سؤال من أولمبياد الرياضيات (96)

[@hichemkoubaa9598]

يمكننا اثباتها انها قابلة للقسمة على 5
عندنا
2^4 -1 | 2^4(2^(n-2)-1) -1
(رمز | يعنى يقسم)
طبقا لخاصية سهلة الاثبات لكل عدد طبيعي x و n :
(x-1) | (x^n -1)
في هذه الحالة x=2^4
تحصلنا اذا على
15 | 2^4(2^(n-2)-1) -1
يعني حتما
5 | 2^(2^n-4) -1
اذا :
5 | 4(2^(2^n-4) -1)
5 | 2^(2^n-2)-4
يمكننا اضافة 5 لنتحصل على
5 | 2^(2^n-2)+1

[@KHALEDELFATH]

يمكن أن جمع بين الحلين:
I=2^[(2^n)-2]+1
=[2^(4x)]/4+1
=(16^x)/4+1
=4*[16^(x-1)]+1
ولدينا
16=1 mod 5
16^(x-1)=1 mod 5
4*16^(x-1)=4 mod 5
4*16^(x-1) +1=0 mod 5
إذن
5|I

[@sjalal6360]

معلومات جديدة
لديك خطأ في التعويض الاول

[@mohammadalmohr]

@@sjalal6360 نعم صحيح شكرا للتعليق الناتج يجب أن يكون
65
،وهو أيضا عدد مركب