- 19
- 6 230
ΠΕΡΙ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
Greece
เข้าร่วมเมื่อ 7 พ.ย. 2020
Καλώς ήρθες στο κανάλι του φροντιστηρίου Περί Επιστημών. Είμαι ο Βασίλης Πετρόπουλος ιδιοκτήτης του φροντιστηρίου και είμαι μαθηματικός. Εδώ θα βρεις βίντεο κυρίως από τον κλάδο των Μαθηματικών.
❗Θα προσπαθούμε να ανεβάζουμε βίντεο κάθε εβδομάδα.
❗Κάνε εγγραφή και πάτα την καμπανίτσα 🔔 για να σου έρχονται ειδοποιήσεις μόλις ανέβουν καινούργια βίντεο.
❗Θα προσπαθούμε να ανεβάζουμε βίντεο κάθε εβδομάδα.
❗Κάνε εγγραφή και πάτα την καμπανίτσα 🔔 για να σου έρχονται ειδοποιήσεις μόλις ανέβουν καινούργια βίντεο.
Σύγκλιση Ακολουθίας - Παραδείγματα
Σύγκλιση Ακολουθίας - Παραδείγματα
Τι είναι η σύγκλιση μιας ακολουθίας; Πότε λέμε ότι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό; Η έννοια του ορίου είναι θεμελιώδης για τον Απειροστικό Λογισμό και για την Μαθηματική Ανάλυση και γενικά είναι ένα εργαλείο με το οποίο αναπτύχθηκαν έννοιες όπως
👉 η συνέχεια,
👉η παράγωγος και
👉 το ορισμένο ολοκλήρωμα.
Στο βίντεο αυτό αναλύεται ο ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών και δίνεται η γεωμετρική του ερμηνεία. Επίσης δίνονται, αναλυτικά, δύο εφαρμογές για το όριο μιας ακολουθίας. Γι’ αυτό, το βίντεο αυτό είναι ιδανικό για μαθητές, φοιτητές και για επιστήμονες Θετικών Επιστημών.
⏳ Ενότητες του βίντεο
00:00 Εισαγωγή
00:46 Η έννοια της προσέγγισης
01:53 Ορισμός ακολουθίας
02:50 Παράδειγμα-1 ακολουθίας
03:16 Παράδειγμα-2 ακολουθίας
03:55 Μοντελοποίηση της σύγκλισης ακολουθίας
06:21 Ορισμός ορίου ακολουθίας
08:05 Γεωμετρική ερμηνεία ορίου ακολουθίας
10:42 Απόκλιση ακολουθίας στο +∞ ή στο -∞
11:27 Άσκηση 1: σύγκλιση ακολουθίας στο 0
14:46 Άσκηση 2: σύγκλιση ακολουθίας στο 0
17:12 Επίλογος
Προτείνουμε να δείτε το παρακάτω βίντεο, όπου αναφέρεται το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού
th-cam.com/video/uAqi_yXNqhM/w-d-xo.html
Μην ξεχάσετε να κάνετε Εγγραφή στο κανάλι μας και να ενεργοποιήσετε τις ειδοποιήσεις για περισσότερα βίντεο μαθηματικών!
👍 Αν σας άρεσε αυτό το βίντεο πατήστε like.
✏️ Για εγγραφή στο κανάλι πατήστε εδώ: tinyurl.com/4998j3ve
❗ Γράψτε στα σχόλια τυχόν απορίες ή κάποιο θέμα που θα θέλατε να ετοιμάσουμε
Social Networks
Facebook: periepistimon
Instagram: peri.epistimon
Web Site: peri-epistimon.edu.gr
#ΣύγκλισηΑκολουθίας #Ακολουθίες #ΜαθηματικήΑνάλυση #Όριοακολουθίας #ΜαθηματικέςΈννοιες #Απειροστικόςλογισμός #Tutorial #Μαθηματικά #Ανάλυση #μαθηματικάπάτρα #φροντιστήριοΠάτρα #ΜαθηματικήΕκπαίδευση
Τι είναι η σύγκλιση μιας ακολουθίας; Πότε λέμε ότι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό; Η έννοια του ορίου είναι θεμελιώδης για τον Απειροστικό Λογισμό και για την Μαθηματική Ανάλυση και γενικά είναι ένα εργαλείο με το οποίο αναπτύχθηκαν έννοιες όπως
👉 η συνέχεια,
👉η παράγωγος και
👉 το ορισμένο ολοκλήρωμα.
Στο βίντεο αυτό αναλύεται ο ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών και δίνεται η γεωμετρική του ερμηνεία. Επίσης δίνονται, αναλυτικά, δύο εφαρμογές για το όριο μιας ακολουθίας. Γι’ αυτό, το βίντεο αυτό είναι ιδανικό για μαθητές, φοιτητές και για επιστήμονες Θετικών Επιστημών.
⏳ Ενότητες του βίντεο
00:00 Εισαγωγή
00:46 Η έννοια της προσέγγισης
01:53 Ορισμός ακολουθίας
02:50 Παράδειγμα-1 ακολουθίας
03:16 Παράδειγμα-2 ακολουθίας
03:55 Μοντελοποίηση της σύγκλισης ακολουθίας
06:21 Ορισμός ορίου ακολουθίας
08:05 Γεωμετρική ερμηνεία ορίου ακολουθίας
10:42 Απόκλιση ακολουθίας στο +∞ ή στο -∞
11:27 Άσκηση 1: σύγκλιση ακολουθίας στο 0
14:46 Άσκηση 2: σύγκλιση ακολουθίας στο 0
17:12 Επίλογος
Προτείνουμε να δείτε το παρακάτω βίντεο, όπου αναφέρεται το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού
th-cam.com/video/uAqi_yXNqhM/w-d-xo.html
Μην ξεχάσετε να κάνετε Εγγραφή στο κανάλι μας και να ενεργοποιήσετε τις ειδοποιήσεις για περισσότερα βίντεο μαθηματικών!
👍 Αν σας άρεσε αυτό το βίντεο πατήστε like.
✏️ Για εγγραφή στο κανάλι πατήστε εδώ: tinyurl.com/4998j3ve
❗ Γράψτε στα σχόλια τυχόν απορίες ή κάποιο θέμα που θα θέλατε να ετοιμάσουμε
Social Networks
Facebook: periepistimon
Instagram: peri.epistimon
Web Site: peri-epistimon.edu.gr
#ΣύγκλισηΑκολουθίας #Ακολουθίες #ΜαθηματικήΑνάλυση #Όριοακολουθίας #ΜαθηματικέςΈννοιες #Απειροστικόςλογισμός #Tutorial #Μαθηματικά #Ανάλυση #μαθηματικάπάτρα #φροντιστήριοΠάτρα #ΜαθηματικήΕκπαίδευση
มุมมอง: 105
วีดีโอ
Θεώρημα Lagrange - Ομάδα Klein - Ομάδα τάξης 4
มุมมอง 38516 ชั่วโมงที่ผ่านมา
Θεώρημα Lagrange - Ομάδα Klein - Ομάδα τάξης 4 Σε αυτό το βίντεο, εξετάζουμε το Θεώρημα του Lagrange για πεπερασμένες ομάδες, ένα από τα πιο θεμελιώδη αποτελέσματα της Θεωρίας Ομάδων στη σύγχρονη Άλγεβρα. Αναλύουμε το περιεχόμενο του θεωρήματος, εξηγούμε τη σημασία του, και παραθέτουμε κατανοητά παραδείγματα για να διευκολύνουμε την κατανόηση. Εάν είστε φοιτητής Μαθηματικού Τμήματος, επαγγελματ...
Πληρότητα του R - Supremum - Infimum
มุมมอง 35614 วันที่ผ่านมา
Πληρότητα του R Supremum Infimum Σε αυτό το βίντεο, εξετάζουμε το Αξίωμα Πληρότητας των Πραγματικών Αριθμών, ένα θεμελιώδες αξίωμα της Ανάλυσης. Εξηγούμε πώς συνδέεται με έννοιες όπως τα άνω φράγματα, τα κάτω φράγματα, το supremum, το infimum και γενικότερα με την δομή του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Αν θέλετε να δείτε ποια είναι η Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, αν θέλετε να ...
Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης
มุมมอง 23821 วันที่ผ่านมา
Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης Μπορώ να υπολογίσω την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης μιας συνάρτησης f; Ακόμα και αν δεν έχω τύπο για την αντίστροφη; Η απάντηση είναι ναι, αρκεί η f να είναι γνήσια μονότονη και συνεχής σε διάστημα. Για εφαρμογή θα υπολογίσουμε την παράγωγο της arcsinx (τοξημx). Ο υπολογισμός γίνεται με χρήση του θεωρήματος της παραγώγου αντίστροφης συνάρτησης, χωρίς να έ...
Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο
มุมมอง 246หลายเดือนก่อน
Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο Πόσα στοιχεία έχουν οι πραγματικοί αριθμοί; Οι φυσικοί; Στο βίντεο αυτό εξετάζουμε την έννοια του υπεραριθμήσιμου συνόλου και αποδεικνύουμε ότι το σύνολο ℝ των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο. Η απόδειξη γίνεται με την χρήση της διαγώνιας μεθόδου του Cantor. Αν και το σύνολο των φυσικών ℕ αριθμών έχει άπειρα στοιχεία, δεν μπορούμ...
Θεώρημα Cantor-Bernstein: Υπάρχει το σύνολο όλων των συνόλων;
มุมมอง 439หลายเดือนก่อน
Θεώρημα Cantor-Bernstein: Υπάρχει το σύνολο όλων των συνόλων; Υπάρχει το σύνολο όλων των συνόλων; Και αν υπάρχει τι πληθάριθμο έχει; Αλήθεια τι είναι πληθάριθμος;. Αυτές τις ερωτήσεις θα απαντήσουμε στο βίντεο αυτό. Το θεώρημα των Cantor - Bernstein μας λέει ότι κάθε σύνολο έχει πληθάριθμο μικρότερο από τον πληθάριθμο του δυναμοσυνόλου του. Ουσιαστικό αυτό μας λέει ότι το δυναμοσύνολο ενός συνό...
Μελέτη συνάρτησης ως προς τη συνέχεια
มุมมอง 329หลายเดือนก่อน
Μελέτη συνάρτησης ως προς τη συνέχεια Στο βίντεο αυτό αναλύουμε την έννοια της συνέχειας (σημειακής) μιας συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Δίνεται ο ορισμός του οριακού σημείου συνόλου, του μεμονωμένου σημείου συνόλου και ο ορισμός της συνέχειας σε σημείο. Κατόπιν παρουσιάζουμε αναλυτικά ένα παράδειγμα, όπου με χρήση της αρχής της μεταφοράς αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι συ...
Σχέση Ισοδυναμίας - Κλάσεις Ισοδυναμίας - Σύνολο Πηλίκο
มุมมอง 210หลายเดือนก่อน
Σχέση Ισοδυναμίας - Κλάσεις Ισοδυναμίας - Σύνολο Πηλίκο
Αρχή της Μεταφοράς - Υπολογισμός ορίου συνάρτησης
มุมมอง 180หลายเดือนก่อน
Αρχή της Μεταφοράς - Υπολογισμός ορίου συνάρτησης
Συμπαγές σύνολο: μια ακολουθία μαζί με το όριό της
มุมมอง 3802 หลายเดือนก่อน
Συμπαγές σύνολο: μια ακολουθία μαζί με το όριό της
ΕΙΣΑΙ ΠΑΙΚΤΑΡΑΣ ΣΑΓΑΠΩ ΠΟΛΥ
Είναι αξιέπαινη η παρουσίαση τέτοιων ωραίων θεμάτων και ευχής έργον να γοητευθούν κυρίως νέοι άνθρωποι από αυτά. Σχετικά με το παράδειγμα: Γενικώς ένα σύνολο τεσσάρων στοιχείων μπορεί να δομηθεί σε ομάδα κατά δυο διαφορετικούς τρόπους. Ο ένας είναι να γίνει ομάδα ισόμορφη προς την ομάδα Klein και ο άλλος να γίνει ομάδα ισόμορφη προς την κυκλική ομάδα υπολοίπων Ζ4. Και οι δυο Αβελιανές. Αυτό αποδεικνύεται και χωρίς το Θ. Lagrange.
Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια! Πιστεύω να συνεχιστεί αυτή η προσπάθεια.
😲
Ευχαριστούμε για το σχόλιο! Να προσθέσω ότι και κάθε αριθμήσιμο υποσύνολο του R είναι επίσης μη συνεκτικό. Η απόδειξη είναι ανάλογη.
Οργανωμένη παρουσίαση, μπράβο σας! Είναι απολύτως θεμελιώδη για τα μαθηματικά οι εν λόγω έννοιες.
Ευχαριστούμε! Θα προσπαθήσουμε να ανεβάζουμε βίντεο κάθε εβδομάδα.
Το διάστημα Δ δεν διευκρινίζεται αν είναι ανοικτό ή κλειστό. Αν είναι κλειστό πρέπει για τα άκρα να μιλήσουμε για πλευρικές παραγώγους όπου ισχύουν ανάλογα πράγματα. Επίσης να παρατηρήσουμε και τα εξής. Αν η παράγωγος της f στο Χο είναι 0 τότε η παράγωγος της αντιστρόφου στο f(Xo) απειρίζεται και μάλιστα θετικά αν η f είναι αύξουσα και αρνητικά αν είναι φθίνουσα. Ακόμη εκεί στα όρια τα πράγματα θα έπρεπε να είναι αναλυτικότερα.
Δεν χρειάζεται να αναφερθούμε στα άκρα του διαστήματος. Η παράγωγος στο άκρο, αν ορίζεται, είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο αυτό και αν είναι διάφορη του μηδενός τότε ισχύει το θεώρημα. Το θεώρημα μιλάει για σημεία στα οποία η παράγωγος είναι μη μηδενική. Άρα δεν έχει νόημα να αναφερθούμε στα σημεία που η παράγωγος είναι μηδέν. Για τα όρια που λέτε μάλλον θα αναφέρεστε στην αλλαγή από το y -> y_0 στο x -> x_0. Δείτε την πληροφορία που αναγράφεται στο “συννεφάκι” στο 3.12 περίπου.
Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, η αντίστροφη θα είναι συνεχής στο f(x_0). Επομένως δεν χρειάζεται η συνέχεια της f. Εκτός αν υποθέσουμε ότι η f ειναι συνεχής και 1-1 στο Δ, συνεπώς θα είναι γνησίως μονότονη.
Υπάρχουν διάφορες εκδοχές του θεωρήματος. Πάντα όμως σε διάστημα.
@ΠΕΡΙΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Δεν είναι θέμα εκδοχής. Η συνέχεια της f δεν χρειάζεται αν η f είναι γνησίως μονότονη. Το πιο σημαντικό βήμα σε αυτή την απόδειξη είναι η συνέχεια της αντίστροφης.
Η μονοτονία της f σε ένα διάστημα δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια ούτε της f ούτε της αντιστρόφου της. Αν αυτό συνέβαινε τότε κάθε μονότονη συνάρτηση θα ήταν συνεχής. Η συνέχεια λοιπόν της f είναι απαραίτητη.
@ΚώσταςΠαπαστεργίου-σ8χ Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και το πεδίο ορισμού της είναι διάστημα, τότε η αντίστροφη είναι συνεχής. Αυτό δεν σημαίνει ότι η f είναι συνεχής. Θα μπορούσε η f να είναι ασυνεχής σε άπειρα σημεία. Συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι η γνωστή πρόταση που λέει ότι συνεχής και ένα προς ένα συνάρτηση σε διάστημα έχει συνεχή αντίστροφη.
@@dimitriosapatsidis1307 Έχεις δίκαιο μου διέφυγε. Όμως για να μιλάμε για παράγωγο στο f(Xo) εν f(Δ) θα πρέπει το f(Δ) να είναι διάστημα ή τουλάχιστον το f(Xo) να είναι σημείο συσσωρεύσεως. Αυτό από που εξασφαλίζεται αν η f δεν υποτεθεί συνεχής;
Εξαιρετικό βίντεο! Είναι το θεώρημα που χρησιμοποιούμε στο Λύκειο για να περιγράψουμε τι είναι όριο,χωρίς τον ορισμό! Εγώ ήθελα να μας πείτε γιατί κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο ακολουθίας ρητών,και πώς βρίσκουμε την δεκαδική του αναπαράσταση,ειδικά αν είναι άρρητος!
Ευχαριστώ για τον σχολιασμό σας! Κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο μιας ακολουθίας ρητών διότι το σύνολο των ρητών είναι πυκνό στο R. Το ίδιο συμβαίνει και με τους άρρητους. Δηλαδή κάθε πραγματικός είναι όριο μιας ακολουθίας άρρητων. Θα προσπαθήσω στο άμεσα μέλλον να φτιάξω βίντεο για τα πυκνά σύνολα ενός μετρικού χώρου.
Γεια σας, ένα θέμα που θα με ενδιέφερε να δω είναι η σύγκλιση ακολουθίας και ένα άλλο η έννοια του supremum.
Θα τα ετοιμάσουμε και θα παρουσιαστούν στο μέλλον. Υποθέτω μέσα στον Δεκέμβρη.
Στο 1:50-2:00 λέτε ότι το υπέρ αριθμήσιμο του (0, 1) «μας δείχνει ότι και το R ..... » Είναι λογικοφανές στην κοινή λογική. Στη θεωρία των συνόλων όμως απαιτεί απόδειξη την οποία δεν μπορούμε να την πούμε και εύκολη. Καλύτερα να πούμε ότι "με τη βοήθεια αυτού μπορούμε να αποδείξουμε...."
Δεν χωρούν όλα σε ένα μικρό βίντεο. Το θεώρημα που αναφέρω αν Α \subseteq B και Α υπεραριθμήσιμο, τότε και το Β είναι υπεραριθμήσιμο έχει μεγάλη απόδειξη και δεν θα την χαρακτήριζα και εύκολη. Διδάσκεται στα μαθηματικά τμήματα και σε μαθήματα αξιωματικής θεωρίας συνόλων.
Ελπίζω ο σχολιασμός μου να μη θεωρηθεί κακόβουλος. Δε θα σχολίαζα κάτι τετριμμένο. Μακάρι η θεωρία των συνόλων να κινείσει το ενδιαφέρον περισσοτέρων ανθρώπων. Ευχαριστώ.@@ΠΕΡΙΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
Είναι ευχάριστο που σχολιάζεται. Άλλωστε μαθηματικοί είμαστε και συζητάμε!
τελειο
Ευχαριστούμε!
Στο διάστημα 0.53-0.59 διερωτάσθε ρητορικά: «Τι είναι πληθάριθμος»; Και συνεχίζετε: «Λέμε ότι δυο σύνολα Α και Β έχουν τον ίδιο πληθάριθμο,...….». Δε λέτε όμως τι είναι ο πληθάριθμος; Ποιος είναι ο ορισμός; Υπακούουν οι πληθάριθμοι σε ανισωτικές σχέσεις όπως και οι αριθμοί; Θα έπρεπε να προηγηθεί ένα σχετικό video. Στο 2:08-2:20 λέτε ότι «επειδή Αϵ P(A) θα είναι |A|≤|P(A)|». Υπό την έννοια αυτή επειδή Rϵ {1,2,R} θα έπρεπε να είναι c=|R|≤|{1,2,R}|=3. Ευχαριστώ.
Ο ορισμός του πληθάριθμου δίνεται ως κλάση ισοδυναμίας σε κάποιο σύνολο συνόλων. Επειδή δεν υπάρχει το σύνολο συνόλων μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί για ποιο σύνολο συνόλων μιλάμε; Και με τα σύνολα που δεν ανήκουν στο σύνολο αυτό τι γίνεται; Γι αυτό επέλεξα να δώσω την κεντρική ιδέα του πληθαρίθμου. Για έναν πλήρη ορισμό του πληθαρίθμου μπορείτε να δείτε, για παράδειγμα, το βιβλίο Θεωρίας Συνόλων των Δ. Γεωργίου και Σ. Ηλιάδη έκδοση Τζιόλα 2017 (ή κατοπινό). Θεωρώ ότι είναι από τα κορυφαία. Όσον αφορά για το αν οι πληθάριθμοι έχουν σχέση διάταξης η απάντηση είναι ναι.
Έχει γίνει λάθος στην ημερομηνία κάτω από την εικόνα του Cantor. Το σωστό είναι 1845 - 1918
Γιατί θεωρούμε συνεχή μια συνάρτηση στα μεμονωμένα σημεία της; Δηλαδή την ακολουθία των φυσικών αριθμών θα την θεωρήσουμε συνεχή συνάρτηση; Που μας εξυπηρετεί αυτό;
Ναι η ακολουθία των φυσικών, όπως και κάθε ακολουθία είναι συνεχής συνάρτηση. Είναι μια απλή επιβεβαίωση του ορισμού. Ακόμα και αν στον ορισμό δεν υπάρξη αναφορά για μεμονωμένα σημεία πάλι έχουμε συνέχεια στα σημεία αυτά, αφού θα πρέπει τότε ο ορισμός να δοθεί με ε και δ. Δεν υπάρχει νομίζω κάποια εξυπηρέτηση ή κάποιος ιδιαίτερος λόγος. Θυμηθείτε ότι μιλάμε για σημειακή συνέχεια και όχι για ομοιόμορφη.
Ευχαριστώ@@ΠΕΡΙΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
Πρέπει να δείτε και το βίντεο th-cam.com/video/jhDTCE85Bho/w-d-xo.html
Πολύ κατατοπιστικό και συνοπτικό. Έλειπε ένα τέτοιο βίντεο από το TH-cam
Ευχαριστούμε! Θα συνεχίσουμε να ανεβάζουμε σχετικά θέματα.
Φανταστικός!!!!!
Μπράβο δάσκαλε!!!! Δύναμη!!!!
Μπράβο φίλε μου Βασίλη! Φανταστικός .