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Problemas de álgebra lineal
Spain
เข้าร่วมเมื่อ 9 ต.ค. 2011
Inspirado en un problema para niños de Vladimir I. Arnold sobre una mezcla de vino y té con una cuchara, que va y viene, he ido planteando problemas más generales. Estos me han llevado a procesos iterativos modelados por sistemas lineales de ecuaciones con recurrencias (o en diferencias finitas), también llamados sistemas discretos, x(n+1)=Ax(n), x(n+1)=Ax(n)+b. También los he modelado con sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales x'(t)=Ax(t), x'(t)=Ax(t) + b, que nos dan soluciones x(t), concordantes con las sucesiones x(n). La búsqueda de estados estacionarios, o estudio del comportamiento asintótico, nos ha hecho utilizar la teoría de Perron-Frobenius de matrices no negativas.
Más tarde he visto que los métodos empleados pueden aplicarse a un problema sobre nivelación de tres vasos de vodka, de forma iterativa, planteado por Philip J. Davis en su libro sobre matrices circulantes.
Aparece así una lista de ejercicios de álgebra lineal.
Más tarde he visto que los métodos empleados pueden aplicarse a un problema sobre nivelación de tres vasos de vodka, de forma iterativa, planteado por Philip J. Davis en su libro sobre matrices circulantes.
Aparece así una lista de ejercicios de álgebra lineal.
Variaciones en las formas de nivelar tres vasos cilíndricos iguales de vodka, I
La conclusión más importante de este vídeo es que las proporciones límite de los niveles en los vasos no dependen de las alturas iniciales. Solamente dependen de las formas de trasvasar los líquidos entre vasos en cada iteración; pero, no he conseguido explicar la forma de esta dependencia.
A partir del problema planteado por Philip J. Davis en su libro sobre matrices circulantes, hice un primer vídeo titulado "Problemas de niveles espirituosos. Parte 1", donde se consideraron iteraciones de tres pasos. Luego han ido surgiendo problemas nuevos al evolucionar el más simple. Cada vídeo presenta una situación más complicada. Este conjunto de vídeos puede considerarse como un todo, como un curso en marcha.
Hay un recordatorio de las matemáticas utilizadas en un Apéndice, situado al principio.
Espero que estos problemas de mezclas nos lleven a resultados matemáticos, interesantes por sí mismos.
00:24 Convergencia de las potencias de una matriz cuadrada.
05:14 Planteamiento de algunas variaciones espirituosas.
12:06 Otras variaciones: Uno de los trasvases (o pasos) deja un vaso vacío.
36:36 Iteraciones con sólo dos pasos.
A partir del problema planteado por Philip J. Davis en su libro sobre matrices circulantes, hice un primer vídeo titulado "Problemas de niveles espirituosos. Parte 1", donde se consideraron iteraciones de tres pasos. Luego han ido surgiendo problemas nuevos al evolucionar el más simple. Cada vídeo presenta una situación más complicada. Este conjunto de vídeos puede considerarse como un todo, como un curso en marcha.
Hay un recordatorio de las matemáticas utilizadas en un Apéndice, situado al principio.
Espero que estos problemas de mezclas nos lleven a resultados matemáticos, interesantes por sí mismos.
00:24 Convergencia de las potencias de una matriz cuadrada.
05:14 Planteamiento de algunas variaciones espirituosas.
12:06 Otras variaciones: Uno de los trasvases (o pasos) deja un vaso vacío.
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มุมมอง: 34
วีดีโอ
Nivelación progresiva en vasos de cualquier perfil. Parte 5
มุมมอง 4921 วันที่ผ่านมา
"Tomemos tres vasos iguales de cualquier perfil x=f(y), donde f es una función continua positiva arbitraria, que contienen cantidades diferentes de vodka. Vertiendo, ajustamos los dos primeros vasos de manera que el nivel en ambos sea el mismo. Ajustamos el nivel en los vasos segundo y tercero. Después en los vasos primero y tercero. Iteramos el proceso. Predecir el resultado tras n iteraciones...
Nivelación progresiva de un líquido en tres vasos troncocónicos iguales. Parte 4
มุมมอง 52หลายเดือนก่อน
"Tomemos tres vasos troncocónicos iguales que contienen cantidades diferentes de vodka. Vertiendo, ajustamos los dos primeros vasos de manera que el nivel en ambos sea el mismo. Ajustamos el nivel en los vasos segundo y tercero. Después en los vasos primero y tercero. Iteramos el proceso. Predecir el resultado tras n iteraciones. ¿Qué sucede cuando n tiende a infinito?" Este problema, con más c...
Nivelación progresiva de un líquido espirituoso en tres copas cónicas iguales. Parte 3
มุมมอง 40หลายเดือนก่อน
"Tomemos tres copas cónicas iguales que contienen cantidades diferentes de vodka. Vertiendo, ajustamos las dos primeras copas de manera que el nivel en ambas sea el mismo. Ajustamos el nivel en las copas segunda y tercera. Después en las copas primera y tercera. Iteramos el proceso. Predecir el resultado tras n iteraciones. ¿Qué sucede cuando n tiende a infinito?" Este problema, con más cuestio...
Niveles espirituosos. Límite de las potencias de una matriz primitiva. Parte 2
มุมมอง 106หลายเดือนก่อน
Consideramos aquí el caso en que las secciones rectas de los vasos tienen áreas diferentes. "Tomemos tres vasos cilíndricos que contienen cantidades diferentes de vodka. Vertiendo, ajustamos los dos primeros vasos de manera que el nivel en ambos sea el mismo. Ajustamos el nivel en los vasos segundo y tercero. Después en los vasos primero y tercero. Iteramos el proceso. Predecir el resultado tra...
Problema de niveles espirituosos. Parte 1
มุมมอง 50หลายเดือนก่อน
"Tomemos tres vasos que contienen cantidades diferentes de vodka. Vertiendo, ajustamos los dos primeros vasos de manera que el nivel en ambos sea el mismo. Ajustamos el nivel en los vasos segundo y tercero. Después en los vasos primero y tercero. Iteramos el proceso. Predecir el resultado tras n iteraciones. ¿Qué sucede cuando n tiende a infinito?" Este problema, con más cuestiones, apareció en...
Estado estacionario de una mezcla de m líquidos en m depósitos. Iteración. V.I. Arnold
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Este vídeo termina una lista de vídeos sobre mezclas de dos, tres, cuatro,..., m líquidos. Por el camino han ido complicándose las matemáticas empleadas: recurrencias lineales, matrices no negativas, irreducibles, primitivas, estocásticas, iteraciones, demostraciones por inducción, simplicidad del autovalor 1 mediante la no ortogonalidad de cualesquiera autovectores por la derecha e izquierda, ...
Comportamiento asintótico de una mezcla iterativa de 4 líquidos. Teoría de Perron-Frobenius
มุมมอง 1213 หลายเดือนก่อน
Un ejercicio sobre sistemas lineales de recurrencias homogéneos y no negativos. Sistemas positivos. Matrices no negativas: irreducibles, primitivas y estocásticas. An exercise on homogeneous and nonnegative linear recurrence systems. Positive systems. Nonnegative matrices: irreducible, primitive and stochastic. Referencia [1] A. Berman, R.J. Plemmons. "Nonnegative matrices in the mathematical s...
Estado de equilibrio de la mezcla de té, café y vino, mediante la Teoría de Perron-Frobenius
มุมมอง 1713 หลายเดือนก่อน
Sistema de ecuaciones de recurrencia lineales homogéneas, donde la matriz de la coeficientes es no negativa, irreducible y primitiva. Límites de las potencias de una matriz cuadrada. Discriminante. Test de estabilidad de Jury. Digrafos (o grafos dirigidos) fuertemente conexos. Momentos de interés: 00:00 Motivación 07:42 Sistema de recurrencias lineales homogéneas 12:01 Matriz de los coeficiente...
Mezcla de vino y té en depósitos agitados. Problema resuelto mediante una ecuación diferencial.
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Resolvemos mediante un modelo de dos depósitos agitados, interconectados, un problema de mezclas de dos líquidos (vino y té), que originariamente se resolvió mediante ecuaciones de recurrencia lineales. Momentos importantes: 01:57 Recurrencias: reducción de un sistema a una sola ecuación 08:35 Modelo de depósitos agitados 11:56 Principio fundamental 15:17 Ecuación diferencial del modelo 21:31 C...
Problema de mezclas de V.I. Arnold de tres líquidos y tres recipientes. Parte tercera.
มุมมอง 2146 หลายเดือนก่อน
De nuevo aparecen sistemas de ecuaciones de recurrencias lineales no homogéneos de coeficientes constantes de primer orden, donde algunas sucesiones incógnitas están sujetas a ligaduras. Momentos importantes: 00:00 Enunciado 09:57 Ligaduras 12:29 Límites cuando n tiende a infinito 18:07 Sistema de recurrencias 26:05 Recurrencias matriciales 31:16 Soluciones constantes 50:25 Solución del problem...
Problema de mezclas de V.I. Arnold iterado. Parte segunda. Versión segunda.
มุมมอง 2967 หลายเดือนก่อน
Un sencillo problema sobre mezclas de té y vino da lugar al iterarlo a un sistema de recurrencias lineales no homogéneo de coeficientes constantes de primer orden. Las ecuaciones de recurrencia son llamadas también ecuaciones en diferencias finitas. Momentos importantes: 00:00 Enunciado del problema 04:00 La solución que hallaremos 09:42 Teoría sobre recurrencias lineales 18:32 Evolución de los...
Problema de mezclas para niños. Propuesto por Vladimir I. Arnold. Parte primera.
มุมมอง 1267 หลายเดือนก่อน
"Problemas de mezclas para niños de 5 a 15 años", Vlamimir I. Arnold, París, 2004. ... según Arnold... en Rusia las familias regalan problemas como este a los niños ...
Enlace a un archivo pdf que contiene una demostración de la Conjetura formulada en la página 12 de este vídeo: bit.ly/3YPlCCJ
Enlace a un archivo pdf que contiene una demostración del Teorema de la página 10 sobre un criterio de multiplicidad mediante pares de vectores propios ortogonales: bit.ly/4hPOWlg
Enlace al archivo pdf con las páginas de este vídeo: bit.ly/3WfMVpi
Archivo pdf con las páginas de este vídeo: bit.ly/3ZVXP4q
Archivo pdf que contiene las páginas (con menos erratas) de este vídeo: bit.ly/3D88tNR
Archivo pdf con copia de las páginas de este vídeo: bit.ly/49tXCtK
Está claro que las cantidades de las áreas a1,a2,a3 y las alturas h1,h2,h3 no pueden ser arbitrarias. Pues, podría darse el caso de que uno de los vasos fuera tan grande y estuviera tan lleno de vodka, que jamás pudiera nivelarse con ninguno de los otros dos. En este vídeo, no he abordado esta cuestión.
Archivo pdf con la página "18"; esto es, la situada entre la 17 y 19 de este vídeo: bit.ly/3ZjC2Vj
Archivo pdf con las páginas 1 a 17 de este vídeo: bit.ly/49a7skw
Copia de las páginas de este vídeo en el enlace: bit.ly/4fYE2ry
Copia en archivo pdf de las páginas del vídeo: bit.ly/3Z4Zqo2
Los físicos preconizan estudiar los casos extremos. Si hacemos m=1 en la página 11, tenemos que v_j/(v_1+v_2+...+v_m) [v_1,v_2,...,v_m]' queda reducido a v_1/v_1×v_1=v_1. Si la cuchara va del depósito 1 a si mismo, está claro que x_{11}(n)=v_1 para todo n.
Demostración de la Conjetura de la página 12 del vídeo sobre la relación entre la primera fila de P^{-1} y la primera columna de P, siendo esta columna un autovector de A_m asociado al autovalor 1 y donde P^{-1} A_m P = J_m (forma canónica de Jordan) : bit.ly/3YPlCCJ
Demostración del Teorema de la página 10 del vídeo sobre la simplicidad de un autovalor: bit.ly/4hPOWlg La definición y propiedades de los subespacios radicales ("root subspaces") puede verse en el Capítulo 2 del libro: I. Gohberg, P. Lancaster; L. Rodman: "Invariant subspaces of matrices with applications", SIAM, (2006). El subespacio radical asociado a un autovalor, es conocido también como el subespacio propio generalizado.
Enlace a un archivo pdf con las pantallas del vídeo: bit.ly/3AOf0wn
Aquí os dejo un archivo pdf que contiene la presentación del vídeo: bit.ly/40Fs7e0
Teorema de Perron-Frobenius: en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2%80%93Frobenius_theorem Oskar Perron: en.wikipedia.org/wiki/Oskar_Perron Ferdinand Georg Frobenius: en.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius
En matemáticas, las matrices no negativas son aquellas en las que todos sus elementos son mayores o iguales que cero. Estas matrices son de gran relevancia en diversas áreas, como la economía, la teoría de grafos y el análisis de sistemas dinámicos, ya que suelen representar situaciones donde las cantidades negativas no tienen sentido práctico, como el flujo de tráfico o la distribución de recursos. Un caso especial de matrices no negativas son las matrices estocásticas, que se utilizan para describir procesos aleatorios y donde cada fila suma uno, representando probabilidades de transición entre estados. Estudiar las propiedades de las matrices no negativas, como su espectro de valores propios y su descomposición, permite obtener información valiosa sobre los sistemas que modelan, facilitando la comprensión y optimización de procesos complejos.
Soluciones reales cuando hay valores propios con parte imaginaria no nula: bit.ly/3Ng88dJ S. Elaydi. "An introduction to difference equations", third edition, Springer, (2005). Pages 140 and 141.
¿Existe teoría sobre la no negatividad de las soluciones (t1(n),t2(n)) de este sistema, cuando las condiciones iniciales satisfacen t1(0)>=0, t2(0)>=0? Como aquí t1(n) y t2(n) representan cantidades de té, deben ser números no negativos.
Sigo pensando en lo que escribí en este vídeo. Si pruebo a ver qué pasa cuando T=C=V, me encuentro en los cálculos con la raíz cuadrada de -3V^2+4; lo que me lleva a pensar que la matriz A tiene valores propios con parte imaginaria distinta de cero. De ahí, a esperar que haya soluciones que sean sucesiones oscilantes ...
Página 9, corregida. bit.ly/3YjBj6t
Otra solución más simple. bit.ly/3WC2jNh
He visto que en la página 14 hay errores de cálculo. He particularizado las variables T, C y V a los valores T=C=V=1, y los cálculos de c1 y c2, en este caso simple, no coinciden con los que saldrían de las fórmulas de esta página. Como uno de los valores propios de la matriz A es 0, hay que utilizar que 0^0=1. De hecho, el resultado de mis cálculos con Maple es t1(n)=1/3-1+2/3*(1/4)^n, si n=0; t1(n)=1/3+2/3*(1/4)^n, si n>0; t2(n)=1/3+1-(4/3)*(1/4)^n, si n=0; t2(n)=1/3-(4/3)*(1/4)^n, si n>0.
He cometido un error en lo escrito. En el último párrafo en color rojo en la página 2, pone [...] Es fácil saberlo: los C cm^3 de mezcla que hemos traído [...] Pero, debe poner: Es fácil saberlo: los C cm^3 de vino que trajimos [...]