4 de outubro de 2024: Raphaël Tinarrage (FGV): Detecção de órbitas de representações de grupos de Lie compactos a partir de nuvens de pontos.
RESUMO: Uma conquista marcante nas ciências quantitativas no início do século passado foi a combinação das noções soltas de simetria com a definição precisa das ações de grupo. De resultados importantes em criptografia, passando pela descrição do átomo de hidrogênio, chegando à formalização do programa Erlangen de Klein, o ponto de vista da teoria de grupo sobre simetrias permitiu desenvolvimentos sem precedentes em muitos campos teóricos e práticos. Em particular, no aprendizado de máquina, há um longo histórico de interesse na detecção de ações de grupos. Por exemplo, a identificação de simetrias do grupo euclidiano especial SE(n) tem sido abordada desde a década de 1980 para dados planares e, mais recentemente, para objetos 3D. Outros grupos de Lie também foram estudados, abelianos ou não. Depois que as informações de ações de grupos de Lie são determinadas, elas podem ser usadas para aumentar a eficiência de tarefas de inferência e aprendizado de máquina por meio de algoritmos equivariantes. Entretanto, os métodos de detecção de representação encontrados na literatura não abordam a questão de estimar o tipo exato de representação, ou seja, sua decomposição em representações irredutíveis. De fato, a representação é frequentemente encontrada por meio de sua álgebra de Lie, que é aproximada como se fosse um subespaço linear. Consequentemente, as informações sobre os comutadores não são exatas. Nesta palestra, apresentarei um trabalho que aborda a questão da projeção de um subespaço linear de matrizes na álgebra de Lie mais próxima, empregando ferramentas de otimização em variedades. Especificamente, a variedade envolvida é a grassmanniana das subálgebras de Lie. Nosso algoritmo é geral para qualquer grupo de Lie compacto, mas o implementamos e nos concentramos especificamente em SO(2) , o toro, SU(2) e SO(3). Ilustrarei a palestra com aplicações em aprendizado de máquina, física e química.