วีดีโอ

@xrhstarasss_9571 σωστά

Ναι έχω τυπογραφικό και το διορθώνω παρακάτω στο βίντεο, στο 5:30 και μετά θα δεις τη διόρθωση

@@lazarosmoysis5095 αα σόρυ, είμαι απο αυτούς που μιλάνε πριν δουν όλο το βίντεο και οδηγούνται σε λάθη

Σε όλους χρειάζεται ένα φρεσκάρισμα στα βασικά που και που

ριξε πρωτα μια ματια στη θεωρια για το πως υπολογιζεται ο πίνακας Routh

Ριξε μια ματια στη θεωρία πρώτα. Βαζουμε το πρωτο στοιχειο της επανω γραμμης με αρνητικο προσημο

@lazarosmoysis5095 Μήπως μπορείτε να μου στείλετε κάποιο λινό με τη θεωρία ;

@@userbats δες τα προηγούμενα βίντεο.

Ναι, γενικα εφοσον ψαχνουμε 2 γραμμικα ανεξάρτητες λυσεις, και γνωρίζουμε ήδη μια λύση, μια πολυ κλασσικη τεχνικη για να βρουμε μια 2η συναρτηση γραμμικα ανεξαρτηση της πρωτης ειναι να παρουμε την y2=u(x)*y1(x). Αυτο θα το συναντήσεις και σε αλλα σημεια του βιβλίου δηλαδη. Τωρα, οπως είπαμε και σε αλλα βίντεο, πολλές διαφορικές εξισώσεις μπορεί να λύνονται και με παραπάνω από έναν τρόπο.

the process for finding eigenvalues, eigenvectors, and stability does not change by system size, for any nxn system, the procedure remains the same. Of course, in higher dimensions you cannot plot phase diagrams for all the states. You can still plot combinations of them in 2d and 3d

@lazarosmoysis5095 your videos are valuable but these all are in I think in Russian

I want to learn bifurcation

And your teaching method I like the most

@@azeemishaq8240 In Greek

@@panagiotisathanasiou7918 γράψε μας τον τίτλο εδώ πέρα για να φαίνεται κιόλας, γιατί δεν το γνωρίζω.

@ Έλεγχος Διεργασιών

Δεν έχει σημασια εαν θα τα τοποθετησουμε κατα γραμμές ή κατα στήλες, γιατι θυμησου πως rank(A)=rank(A^T). Στα βιβλία γραμμική άλγεβρας, συστημάτων ελέγχου, διαφορικών κτλ, πάντα τα διανύσματα αναπαριστώνται σε στηλες. Δεν το θεωρώ απίθανο βέβαια να βρεις και βιβλία που τα διανυσματα τα αντιμετωπίζουν ως γραμμές.

@@lazarosmoysis5095 ααα ναι σωστά ευχαριστώ πολύ.Και ουσιαστικά τα διανύσματα μπορούν να είναι ανεξάρτητα μόνο όταν ο πίνακας αυτός είναι τετραγωνικός έτσι;;

@@giagkoulas Οχι απαραίτητα. Για παράδειγμα, έστω δυο διανύσματα x1,x2 στο χώρο R^3. O πίνακας [x1,x2] είναι 3x2. Εάν αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα, θα πρέπει ο πίνακας αυτός να έχει rank=2. Οπότε ο πίνακας δεν είναι απαραίτητα τετράγωνος. Βέβαια, αυτά εφόσον ειναι 2, μπορούν να είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αλλά δε μπορούν να είναι βάση του R^3.

@@lazarosmoysis5095 ναι ισχύει ευχαριστώ πολύ.Ειναι πολύ βοηθητικά τα βίντεο σας

@@soheilhashemi1837 do u have a discrete or a continuous time system? These are very different cases. The code is different and the execution time is also different. The codes i have for each case though can be adapted to any system yes.

My dynamical system operates in continuous time and is described by a second-order equation with nonlinear terms, specifically the well-known Duffing equation. The Duffing equation features a second-order differential equation with a third-degree term. If you search for it online, you can find more information. I downloaded your MATLAB code for plotting the bifurcation diagram of the Lorenz equation. However, it takes a long time to run due to the small time step. Could you please advise on what I can do to improve the computation time?

@@soheilhashemi1837 The bifurcation diagram for continuous time systems takes a lot of time, for any system that you would consider. The simplest change is to increase the step of the bifurcation parameter. Also, there is an alternative way to plot it using the local maxima. I also have a code in my Matlab page for that, you can try it.

​@@lazarosmoysis5095 I could not find "local maxima" matlab code. I would appreciate if you send the link.

Καλησπέρα, λοιπόν φέτος το μάθημα το διδάσκω πρώτη φορά, και δεν προλαβαίνω να ανεβάσω και βίντεο με τη θεωρία, παρόλο που στο μάθημα προφανώς κάνουμε και τη θεωρία κανονικά. Του χρόνου ίσως ανεβάσω και τη θεωρία σε νέα βίντεο. Θα δεις λοιπόν στο κανάλι την playlist με θέμα το μετασχηματισμό Laplace. Εκεί έχω βίντεο και από το μάθημα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, όπου έχω ανεβάσει και τη θεωρία κανονικά για το πως λύνουμε συστήματα με χρήση Laplace. Πιστεύω θα σε βοηθήσουν παραπάνω. Οτι απορία έχεις γράψε σε σχόλια. Καλό διάβασμα!

Σύστημα ανοιχτού βρόχου το οποίο έχει έναν πόλο στο μηδέν είναι οριακά ευσταθές. Άρα σε βηματική είσοδο θα γίνει ασταθής η έξοδος. Ρίξε μια ματιά ξανά στο βίντεο όπου μιλάμε για τους πόλους και την ευστάθεια.

Προς το παρόν δεν έχω κάτι για το μάθημα, γιατί είναι λίγο πιο προχωρημένα τα προβλήματα συνοριακών. Θα το σκεφτώ μήπως κάνω στην επανάληψη. Τα κάνατε σε κανένα μάθημα σας? Ρωτάω πληροφοριακά

@lazarosmoysis5095 ναι στις διάφορικες μετά τις σειρές φουριερ.Ειναι απαιτητικα

@@giagkoulas Ωραία, στείλε μου εάν θέλεις κ έχεις χρόνο ένα μειλ (το γραφει στο προφιλ του καναλιου) να το συζητήσουμε εκεί.

Μπορείς να δοκιμάσεις να λύσεις τη δ.ε. που έγραψες και να επιβεβαιώσεις κιόλας πως η λύση που προκύπτει είναι η ίδια! Τώρα, για τις αρχικές συνθήκες, εφόσον μιλάμε για σύστημα με σταθερούς συντελεστές, δηλαδή χρονικά αναλλοίωτο, ξέρουμε και από τις ιδιότητες πως η λύση θα είναι η ίδια με το αν ξεκινούσαμε απο t0=0, απλώς μετατοπισμένη στο χρόνο. Δεν θα το πολυδείς πράγματι γιατί σε όλα τα βιβλία, ειδικά στα ΣΑΕ, οι αρχικές συνθήκες είναι πάντοτε στο t0=0

@lazarosmoysis5095 Εγώ λέω κάτι άλλο, δηλαδή να λύσεις ένα πρόβλημα αρχικών συνθηκών που δεν είναι στο 0. Αυτό θα είχε ενδιαφέρον.

@@calcifer464 αυτο σχολιασα ναι, οτι τη λυση μπορουμε να την παρουμε και θεωρητικα εαν το θεωρησουμε σαν συστημα με καθυστερηση. Ισως στην επαναληψη δουμε και τετοιες ασκήσεις, εχουν ενδιαφέρον

Σε ευχαριστώ πολύ! Ωραία πρόταση, δεν το έχω συναντήσει ποτέ, αν βρω ευκαιρία θα το τσεκάρω

Ναι, παρακάτω

@@giagkoulas είναι για συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες, επομένως αγνοούμε τους συντελεστές των ορων

The bifurcation diagram and the poincare map are different things, so no they are not the same. They may provide the same qualitative information though, to an extent, for example if we have having periodic or chaotic behavior.

@lazarosmoysis5095 Thanks for the prompt reply! What I wanted to ask is, you titled the diagram as bifurcation plot. Is that actually the Poincare map for discrete system, if I try to correlate with continuous system?

@@swagatabhaumik978 Not really, they are different constructions. They may give similar information, but they are different 'things'

in a way yes, but alla re very complex phenomena

Sure

@@saramenasantamaria4205 if u change the bifurcation parameter in the diagram, you will get totally new results. There is no way to guess how the system will behave if you change the other parameters. If the results are weird, please check first that the system remains stable for the parameter range that you have chosen. Also make sure u choose the proper plane of intersection.

@@swagatabhaumik978 I haven't prepared one yet about the LE. But i have a code for discrete time systems in MATLAB available in the links

1-Yes, 2-Yes. 3-by examining the phase portraits we can get a fast impression of the system's behavior. To be sure that we have chaos we need to compute the Lyapunov exponent, which can verify the existence of chaos. But a phase diagram that shows dense trajectories with no repeating pattern is a strong (almost certain) indication of chaos

@lazarosmoysis5095 Thanks for the reply! Can we certainly say by visually looking, at the dense trajectory that there are no repeating patterns? Is that why the computation of Lyapunov exponent is a better indicator?

@@swagatabhaumik978 Yes, one is a visual indicator, while the other is a mathematical/numerical indicator

@@swagatabhaumik978 there are many available yes

Στην περίπτωση που αναφέρεσαι, όπου η ταλάντωση χάνει ενέργεια και σταματάει, δεν έχουμε χάος. Παρόλα αυτά το φαινόμενο της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες μπορεί να υπάρχει. Θα φανεί η διαφορά σε βάθος χρόνου σίγουρα, τώρα αν θα φανεί στα πρώτα 30 δευτερόλεπτα θα εξαρτηθεί από τις διάφορες παραμέτρους του συστήματος, πχ το ελατήριο κτλ.

Δες επίσης τα βίντεο που εχω αναφορικα με το φαινόμενο της πεταλούδας κ το χάος, έχω κάποια αντιστοιχες προσομοιώσεις σαν αυτη που λες

@@lazarosmoysis5095 Σε ευχαριστώ πολύ.

​@@lazarosmoysis5095Πως μπορώ να σου μιλήσω προσωπικά;

@Luffygr91 στο μειλ

Σωστός τρόπος σκέψης, όμως, αν δεις τη θεωρία θα καταλάβεις γιατί. Εδώ προσπαθούμε να δείξουμε πως αυτή η παράσταση είναι το ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών φ(x,y). Γι αυτό λοιπόν στο κριτήριο αυτό παραγωγίζουμε κάθε ώς ως προς x ή y, θεωρώντας πως ο άλλος όρος είναι σταθερά. Μόλις ολοκληρώσουμε λοιπόν βρίσκουμε τη συνάρτηση τελικά φ(x,y)=c. Από εδώ σκέψου, αν πας όλους τους όρους του χ στα δεξια, μπορεις να περιγράψεις το y σαν μια συνάρτηση του x. Και ανάποδα, αν πας στα δεξιά όλους τους όρους του y, μπορείς να περιγράψεις το x σαν μια συνάρτηση του y. Άρα το κλειδί εδώ, είναι να καταλάβεις πως ψάχνω να βρω μια συνάρτηση φ(χ,y) δύο μεταβλητών, και το ολικό διαφορικό περιλαμβάνει ουσιαστικά σαν έκφραση τις μερικές παραγώγους της. Δυστυχώς δεν έχω αρκετό χρόνο για να ανεβάζω και τα βίντεο της θεωρίας, ίσως από του χρόνου όμως.

@lazarosmoysis5095 νομίζω ότι κατάλαβα. Σ ευχαριστω πολύ και πάλι και για τα βίντεο και για τις απαντήσεις, οι ασκήσεις βοηθούν πάρα πολύ. Και με συγχωρείς που σε ζαλίζω

@@leotachr Δε με ζαλίζεις, χαρά μου να εξηγώ εάν γνωρίζω σε όλους!

@@lazarosmoysis5095 είναι πολύ ευγενικό εκ μέρους σου, thumbs up👍👍

In the description of the video, there is a link to a collection of Matlab codes. There you will find codes to plot phase portraits, time series, etc.

Σε ευχαριστώ πολύ! Ναι, μπορείς να υποθέσεις πως μια ειδική λύση είναι η μηδενική, όπου αν δούμε και την αρχική σχέση, προφανώς την ικανοποιεί. Στη βιβλιογραφία θα τις δεις ως singular λύσεις, στα ελληνικά νομίζω τις λένε ιδιόμορφες.

@lazarosmoysis5095 κατάλαβα, σ ευχαριστώ για την απάντηση, keep up the great work 👍👍

φυσικά

@@lazarosmoysis5095 Ωραία ευχαριστώ. Μπορώ να του κάνω γραμμικοποιηση μέσω matlab/simulink?

@@vagamer4311 Εφοσον εχεις τις διαφορικές εξισώσεις, κανεις γραμμικοποιηση γυρω απο το σημειο ισορροπίας που σε ενδιαφέρει και παιρνεις ενα γραμμικο συστημα ναι. μπορεις να γράψεις κωδικα στο Matlab για αυτο.

@@lazarosmoysis5095 Κατάλαβα. Γίνεται να γραμμικοποιησω απ'ευθευας τις εξισώσεις κίνησης?

@@vagamer4311 Αναλογα σε τι μορφη τις εχεις? εαν εχεις το συμβολικο πακετο τοτε μπορεις να γραψεις κωδικα που να κανει τη γραμμικοποιηση ναι. Αλλα με καποια ετοιμη εντολη ή block, δε νομίζω πως υπάρχει. Η διαδικασια παντως ακομα κ στο χαρτι ειναι συντομη, λιγες πράξεις.

Ευχαριστώ πάρα πολύ. Έγραψα πρώτη πρόοδο και πήρα 10. To μάθημά σας είναι χρυσός!

@@aggelossmirilios806 Μπράβο σου συγχαρητήρια!! Καλή επιτυχία σε όλη την εξεταστική!

Στη συγκεκριμένη νομίζω θα είναι δύσκολα τα πράγματα αν δοκιμάσετε με Laplace, η ρητή συνάρτηση που θα προκύψει θα έχει μέσα x και y(x).

@@lazarosmoysis5095 η συγκεκριμένη λύνεται και με μερικά κλάσματα, το δοκίμασα πριν λίγο. Βγάζω το ίδιο αποτέλεσμα.

@@gavroktonoi21 μπράβο μια χαρά!

και σε πάρα πολλούς ακόμα κλάδους. Εαν δειτε οποιοδηποτε βιβλιο σε διαφορικές, σαε, ή οτιδηποτε σχετικο, υπάρχουν πολλά παραδείγματα. Φυσικη μηχανικη βιολογια οικονομία χημεια κτλ

Είναι το τελευταίο κεφάλαιο της ύλης, επομένως θα γίνουν ναι, προς το τέλος του εξαμήνου

@@gavroktonoi21 όλα όσα χρησιμοποιώ θα πρέπει να υπάρχουν. Δες τις διάφορες ενότητες των blocks

@@lazarosmoysis5095 το κοίταξα, κάποια υπάρχουν διάσπαρτα στα επιμέρους toolbox, το Step δηλαδή την βηματική συνάρτηση δεν την βρήκα στην μορφή αυτή, αλλά βρήκα το sign που είναι κάτι παρόμοιο θεωρώ.

Μια πολύ σημαντική πληροφορία, από τις πρώτες που είπαμε στο μάθημα, είναι πως πολλές διαφορικές εξισώσεις δε λύνονται μόνο με έναν τρόπο. Επομένως πολλές δ.ε. σε οποιοδήποτε βιβλίο και αν έχετε, θα λύνονται πιθανώς με πάνω από έναν τρόπο. Στο μάθημα προσπαθούμε όλες να τις βάζουμε σε ένα καλούπι, για να δείξουμε διαφορετικές μεθοδολογίες. Εννοείται πως δεν υπάρχει σωστός και λάθος τρόπος λύσης. Εφόσον μια δ.ε. λύνεται με δύο τρόπους, θα πρέπει και οι δύο να δίνουν την ίδια λύση, και είναι και οι 2 τρόποι το ίδιο αποδεκτοί φυσικά. Το δύσκολο ερώτημα βέβαια είναι όταν μας δώσουν μια δ.ε. (χωρίς φυσικά να ξέρω πως ααα είναι από το κεφάλαιο 3.2) να καταλάβω σε ποια κατηγορία ανήκει για να τη λύσω.