【千葉大】複素数と軌跡の頻出題！

[@ハル-e4l4z]

良問❤

[@てんさいひろりん]

複素数の基本が詰まってますな

[@kazusaka4063]

(2)の軌跡に除外点があるかな
と勘ぐったが、ないですな

[@perimetros314]

実は除外点は原理的に入りません
このような一次分数変換は複素平面に一点加えたRiemann球というものを考えると完全に一対一に対応します
(1)の対応で抜いたz側の除外点はwの側の∞に対応する点です
よってまず
① (1) 除外点除かずRimann球全体を考えてz側もw側もなんでもありで考える
z側 : 円|z+i| = 2
w側 : 直線 re(w) = 1/2 ( ← ここにはw側の∞ᵂも入っている )
z側の∞ᶻに対応するのはw=1、
w側の∞ᵂに対応するのはz=i
② ∞は勝手に付け加えて考えただけなので抜く、
ここで|z+i| = 2において除外しないといけない点は∞ᵂに対応してるz=iと∞ᶻに対応してるw=1だけど結果抜かれる点はw側のRiemann球側では∞ᵂしかない、もう一つの除外点w=1に対応するz側の除外点∞ᶻは|z+i| = 2に乗っていない
というわけで除外点に関する議論は抜かしても答え合うことが多いです
しかしもちろんこんな論述が受験数学で認めてもらえるわけはなく、普通にまじめに考慮しておかないといけません
むしろ「考慮しても答え変わらないことが多い」のでついつい忘れてしまう事も多いので注意しましょう
なければ減点です

[@sukaipiiiiiiiiiiisu]

なるほどぅーまん