Also... Von jeder der n Ecken der Polygone gehen n-3 Diagonalen aus, da eine Ecke nicht mit sich selbst und seinen Nachbarn über Diagonale verbunden ist. Und dann sind durch jede Diagonale zwei Ecken verbunden, wir müssen also noch durch 2 teilen. Und so bekommen wir die Formel: Z = n(n - 3)/2 = (n² - 3n)/2, wobei Z für die Zahl der Diagonalen und n für die Zahl der Ecken stehen. Für das Zehneck ergeben sich so 35 Diagonalen, für das Sechseck 9 Diagonalen.
Von jeder Ecke gehen x-Eck - 3 Linien weg. Beim Sechseck sind es drei Linien pro Ecke plus die zu ihren Nachbarn, die sind aber nicht orange. Somit sind es (6:2)x=9 Linien. Bim Zehneck sind es sieben orange Linien. Also (10:2)x7=35 Linien.
Jede Ecke n ist mit allen Ecken verbunden, außer sich selbst und seinen beiden Nachbarn (n-3) und je zwei Punkten werden aber nur einmal durch eine Linie verbunden. N = n(n-3)/2 Aber deine Herleitung fand ich besser. 😇 Schönen dritten Advent. 🤓🕯️🕯️🕯️🦊
Hallöchen Kannst du bitte mal die "Schnellvariante" der Gauß'schen Formel in einem separaten Video herleiten. Danke dir und einen gemütlichen Advent an dich und die Community
Das geht auch einfacher. Wenn n die Anzahl der Ecken ist gilt folgende Formel: (n-3)*n/2 n - 3 => weil die Linien von den benachbarten Ecken und der eigene Punkt nicht gezahlt werden. /2 => Weil die Linien jeweils zwei Punkte verbinden
Ooooch, liebe Magda, warum wieder so kompliziert? Wir haben n Ecken. Von jeder Ecke gibt es n - 3 Diagonalen (zum jeweiligen Ausgangspunkt sowie den beiden benachbarten Ecken gibt es keine Diagonale). Die Anzahl der Diagonalen ist also n * (n - 3) Da jeder Diagonale jeweils doppelt gezeichnet wird (von Anfang zu Ende und Ende zu Anfang), muss das Ergebnis halbiert werden. Beim Sechseck rechnen wir also: 6 * 3 / 2= 9, beim Zehneck 10 * 7 / 2 =35.
Gert! Das ist sehr einleuchtend und nochmal deutlich einfacher als ich es gemacht habe. Hatte ich tatsächlich so nicht gesehen. Wahrscheinlich, weil ich die Glühwein-Aufgabe kurz vorher ausgetüftelt hatte und da noch gedanklich ganz versunken drin war. ❤️
Hallo Magda, guten Abend, hier meine Überlegungen: gesucht sind "Diagonalen", also Verbindungen zu Stecken zu Punkten, die nicht schon direkt verbunden sind. Ab welcher Figur ist das überhaupt möglich? Punkt/Strecke/Dreieck -> hier gibt es keine Punkte, die nicht schon direkt miteinander verbunden wären... Das Viereck ist die erste Fugur, bei der das überhaupt geht.... ganz trivial die 2 Diagonalen... Doch halt... von einem Eckpunkt bei einem Viereck können 3 Linien weg gehen.. 2 davon direkt zu einer "Nachbarecke", 1 zur "gegenüberliegenden" Ecke bzw. anders ausgedrückt zu einer Ecke, die nicht benachbart ist. Bei 4 Ecken sind das zunächst 4 Strecken, die zu nicht benachbarten Ecken führen. Allerdings muss man jetzt noch berücksichtigen, dass man doppelt gezählt hat, weil man jeweils die Strecke von einem Punkt und seinem "gegenüber" gezählt hat. Daher muss man noch durch 2 teilen. Dies führt am Beispiel von Viereck zu den bereits bekannten 2 Diagonalen, also 2 Linien. Aufpassen muss man jetzt noch bei der Ermittlung der Anzahl nicht benachbarter Ecken. Wenn ein Punkt ein Eckpunkt ist, hat er genau 2 "Nachbarn". dann muss man den Punkt selbst noch ausschließen... Was dann noch übrigbleibt ist die Anzahl nicht benachbarter Punkte. Am Beispiel Viereck: 4 Ecken - 2 "Nachbarn" - 1 Punkt selbst = Anzahl Ecken - 3 =Anzahl nicht benachbart = 1 Jetzt noch den "Korrektur-Faktor" geteilt durch 2 berücksichtigen... macht: Anzahl Linien = Anzahl Ecken * (Anzahl Ecken - 3) / 2 = (n^2 - 3n) / 2 Für das 6-Eck ist dies Anzahl Linien = 6 * 3 / 2 = 18 / 2 = 9 Für das 10-Eck: Anzahl Linien = 10 * 7 / 2 = 70 / 2 = 35 LG aus dem Schwabenland.
Mehr konsequent wäre: für das 6-Eck: 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 = 18/2 = 9. Und für das 10-Eck: 10^2 - (3 x 10)/2 = 100 - 30/2 = 70/2 = 35. Aber deine Erklärung war 'spot on'. :)
@@Kleermaker1000 Hallo Kleermaker, vielen Dank für deine Einschätzung. Ich persönlich fand n * (n - 3) /2 einfacher zu rechnen, als (n^2 - 3n) / 2 Ich hatte (n^2 - 3n) / 2 nur hingeschrieben, um zu zeigen, dass ich die 'Zusammenfassung' gesehen hatte 🙂 Kleiner 'Schönheitsfehler': Ich würde 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 sicherheitshalber lieber schreiben als: 6^2 - (3 x 6)/2 = (36 - 18)/2, weil man bei 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 konsequenterweise erst "Punkt-vor-Strich" rechnen muss, also 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 = 36 - (18/2) = 36 - 9 =27 ... und das ist nicht das, wo Du hin wolltest 🙂 Dir einen guten Start in die neue Woche. LG aus dem Schwabenland.
@@juergenilse3259 In diesem Fall verwende ich das Symbol:. zB: 100 - 30 : 2 = 100 -15 = 85. Aber das Symbol / bedeutet: alles was es gibt, muss geteilt werden. Das ist das Unterschied zwischen : und / (wenn es um teilen geht).
In einem konvexen n-Eck it die Zahl der moeglichen Diagonalen (einschliesslich der Aussenlinien des n-Ecks) n*(n-1)/2. Die Zahl waere die Anzahl der Verbindungslinien zwischen zwei beliebigen Eckpunkten. Die Zahl der Verbindungslinien zwischen zwei Eckpunkten bei denen ein bestimmter Eckpunkt des n-Ecks als ein Endpunkt vorgegeben ist, ist n-1. Da es n Eckpunkte gibt, waere die Zahl dieser Vervindungslinien n*(n-1). Doch da wurde dann jede dieser Linien doppelt gezaehlt: als Verbindungslinie von A nach B und dann noch einmal als Verbindungslinie von B nach A. Deswegen ist dieser Wert noch einmal durch 2 zu dividieren. Akso ist die Anzahl n*(n-1)/2. Zieht man davon die Aussenkanten des n-Ecks ab, verbleiben noch n*(n-1)/2-n=(n*(n-1)-2n)/2=n*(n-3)/2.
Vielleicht packst du die vorgeschlagenen Videos am Ende nicht über die Kanalmitglieder. Null Kritik ... nur ein lieb gemeinter Vorschlag. ... ist ja schnell gemacht. Liebe Grüße Jörg
Sorry,, aber wer zählt denn bei sowas alle Linien? Man muss doch lediglich schauen, wie viele Linien aus einer Ecke kommen und dann mit der Anzahl der Ecken multiplizieren. Mathematisch sollte es n*(n - 3) sein, weil die Bezugsecke und die beiden Nachbarecken als Ziele wegfallen. Also für ein 6-Eck 6 * 3 = 18 und für ein 10-Eck 10 * 7 = 70 Linien. 🙂
Es gibt keine "orangenen" Linien. Die sind orangefarben! Genauso bei lila, rosa und türkis. Aber das ist ja ein Mathekanal und kein Deutschkanal, also nicht so tragisch, wollte es nur mal anmerken. Die Aufgabe war interessant, aber wie schon viele andere geschrieben haben, war die Herleitung etwas umständlich. Trotzdem danke für das Video, denn ohne es hätte ich ja gar nicht angefangen über das Problem nachzudenken.
Bei "[...] angefangen über das Problem nachzudenken." fehlt ein Beistrich zwischen "angefangen" und "über". Aber das ist ja ein Mathekanal und kein Deutschkanal, also nicht so tragisch, wollte es nur mal anmerken.
Also...
Von jeder der n Ecken der Polygone gehen n-3 Diagonalen aus, da eine Ecke nicht mit sich selbst und seinen Nachbarn über Diagonale verbunden ist. Und dann sind durch jede Diagonale zwei Ecken verbunden, wir müssen also noch durch 2 teilen. Und so bekommen wir die Formel:
Z = n(n - 3)/2 = (n² - 3n)/2,
wobei Z für die Zahl der Diagonalen und n für die Zahl der Ecken stehen.
Für das Zehneck ergeben sich so 35 Diagonalen, für das Sechseck 9 Diagonalen.
War auch meine Überlegung ..... 😊 ..... und mein Ansatz 👌
sofort! daran gedacht. 🥳
Mega! 🚀🚀🚀
Von jeder Ecke gehen x-Eck - 3 Linien weg. Beim Sechseck sind es drei Linien pro Ecke plus die zu ihren Nachbarn, die sind aber nicht orange. Somit sind es (6:2)x=9 Linien. Bim Zehneck sind es sieben orange Linien. Also (10:2)x7=35 Linien.
Sehr gut kombiniert, Micha! So kann man sich dann auch die Formel fürs n-Eck herleiten. ☺️
Jede Ecke n ist mit allen Ecken verbunden, außer sich selbst und seinen beiden Nachbarn (n-3) und je zwei Punkten werden aber nur einmal durch eine Linie verbunden.
N = n(n-3)/2
Aber deine Herleitung fand ich besser. 😇
Schönen dritten Advent.
🤓🕯️🕯️🕯️🦊
Ich bevorzuge deine! Ist schneller! 💗
Es ist immer wieder schön Dich rechnen zu sehen (:"kicher") - daran merkt man : Magda LIEBT Mathe ...❤
Aber es ist auch ein bisschen irritierend. :)
❤️❤️❤️
@@magdaliebtmathe Aber dieser relativ dumme Junge lernt viel von dir. Vielen Dank! 😀
Hallöchen
Kannst du bitte mal die "Schnellvariante" der Gauß'schen Formel in einem separaten Video herleiten.
Danke dir und einen gemütlichen Advent an dich und die Community
Hab ich tatsächlich schon! Hier: th-cam.com/video/htrci95wtnY/w-d-xo.htmlsi=rHtMMNhkkUAOTXp_
Das geht auch einfacher. Wenn n die Anzahl der Ecken ist gilt folgende Formel:
(n-3)*n/2
n - 3 => weil die Linien von den benachbarten Ecken und der eigene Punkt nicht gezahlt werden.
/2 => Weil die Linien jeweils zwei Punkte verbinden
Peter! Sehr smart! Gefällt mir besser als meine Lösung! 🚀🚀🚀
❤
Ooooch, liebe Magda, warum wieder so kompliziert? Wir haben n Ecken. Von jeder Ecke gibt es n - 3 Diagonalen (zum jeweiligen Ausgangspunkt sowie den beiden benachbarten Ecken gibt es keine Diagonale). Die Anzahl der Diagonalen ist also n * (n - 3) Da jeder Diagonale jeweils doppelt gezeichnet wird (von Anfang zu Ende und Ende zu Anfang), muss das Ergebnis halbiert werden. Beim Sechseck rechnen wir also: 6 * 3 / 2= 9, beim Zehneck 10 * 7 / 2 =35.
Gert! Das ist sehr einleuchtend und nochmal deutlich einfacher als ich es gemacht habe. Hatte ich tatsächlich so nicht gesehen. Wahrscheinlich, weil ich die Glühwein-Aufgabe kurz vorher ausgetüftelt hatte und da noch gedanklich ganz versunken drin war. ❤️
Hallo Magda, guten Abend,
hier meine Überlegungen:
gesucht sind "Diagonalen", also Verbindungen zu Stecken zu Punkten, die nicht schon direkt verbunden sind.
Ab welcher Figur ist das überhaupt möglich?
Punkt/Strecke/Dreieck -> hier gibt es keine Punkte, die nicht schon direkt miteinander verbunden wären...
Das Viereck ist die erste Fugur, bei der das überhaupt geht.... ganz trivial die 2 Diagonalen...
Doch halt...
von einem Eckpunkt bei einem Viereck können 3 Linien weg gehen.. 2 davon direkt zu einer "Nachbarecke", 1 zur "gegenüberliegenden" Ecke bzw. anders ausgedrückt zu einer Ecke, die nicht benachbart ist.
Bei 4 Ecken sind das zunächst 4 Strecken, die zu nicht benachbarten Ecken führen.
Allerdings muss man jetzt noch berücksichtigen, dass man doppelt gezählt hat, weil man jeweils die Strecke von einem Punkt und seinem "gegenüber" gezählt hat.
Daher muss man noch durch 2 teilen.
Dies führt am Beispiel von Viereck zu den bereits bekannten 2 Diagonalen, also 2 Linien.
Aufpassen muss man jetzt noch bei der Ermittlung der Anzahl nicht benachbarter Ecken.
Wenn ein Punkt ein Eckpunkt ist, hat er genau 2 "Nachbarn". dann muss man den Punkt selbst noch ausschließen... Was dann noch übrigbleibt ist die Anzahl nicht benachbarter Punkte.
Am Beispiel Viereck:
4 Ecken - 2 "Nachbarn" - 1 Punkt selbst = Anzahl Ecken - 3 =Anzahl nicht benachbart = 1
Jetzt noch den "Korrektur-Faktor" geteilt durch 2 berücksichtigen... macht:
Anzahl Linien = Anzahl Ecken * (Anzahl Ecken - 3) / 2 = (n^2 - 3n) / 2
Für das 6-Eck ist dies
Anzahl Linien = 6 * 3 / 2 = 18 / 2 = 9
Für das 10-Eck:
Anzahl Linien = 10 * 7 / 2 = 70 / 2 = 35
LG aus dem Schwabenland.
Mehr konsequent wäre: für das 6-Eck: 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 = 18/2 = 9. Und für das 10-Eck: 10^2 - (3 x 10)/2 = 100 - 30/2 = 70/2 = 35. Aber deine Erklärung war 'spot on'. :)
@@Kleermaker1000 Hallo Kleermaker,
vielen Dank für deine Einschätzung.
Ich persönlich fand n * (n - 3) /2 einfacher zu rechnen, als (n^2 - 3n) / 2
Ich hatte (n^2 - 3n) / 2 nur hingeschrieben, um zu zeigen, dass ich die 'Zusammenfassung' gesehen hatte 🙂
Kleiner 'Schönheitsfehler':
Ich würde 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 sicherheitshalber lieber schreiben als: 6^2 - (3 x 6)/2 = (36 - 18)/2, weil man bei 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 konsequenterweise erst "Punkt-vor-Strich" rechnen muss, also 6^2 - (3 x 6)/2 = 36 - 18/2 = 36 - (18/2) = 36 - 9 =27 ... und das ist nicht das, wo Du hin wolltest 🙂
Dir einen guten Start in die neue Woche.
LG aus dem Schwabenland.
@@Kleermaker1000 Pass auf bei der (hier notwendigen) Klammerung:
100-30/2=100 -15=85
(100-30)/2=70/2=35
@@juergenilse3259 In diesem Fall verwende ich das Symbol:. zB: 100 - 30 : 2 = 100 -15 = 85. Aber das Symbol / bedeutet: alles was es gibt, muss geteilt werden. Das ist das Unterschied zwischen : und / (wenn es um teilen geht).
In einem konvexen n-Eck it die Zahl der moeglichen Diagonalen (einschliesslich der Aussenlinien des n-Ecks) n*(n-1)/2. Die Zahl waere die Anzahl der Verbindungslinien zwischen zwei beliebigen Eckpunkten. Die Zahl der Verbindungslinien zwischen zwei Eckpunkten bei denen ein bestimmter Eckpunkt des n-Ecks als ein Endpunkt vorgegeben ist, ist n-1. Da es n Eckpunkte gibt, waere die Zahl dieser Vervindungslinien n*(n-1). Doch da wurde dann jede dieser Linien doppelt gezaehlt: als Verbindungslinie von A nach B und dann noch einmal als Verbindungslinie von B nach A. Deswegen ist dieser Wert noch einmal durch 2 zu dividieren. Akso ist die Anzahl n*(n-1)/2. Zieht man davon die Aussenkanten des n-Ecks ab, verbleiben noch n*(n-1)/2-n=(n*(n-1)-2n)/2=n*(n-3)/2.
Schön gerechnet, Jürgen! So geht’s natürlich auch wunderbar! 🥳
In einem (3 + √809)/2-Eck hat der eingebettete Stern demnach exakt 100 Linien.
Haha! 😂
Vielleicht packst du die vorgeschlagenen Videos am Ende nicht über die Kanalmitglieder. Null Kritik ... nur ein lieb gemeinter Vorschlag. ... ist ja schnell gemacht. Liebe Grüße Jörg
perfekt - weiter so
Sorry,, aber wer zählt denn bei sowas alle Linien? Man muss doch lediglich schauen, wie viele Linien aus einer Ecke kommen und dann mit der Anzahl der Ecken multiplizieren. Mathematisch sollte es n*(n - 3) sein, weil die Bezugsecke und die beiden Nachbarecken als Ziele wegfallen. Also für ein 6-Eck 6 * 3 = 18 und für ein 10-Eck 10 * 7 = 70 Linien. 🙂
Da jede Diagonale doppelt gezeichnet wird, das Ergebnis noch halbieren ...
@@gertschulze6607 Stimmt! Hab' ich ganz übersehen. 🙂
Genau! Wer schlau ist, zählt nicht! Sondern rechnet. 😃
Es gibt keine "orangenen" Linien. Die sind orangefarben! Genauso bei lila, rosa und türkis.
Aber das ist ja ein Mathekanal und kein Deutschkanal, also nicht so tragisch, wollte es nur mal anmerken.
Die Aufgabe war interessant, aber wie schon viele andere geschrieben haben, war die Herleitung etwas umständlich. Trotzdem danke für das Video, denn ohne es hätte ich ja gar nicht angefangen über das Problem nachzudenken.
Hey Nils! Danke für den Hinweis, muss vielleicht mal an meinen Formulierungen arbeiten 😃.
Bei "[...] angefangen über das Problem nachzudenken." fehlt ein Beistrich zwischen "angefangen" und "über". Aber das ist ja ein Mathekanal und kein Deutschkanal, also nicht so tragisch, wollte es nur mal anmerken.
Beim sechseck sind es drei Dreiecke, also 9 Linien..........
Nein, es sind zwei Dreiecke und ein Kreuz.