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如果已知X的概率分布，Y是X的函数。对于Y一个值有多个X的情况，要在每个X的分段单独求Y的概率分布，然后把所有的区间相加就是该Y分段的概率分布。 #统计学 #概率 #函数 #张老师教统计

假设 X 是一个连续随机变量，其概率分布为f(x)。令 Y = u(X) 定义 X和 Y 的值之间的一一对应关系，这样方程 y = u(x) 就可以根据 y 唯一地求解 x，假设 x = w(y)。那么 Y 的概率分布为 g(y) = f[w(y)]|J|, 其中 J 称为变换的雅可比矩阵. #统计学 #概率 #函数 #张老师教统计

在统计学中，我们经常需要推导出一个或多个随机变量函数的概率分布。例如，假设 X 是一个离散随机变量，其概率分布为 f(x)，进一步假设 Y = u(X) 定义了 X 和 Y 值之间的一一变换。我们希望找到 Y 的概率分布。需要注意的是，一一变换意味着每个值 x 都与一个且只有一个值 y = u(x) 相关，每个值 y 都与一个且只有一个值 x = w(y) 相关，其中 w(y) 是通过用 y 解 y = u(x) 中的 x 得到的. 显然，当 X � w(y) 值时，随机变量 Y � y 值。因此，Y 的概率分布可以把X的反函数代入到X的概率表达式得到。 #统计学 #概率 #函数 #张老师教统计

如果随机变量 Y = ln(X) 服从均值为 μ、标准差为 σ 的正态分布，则连续随机变量 X 服从对数正态分布。 #统计学 #概率 #对数 #正态分布 #张老师教统计

Beta 分布是一系列连续概率分布，定义在区间 [0, 1] 上，有两个正参数，分别表示为 alpha (α) 和 beta (β)。例如，(0, 1) 上的均匀分布是参数为 α = 1 和 β = 1 的 Beta 分布。 Beta分布已用于模拟各种学科中有限长度区间内的随机变量的行为。在贝叶斯推理中， Beta分布是伯努利分布、二项分布、负二项分布和几何分布的共轭先验概率分布。 (0, 1) 上的均匀分布是参数 α = 1 和 β = 1 的 beta 分布. #统计学 #概率 #beta #分布 #张老师教统计

卡方分布是一种具有自由度的连续分布。它用于描述随机变量平方和的分布。它还用于检验数据分布的拟合优度、数据序列是否独立，以及估计随机变量与正态分布的方差和标准差的置信度。 如果 Z1、Z2、...、Zn 是独立的标准正态随机变量，则 X等于他们平方之和，服从具有 n 个自由度的卡方分布。 #统计学 #概率 #卡方 #张老师教统计

指数分布描述的是泊松事件发生前的时间（或泊松事件之间的时间），而特定数量的泊松事件发生前的时间（或空间）是一个随机变量，其密度函数由伽马分布描述。这个特定的事件数量是伽马密度函数中的参数 α。因此，很容易理解当 α = 1 时，会出现指数分布的特殊情况。 #统计学 #概率 #伽马分布 #指数分布 #张老师教统计

当 一个二项分布n 很大且 p 不是特别接近 0 � 1 时，μ = np 和 σ平方 = np(1 − p) 的正态分布不仅能够非常准确地近似二项分布，而且即使当 n 很小且 p 相当接近 1/2 时，也能提供相当好的近似值。 #统计学 #概率 #正态分布 #二项分布 #张老师教统计

整个统计学领域中最重要的连续概率分布是正态分布，也称高斯分布。它的图形称为正态曲线，呈钟形曲线，近似地描述了自然界、工业和研究中发生的许多现象。 具有钟形分布的连续随机变量 X 称为正态随机变量。正态变量概率分布的数学方程取决于两个参数 μ 和 σ，分别是其均值和标准差。正态随机变量 X 的密度为，均值为 μ，方差为 σ平方。 #统计学 #概率 #正态分布 #张老师教统计

产生随机变量 X 的数值（在给定时间间隔或指定区域内发生的结果数）的实验称为泊松实验。 给定的时间间隔可以是� 意长度，例如一分钟、一天、一周、一个月甚至一年。 可以为离散随机变量 X 生成观测值的泊松实验示例： 办公室每小时接听的电话数量， 冬季因下雪而停课的天数， 或棒球赛季因下雨而推迟的比赛次数。 请注意，指定区域可以概括为线段、面积、体积或一块材料。 泊松实验源自泊松过程，具有以下特性： 1. 在一个时间间隔或指定空间区域内发生的结果数量与在� 何其他不相交的时间间隔或区域中发生的结果数量无关。从这个意义上说，我们说泊松过程没有记忆。 2. 在非常短的时间间隔或小区域内发生单一结果的概率与时间间隔的长度或区域的大小成正比，而不取决于在此时间间隔或区域之外发生的结果数量。 3. 在如此短的时间间隔内发生多个结果或落在如此小的区域中的可能性可以忽略不计。 泊松实验期间发生的结果数...

如果我们考虑负二项分布的特殊情况，其中 k = 1，我们就会得到一次成功所需的试验次数的概率分布。 如果重复的独立试验可以导致概率 p 的成功和概率 q = 1 − p 的失败，那么随机变量 X（第一次成功的试验次数）的概率分布为几何分布。 #统计学 #概率 #几何分布 #张老师教统计

考虑一个实验，其中的属性与二项式实验列出的属性相同，不同之处在于将重复试验直到发生固定数量的成功。我们现在感兴趣的是第 x 次试验中第 k 次成功的概率。这种实验称为负二项式实验。如果重复的独立试验能够以概率 p 导致成功，以概率 q = 1 − p 导致失败，则随机变量 X（第 k 次成功的试验次数）的概率分布为负二项式分布。 #统计学 #概率 #负二项式概率分布 #张老师教统计

当从 N 个项目中随机抽取一个大小为 n 的样本（不重复）时，从标记为成功的 k 个项目中选择 x 个成功，从标记为失败的 N − k 个项目中选择 n − x 个失败。这被称为超几何实验。超几何随机变量 X 的概率分布为，从 N 个项目中随机抽取一个大小为 n 的样本（其中 k 个标记为成功，N − k 个标记为失败）中的成功次数的概率。 #统计学 #概率 #超几何概率分布 #张老师教统计

如果我们让每次试验都有两个以上的可能结果，那么二项式试验就变成了多项式试验。 一般来说，如果一次给定的试验可以产生 k 个可能结果 E1、E2、...、Ek 中的� 意一个，概率为 p1、p2、...、pk，那么多项式分布将给出 E1 发生 x1 次、E2 发生 x2 次、... 和 Ek 在 n 次独立试验中发生 xk 次的概率， 其中x1 x2 · · · xk = n。 我们将用f(x1, x2, . . . , xk ; p1, p2, . . . , pk, n) 表示这个联合概率分布。 计算多项分布的联合概率分布是N次实验里面发生X1,X2,，，，XK的组合，乘以各个概率对应他们的次数指数的乘积。 #统计学 #概率 #多项分布 #张老师教统计

张老师教统计学讲解19-二项分布

张老师教统计学讲解18-切比雪夫定理

张老师教统计学讲解17-随机变量的非线性组合的方差

张老师教统计学讲解16-随机变量的非线性组合函数的平均值

张老师教统计学讲解15-随机变量线性组合的方差

张老师教统计学讲解14-随机变量线性组合的平均值

张老师教统计学讲解13-随机变量的协方差和相关系数

张老师教统计学讲解12-随机变量的方差

张老师教统计学讲解11-统计独立性

张老师教统计学讲解10-条件概率分布 函数

张老师教统计学讲解9-联合概率分布函数

张老师教统计学讲解8-连续概率分布函数

张老师教统计学讲解7-离散概率分布

张老师教统计学讲解6-随机变量

张老师教统计学讲解5 - 贝叶斯规则和全概率定理