วีดีโอ

משפט ההתכנסות הנשלטת ומשפט ההתכנסות החסומה. דוגמאות. הכללה למשפט ההתכנסות הנשלטת. בהתכנסות במידה שווה של פונקציות אינטגרביליות במרחב מידה סופי אפשר להחליף גבול באינטגרל. תרגילים נוספים. Ham sandwich theorem - לכל n קבוצות מדידות אפשר לחצות את כולן בחצי על ידי מישור על במימד n-1 יחיד. הוכחה עבור n=1 בעזרת רציפות אינטגרל. הסבר ההוכחה לממדים גבוהים יותר בעזרת בורסוק-אולם.

תזכורות - סכום ישר, מטריצת בלוקים ותכונות, מטריצת מייצגת לפי סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטים היא אלכסונית בלוקים. הצבת מטריצה בפולינום, פולינום מאפס, משפט קיילי-המילטון ומסקנות, פולינום מינימלי ותכונות. מרחבים עצמיים מוכללים, דוגמאות ותכונות. צורת ז'ורדן משפט ז'ורדן. מציאת מטריצה מז'רדנת עבור מטריצה נילפוטנטית, מטריצה עם ערך עצמי יחיד ומטריצה עם יותר מערך עצמי יחיד.

חזרה על משתנים מקריים, פונקצית התפלגות. דוגמה - הילוך מקרי פשוט מאוזן התפלגויות נפוצות - התפלגות ברנולי, התפלגות אחידה, התפלגות ברנולי, התפלגות בינומית, התפלגון פואסון והתפלגות גיאומטרית. משפט גבול פואסון (הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות הבינומית), דוגמה לקירוב בינומי על ידי פואסון. סכום פואסוניים הוא פואסוני. תכונת חוסר זיכרון ושקילות להתפלגות גיאומטרית. תרגילים ודוגמאות.

אינטגרל לבג - אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה, אינטגרל לבג של פונקציה מדידה אי-שלילית. הלמה של פאטו ודוגמאות. למת פאטו ההפוכה. משפט ההתכנסות המונוטונית (סדרת פונקציות מדידות מונוטונית עולה מתכנסת לפונקציה מדידה והאינטגרל של פונקצית הגבול הוא הגבול של האינטגרל). מסקנה - עבור סדרה מונוטונית יורדת. האינטגרל של פונקציה אי-שלילית הוא אפס אם ורק אם קבוצת הנקודות שלא נשלחות לאפס ממידה אפס.

תרגילים נוספים בנושא אי-תלות - מודל ארדש-רייני, משולש במודל ארדש רייני. משתנים מקריים, הגדרה, אי-תלות בין משתנים מקריים. תרגילי חזרה.

תת-מרחב אינווריאנטי (תת-מרחב שמור). הגרעין והתמונה הם תתי-מרחבים אינווריאנטיים, סכום וחיתוך של תתי-מרחבים אינווריאנטיים הוא אינווריאנטי. כל תת-מרחב וקטורי של מרחב עצמי הוא תת-מרחב אינווריאנטי. מטריצות בלוקים - חיבור, כפל בסקלר וכפל מטריצות בלוקים. סכום ישר של מטריצות ותכונות: העקבה (טרייס trace) היא סכום העקבות, הדטרמיננטה היא מכפלת הדטרמיננטות, ההופכית של סכום ישר היא סכום ישר של ההפיכות. דטרמ...

קריטריונים ללכסון (קיים בסיס שמורכב מוקטורים עצמיים, הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים ולכל ערך עצמי הריבוי האלגברי שווה לגיאומטרי). אלגוריתם ללכסון (מציאת ערכים עצמיים בעזרת הפולינום האופייני, מציאת בסיסים למרחבים העצמיים, הצבת הערכים העצמיים באלכסון הצורה האלכסונית והוקטורים העצמיים במלכסנת). דוגמה ללכסון. תרגיל לכסון עם פרמטר (עבור אילו ערכים המטריצה לכסינה). דרגה של מטריצה לכסינה בחז...

פונקציה מונוטונית ממש היא מדידה. הפונקציות היחידות המדידות בסיגמה אלגברה הטריוויאלית הן הקבועות. פונקציה מתחום מדיד היא מדידה אם ורק אם הפונקציה מכל התחום (כאשר משלימים לאפס בקלטים שאינם מהתחום) מדידה. תרגילים נוספים בנושאי פונקציות מדידות ומרחבי מידה. משפט (והוכחה) - לכל פונקציה מדידה ואי-שלילית קיימת סדרה מונוטונית עולה של פונקציות פשוטות שמתכנסת אליה נקודתית.

אי-תלות ותלות בין מאורעות.

הגדרת וקטור וערך עצמי. וקטורים וערכיים עצמיים של מטריצת האפס, היחידה, מטריצות סקלריות. תכונות - כפל בסקלר של וקטור עצמי הוא וקטור עצמי, סכום וקטורים עצמיים הוא וקטור עצמי, ערך עצמי של חזקה של מטריצה הוא חזקה של הערך העצמי. מטריצה שסכום כל שורה או עמודה שווה היא בעלת ערך עצמי של הסכום. מרחב עצמי, פולינום אופייני, ריבוי אלגברי, ריבוי גיאומטרי. מציאת וקטורים וערכיים עצמיים. למטריצה ולמשוחלפת אותו ...

הגדרת מרחב מדיד, פונקצית מידה חיובית, מרחב מידה חיובית. דוגמאות - מידת לבג, מידת הספירה. תכונות - מונוטוניות, תת-אדטיביות, רציפות המידה (רציפות עולה ויורדת והוכחה). אדטיביות סופית ורציפות עולה גוררות סיגמה-אדטיביות. הגדרת פונקציה מדידה, מדידה בורל, טענות בסיסיות (אינדיקטור מדיד אם ורק אם הקבוצה מדידה, צירוף לינארי וכפל של מדידים הוא מדיד). פונקציה מדידה אם ורק אם התמונה ההפוכה של כל מדידה בורל ...

רציפות ההסתברות והוכחה (עבור סדרת מאורעות עולה או יורדת), מסקנות (רציפות עבור סדרת מאורעות שאינה עולה או יורדת). הסתברות מותנית, נוסחת ההסתברות השלמה, נוסחת בייס.

הגדרת המטריצה המצורפת (או הנלווית או הצמודה הקלאסית) ודוגמאות. המשפט המרכזי ומסקנות.

הגדרת מדידות לבג לפי קרתיאודורי, הגדרת סיגמה-אלגברה. הקבוצות המדידות לבג מהוות סיגמה אלגברה. איחוד של סיגמה-אלגבראות אינו בהכרח סיגמה אלגברה. הסיגמה אלגברה הנוצרת, סיגמה אלגברת בורל ותכונות. הסיגמה אלגברה הנוצרת על ידי הנקודונים הממשיים מוכלת ממש בסיגמה אלגברת בורל של הממשיים. קבוצת קנטור - שני אפיונים: בנייה רקורסיבית וייצוג לפי בסיס טרינארי, הוכחת שקילות. קבוצת קנטור היא אינה בת-מנייה (מעוצמת...

מבוא להסתברות - תרגול 2 (מרחב הסתברות, חסם איחוד, הכלה והדחה)

אלגברה לינארית 2 - תרגול 2 (תכונות דטרמיננטה, נוסחת קרמר)

אנליזה מודרנית - תרגול 1 (המידה החיצונית)

מבוא להסתברות - תרגול 1 (קומבינטוריקה)

אלגברה לינארית 2 - תרגול 1 (דטרמיננטה, נוסחת לפלס לפי מינורים, החבורה הסימטרית)

מתמטיקה בדידה - שיעור חזרה למבחן (חלק 2)

מתמטיקה בדידה - שיעור חזרה למבחן (חלק 1)

מתמטיקה בדידה - תרגול 10 (אריתמטיקה של עוצמות, איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה)

מתמטיקה בדידה - תרגול 9 (קנטור שרדר ברנשטיין, קבוצות בנות מנייה, עוצמת הממשיים)

מתמטיקה בדידה - תרגול 8 (עוצמות)

מתמטיקה בדידה - תרגול 7 (הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות וצמצום)

אלגברה לינארית 1 - תגבור לקראת מבחן

אלגברה לינארית 1 - תרגילים ממבחנים

אלגברה לינארית 1 - תרגול 10 (מציאת גרעין ותמונה של העתקה בעזרת מטריצה מייצגת)

אלגברה לינארית 1 - תרגול 9 (קואורדינטות, מטריצה מייצגת העתקה ומטריצת מעבר בין בסיסים)