur dont les objets sont des modèles des types d'homotopie.
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